Distribuciones binomiales

Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial

Descripción

Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.

Fundamento teórico

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall et al., 2006)

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:

1. El experimento consiste en n intentos idénticos.
1. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’.
1. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1−p).
1. Los intentos son independientes.
1. El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x=0,1,2,…,n. (Mendenhall et al., 2006).

Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxito en n ensayos independientes (Walpole et al., 2012):

La Fórmula:

prob(x=k)=(nk)⋅pk⋅q(n−k)

Para:

x=0,1,2,3…n

y recordando las combinacones

(nk)=n!k!⋅(n−k)!

El valor esperado está dado por:

μ=n⋅p

La varianza y la desviación estándard se determinan mediante:

σ2=n⋅p⋅(1−p) #### y σ=σ2−−√

Proceso

Cargar librerías
Ejercicios

Ejercicio 1: Probabilidades, Varianza, Desviación
Ejercicio 2: Probabilidades, Varianza, Desviación

Interpretación

1. Cargar las librerías

Se carga función de servicio github o de manera local

library(dplyr)
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

2. Ejercicios

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

1. Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
1. Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
1. Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
1. Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
1. Determinar el valor esperado y su significado
1. Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
1. Interpretar

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

Inicializar valores

x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

Identificar la probabildiad cuando P(x=2) de la tabla
Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

Identificar la probabildiad cuando P(x=3) de la tabla
Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

Ahora usar la función acumulada por la pregunta
P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

e) Determinar el valor esperado y su significado

El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p
Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  0.9"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado

La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  0.63"

La desviación σ=σ2−−√

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  0.79"

g) Interpretar el ejercicio

En este ejercicio se dio a utilizar la probabilidad de que se presenten dichos datos en los resultados obtenidos dado el ejercicio, de esta forma tambien se obtuvo el valor esperado ademas la varianza y la desviacion.

2.1 Ejercicio 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

1. Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

x1 <- c(1,2,3,4,5,6)
n1 <- 6
exito1 <- 0.55
tabla3 <- data.frame(x1=x1, f.prob.x1 = f.prob.binom(x1,n1,exito1), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x1,n1,exito1)))
tabla3

##   x1  f.prob.x1   f.acum.x
## 1  1 0.06089428 0.06089428
## 2  2 0.18606586 0.24696014
## 3  3 0.30321844 0.55017858
## 4  4 0.27795023 0.82812881
## 5  5 0.13588678 0.96401559
## 6  6 0.02768064 0.99169623

1. Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

valor.x1 <- 4
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1

##   x1 f.prob.x1  f.acum.x
## 1  4 0.2779502 0.8281288

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )

## [1] "La probabilidad cuando x es  4  es igual a :  0.277950234375"

1. Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

valor.x1 <- 6
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1

##   x1  f.prob.x1  f.acum.x
## 1  6 0.02768064 0.9916962

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )

## [1] "La probabilidad cuando x es  6  es igual a :  0.027680640625"

1. Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

valor.x1 <- 2
la.probabilidad1 <- filter(tabla3, x1 == valor.x1) 
la.probabilidad1

##   x1 f.prob.x1  f.acum.x
## 1  2 0.1860659 0.2469601

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x1, " es igual a : ", la.probabilidad1$f.prob.x1 )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.186065859375"

1. Determinar el valor esperado VE

VE1 <- n1 * exito1
paste ("El valor esperado es: ", VE1)

## [1] "El valor esperado es:  3.3"

1. Determinar la varianza y su desviación estándard

varianza1 <- n1 * exito1 *( 1 - exito1)
desviacion1.std <- sqrt(varianza1)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion1.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.22"

g. Interpretacion del ejercicio

Este eercicio trata de la probabilidad en que encesta un jugador el cual se presenta de forma que se dio a conocer que riene buena probabilidad para encertar con tiros acertados utilizando las fomulas adecuadas para el resultado obtenido.

2.3 Ejercicio 3

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enferme dad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad,

1. Determine tabla de probabilidad de 1 al 15

x2 <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
n2 <- 15
exito2 <- 0.4
tabla3 <- data.frame(x2=x2, f.prob.x2 = f.prob.binom(x2,n2,exito2), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x2,n2,exito2)))
tabla3

##    x2    f.prob.x2   f.acum.x
## 1   1 4.701850e-03 0.00470185
## 2   2 2.194197e-02 0.02664382
## 3   3 6.338790e-02 0.09003172
## 4   4 1.267758e-01 0.21680752
## 5   5 1.859378e-01 0.40274537
## 6   6 2.065976e-01 0.60934297
## 7   7 1.770837e-01 0.78642663
## 8   8 1.180558e-01 0.90448241
## 9   9 6.121411e-02 0.96569651
## 10 10 2.448564e-02 0.99018215
## 11 11 7.419892e-03 0.99760205
## 12 12 1.648865e-03 0.99925091
## 13 13 2.536715e-04 0.99950458
## 14 14 2.415919e-05 0.99952874
## 15 15 1.073742e-06 0.99952982

1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,

valor.x2 <- 10
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2

##   x2  f.prob.x2  f.acum.x
## 1 10 0.02448564 0.9901822

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2 )

## [1] "La probabilidad cuando x es  10  es igual a :  0.024485642108928"

1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho, y

valor.x2 <- 8
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2

##   x2 f.prob.x2  f.acum.x
## 1  8 0.1180558 0.9044824

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2
)

## [1] "La probabilidad cuando x es  8  es igual a :  0.11805577445376"

1. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

valor.x2 <- 5
la.probabilidad2 <- filter(tabla3, x2 == valor.x2) 
la.probabilidad2

##   x2 f.prob.x2  f.acum.x
## 1  5 0.1859378 0.4027454

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x2, " es igual a : ", la.probabilidad2$f.prob.x2)

## [1] "La probabilidad cuando x es  5  es igual a :  0.185937844764672"

1. ¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?

VE2 <- n2 * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE2)

## [1] "El valor esperado es:  4.5"

1. ¿Cual es la varianza y la desviación estándar?

varianza2 <- n2 * exito2 *( 1 - exito2)
desviacion2.std <- sqrt(varianza2)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion2.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.9"

g. Interpretación del ejercicio y del caso

En este ejercicio se presento la probabilidad de que un sujeto se vuelva a contajiar de una enfermedad dada que hay otras personas que tuvieron contacto con el o que se presentaron junto a el y presentaban dicha enfermedad, de esta forma se obtuvo la probabilidad a la vez que su varianza en cuanto a los datos que se obtuvieron. Aqui se hizo presente el tema principal que son las distribuciones binomiales las cuales son distribuciones de probabilidad discretas el cual cuenta el numero de exitos de una secuencia de n ensayos de Bernoulli, el cual tiene una rpobabilidad fija. De tal forma que se presentaron varios ejercicios los cuales no fueron tan complicados, los cuales ayudaron al entendimiento de este tema con las probabilidades que se obtuvieron para su solcuion ademas de el proceso que se hizo y las fomulas empleadas.

Caso 17

Joan Arreola

24/11/2020