Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas con variables discretas asociado a distribuciones de Poisson.
Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación asociado a distribuciones Poisson Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas y distribuciones binomiales Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 18 encontrados en la literatura.
library(ggplot2)
library(knitr)
"https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r"
## [1] "https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r"
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ=5 (Walpole et al., 2012).
media <- 5
datos <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
kable(datos, caption = "Tabla de distribución cuando media igual 5")
x | f.prob.x | f.acum.x |
---|---|---|
0 | 0.0067380 | 0.0067380 |
1 | 0.0336897 | 0.0404277 |
2 | 0.0842243 | 0.1246520 |
3 | 0.1403739 | 0.2650259 |
4 | 0.1754674 | 0.4404933 |
5 | 0.1754674 | 0.6159607 |
6 | 0.1462228 | 0.7621835 |
7 | 0.1044449 | 0.8666283 |
8 | 0.0652780 | 0.9319064 |
9 | 0.0362656 | 0.9681720 |
10 | 0.0181328 | 0.9863047 |
11 | 0.0082422 | 0.9945469 |
12 | 0.0034342 | 0.9979812 |
13 | 0.0013209 | 0.9993020 |
14 | 0.0004717 | 0.9997738 |
15 | 0.0001572 | 0.9999310 |
16 | 0.0000491 | 0.9999802 |
17 | 0.0000145 | 0.9999946 |
18 | 0.0000040 | 0.9999986 |
19 | 0.0000011 | 0.9999997 |
20 | 0.0000003 | 0.9999999 |
ggplot(data = datos, aes(x, f.prob.x)) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = "black")
P(X≥3)
El índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es de: ", round(prob * 100,4),"%")
## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es de: 26.5026 %"
El indice en la taba comienza en cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
x <- 1
prob <- 1 - datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es de:", round(prob * 100,4),"%")
## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es de: 95.9572 %"
Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(Anderson et al., 2008)
Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = 10),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)
## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"
Tabla con variable, probabilidad y su probabilidad acumulada.
datos <- data.frame(x=1:20, f.prob.x = round(dpois(x = 1:20, lambda = 10),4))
datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))
datos
## x f.prob.x f.acum.x
## 1 1 0.0005 0.0005
## 2 2 0.0023 0.0028
## 3 3 0.0076 0.0104
## 4 4 0.0189 0.0293
## 5 5 0.0378 0.0671
## 6 6 0.0631 0.1302
## 7 7 0.0901 0.2203
## 8 8 0.1126 0.3329
## 9 9 0.1251 0.4580
## 10 10 0.1251 0.5831
## 11 11 0.1137 0.6968
## 12 12 0.0948 0.7916
## 13 13 0.0729 0.8645
## 14 14 0.0521 0.9166
## 15 15 0.0347 0.9513
## 16 16 0.0217 0.9730
## 17 17 0.0128 0.9858
## 18 18 0.0071 0.9929
## 19 19 0.0037 0.9966
## 20 20 0.0019 0.9985
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x, color="red") ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = "black")
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", datos$f.acum[10])
## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: 0.5831"
En el caso número 18 se trata el tema de la distribución de poisson, igual que en los casos anteriores hice uso de 2 ejercicios resueltos en el entorno de r estudio:
En el primer ejercicio se habla de un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico y se busca la probabilidad de que, maximo 3 automóviles por año sufran una catástrofe la cual dió un resultado de 26.5026 %, otra probabilidad que se busca es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe y dicha probabilidad es de un: 95.9572 %.
El segundo caso es sobre el numero de llegadas, en un lapso de 15 minutos a la rampa del cajero automático, si la administración desea saber la probabilidad de que llegan exactamente 5 automóviles en 15 minutos x seria igual a 5 entonces en la variable que nombramos como prov. ira directamente la probabilidad que la probabilidad es del 3.7%, en realidad se puede de dos maneras la primera es la que acabamos de ver y la segunda es con una función que tiene el r studio que es dpois(). Después creamos una tabla con probabilidades y frecuencias de la distribución de pisson el cual nomas se pusieron 20 datos en la tabla. La siguiente pregunta es ¿Cuál es la probabilidad de que sea x menor o igual a diez? Como ya tenemos en la tabla nuestra frecuencia acumulada nos posicionamos en el 10 que como dice la pregunta menor o igual a diez y eso nos da la probabilidad del 58.3%.