PROYECTO IO2 - GRIFOS PRIMAX
- Investigación de Operaciones II: Proyecto de Campo GRUPO PRIMAX
- Profesora: Claudia Antonini
| INEGRANTES | PORCENTAJES |
|---|---|
| Clever Apaza | 20% |
| Valeria Aguayo | 20% |
| Carlos Cárdenas | 20% |
| Fabiana Retamozo | 20% |
| Vinccenzo Villar | 20% |
I. DESCRIPCIÓN GRIFO PRIMAX
Primax es una corporación que forma parte del Grupo Romero, líder en el mercado de distribución de combustible y sus derivados. Sus principales servicios son la venta de gasolina, petróleo, gas, GLP, GNV, entre otros.
En el presente informe se analizará el proceso de carga de combustible (gasolina) en vehículos, tomando el tiempo de llegada, atención y salida del cliente. Se considera la atención del cliente como el tiempo total de pedido, recarga de combustible y el pago pertinente.
La estación Primax donde se enfocará el trabajo de investigación está ubicada en la Av. Petit Thouars 1200, Cercado de Lima 15046. Lugar donde se realizará el levantamiento de la información y toma de datos. Esta estación cuenta con solo 2 islas de abastecimiento de combustible las cuales son de GLP y G-Prix. La primera abastece solo gas licuado de petróleo y la segunda agrupa la gasolina de 90, 95 octanos y D-Max. De las que se consideran ambas islas para el estudio de teoría de colas, porque al tener una mayor demanda y representar la mayor fuerza de venta e ingresos de Primax, es necesario definir y diseñar un sistema de espera.
Cliente: Se describe como un cliente del grifo Primax a cualquier vehículo que necesite una recarga de combustible. Esto incluye vans, autos, motos, camionetas particulares y taxis.
| Imagen N° 1: Cliente definido como vehículo. | Imagen N° 2: Mapa del proceso del Grifo Primax. |
|---|
1.1 Disciplina de llegada de los clientes al sistema
Se medirá la frecuencia de llegada de clientes mediante la anotación de la hora y el intervalo que haya entre cada uno de ellos. Así, podemos definir al proceso como estocástico, ya que no tenemos la certeza de hora ni intervalo de llegada de clientes. Además, se considerará el tiempo del proceso de llegada como no estacionaria, debido a que el flujo de clientes en distintos horarios y días de la semana varía significativamente (existencia de horas pico los días lunes y martes a partir de las 3pm). Debido a esto, se tomarán datos a partir de ese horario.
1.2 Disciplina de servicio en cada una de las estaciones en donde la unidad reciba los servicios
Estación de pedido, recarga y pago: En el grifo existen 2 estaciones llamadas “islas”, donde el cliente, al llegar, pide, se le atiende y paga. Se describe a la disciplina como estocástica, ya que cada cliente puede pedir distintas cantidades de combustible, lo que afecta en el tiempo total de atención. Además, como existe una caja por cada isla, si ambos canales de la isla están ocupados, solo 1 cliente podrá ser atendido en ese periodo de tiempo, influyendo en el tiempo total. Se medirá el tiempo que demora la atención de cada cliente. Además, se considerará el tiempo de servicio (pedido, recarga y pago) como no estacionaria, ya que es dependiente de la llegada de los clientes al establecimiento.
1. Pedido: Definimos el proceso de pedido como el punto en el cual el cliente, analiza precios, el tiempo que transcurre desde la llegada del cliente a la isla, hasta el momento en que solicita el tipo de combustible y la cantidad a ser suministrada en el vehículo.
2. Abastecimiento: Definimos el proceso de abastecimiento, como el momento en el que el empleado pasa a suministrar combustible en el tanque de gasolina del vehículo, este proceso se medirá desde el momento en que el empleado recibe la orden de pedido(tipo de combustible y cantidad a suministrar) hasta que retira la boquilla de reabastecimiento de gasolina del auto.
3. Pago: Finalmente, se define al proceso de pago como la entrega de la cantidad de dinero, determinada a partir del tipo de combustible y cantidad solicitada previamente, como consecuencia de la prestación de servicio por parte del grifo Primax. Este proceso será medido a partir del instante en el que el empleado quita la boquilla de reabastecimiento de gasolina del vehículo hasta que se le entrega el comprobante de pago.
1.3 Disciplina de atención en cada una de las colas
Los clientes son atendidos por orden de llegada, atendiendo al primero que ingrese a las islas o estaciones de servicio, teniendo en cuenta que en cada isla se puede atender a 2 clientes al mismo tiempo, dependiendo de la capacidad de atención de las islas (existen 2 trabajadores en horas pico). Además, en caso de la llegada de un tercer cliente, se deberá esperar detrás de uno de los vehículos hasta que la atención de este culmine.
1.4 Capacidad del sistema
Si bien el sistema no limita una cantidad máxima de vehículos en el grifo, se sabe que cada isla posee una capacidad para dos vehículos. Además, viendo el espacio libre para la cola dentro del grifo, caben a lo mucho 3 autos sin obstruir el tráfico en la Av. Petit Thouars. Por lo que se puede estimar un aforo máximo de 10 vehículos.
1.5 Número de canales de atención
El grifo cuenta con dos islas (con una caja y un empleado por isla), en donde cada una tiene dos canales de atención,es decir tenemos 4 canales en total. Estas islas dispensan combustible con similares características, teniendo igualdad de acondicionamiento y oferta de combustible, por lo que se puede decir que tenemos una estación de servicio (dividido en dos islas) con 4 canales.
1.6 Número de canales de atención
La estación de servicio de abastecimiento de combustible para las distintas unidades vehiculares se observó 3 etapas del servicio (multistage queuing system). Ya que, el cliente (unidad vehicular) es recepcionado, abastecido y realiza el pago al personal que le atiende en toda la línea de servicio desde la llegada hasta el despacho. Estas 3 acciones que realiza el cliente son detalladas en el siguiente diagrama:
En primera instancia el cliente solicita el pedido de combustible definiendo sus características (para nuestro análisis se considera la línea de suministro de Gasolina y GLP), cantidad de recarga (galones) o monto de recarga. El personal encargado procede a suministrar el combustible requerido y se realiza consecutivamente el pago. Dentro de las consideraciones a tener, es que solo se considera cliente aquel que realiza las 3 etapas de servicio. Puede ver situaciones donde, el cliente llega y luego se retira por motivos de espera por colas, búsqueda de precios más económicos, situaciones adversas o simplemente decide cancelar su orden.
II. FORMULACIÓN DE PREGUNTAS DE INTERÉS SOBRE EL DESEMPEÑO DEL PROCESO Y RECOLECCIÓN DE LA DATA
2.1 Preguntas de interés:
En una primera visita realizada al Grifo PRIMAX, se pudo tener una primera conversación con el encargado de la sucursal. Donde se pudo rescatar puntos importantes respecto a sus intereses y los cambios en el sistema de abastecimiento de combustible ante la coyuntura actual por el COVID-19. En relación al primer punto, se tiene como objetivos reducir los tiempos de atención para evitar la exposición innecesaria del personal de atención, los conductores y la tripulación. Por políticas de la empresa, nos señaló que el tiempo de atención no debe ser a los más de 2.5 minutos. Así como, tener un tiempo de 2 minutos de espera en cola, para así reducir las mismas evitando la aglomeración y disturbios que puedan originarse en el transcurso de la espera a ser atendidos. Por otro lado, el encargado de sucursal señaló que se espera mejorar la satisfacción y fidelización del cliente, mediante incentivos. Por ejemplo, por cada S/ 7.50 de consumo en Estaciones Primax autorizadas se acumula 1 punto Bonus, y se obtiene S/ 1 de descuento por galón a cambio de 35 puntos bonus en combustibles G-Prix, G-95, G-90 y Max-D. Sin embargo, más allá de estos beneficios, destacó la importancia de reducir tiempos muertos en el proceso de atención. Para así poder atender la mayor cantidad de clientes en las horas pico y cumplir con los objetivos diarios. El cual, es atender una demanda diaria de 3500 clientes en una semana regular sin considerar los fines de semana. Ya que en estos días se tiene menos afluencia de vehículos por las restricciones de movilización ante la coyuntura actual.
Respecto a las condiciones establecidas para la toma de datos, se optó considerar las 2 islas de atención porque tienen iguales características de abastecimiento. Además, ambas islas están operativas en las horas pico, entre las 6:00 a 9:30 am y las 4:00 a 6:30 pm desde los Lunes a Viernes. Por lo que cualquier vehículo puede ingresar a cualquiera de estas estaciones de servicio.
Conociendo el contexto real del Grifo PRIMAX, se procedió realizar las preguntas de interés:
A.Primera pregunta de interés:
Si el cliente está apurado al llegar al grifo y sólo se dispone a esperar a lo mucho 3 minutos hasta ser atendido o de lo contrario se retira, ¿Qué probabilidad hay de que efectivamente sea atendido, dado que ya han pasado 2 minutos, tiempo de espera establecido por el Grifo Primax?
B.Segunda pregunta de interés:
Consideremos que un cliente escoge la primera estación (con menos clientes), ya que se percata que la segunda estación está ocupada por dos clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que mientras espera el cliente en la primera estación se desocupe la otra estación y opte por cambiarse?
C.Tercera pregunta de interés:
Un cliente llega al establecimiento PRIMAX y observa que en ambas estaciones hay al menos 1 cliente esperando. Entre estas 2 islas donde los datos fueron tomados, la segunda es la más subutilizada por ciertas limitaciones de acceso. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente elija el canal 3 o 4 para realizar el servicio de abastecimiento?
D.Cuarta pregunta de interés:
En el proceso de atención se observa que el tiempo de pedido y abastecimiento es mayor al tiempo de pago. Sin embargo hay situaciones donde el tiempo de pago es mayor por falta de cambio en caja o fallan los canales de pago por tarjeta. Respecto a esta situación, ¿Cúal es la probabilidad de que el tiempo de atención supere a lo establecido por el Grifo Primax, a los más 2.5 minutos, dado que se tiene un mayor tiempo de pago con respecto al de pedido y abastecimiento?
E.Quinta pregunta de interés:
El encargado de la sucursal, quiere cumplir el tiempo de atención estipulado, 2.5 minutos, en las horas pico para maximizar su capacidad de atención. Por ello quiere saber, ¿Cuál es el el valor esperado de clientes atendidos en un tiempo menor a 2.5 minutos en las horas pico?, y ¿Cuánto representa este valor con respecto a la demanda diaria de 3500 clientes / día?.
2.2 Recolección de la data:
A. Proceso de validación de planilla
Respecto al diseño de la primera planilla se consideró medir los tiempos de arribo, de atención y de salida por separado. En el tiempo de atención se realizó toma de tiempos individuales de cada proceso como pago, pedido y abastecimiento. Esto nos permitiría identificar los cuellos de botella, así como aquellos factores causales. Por otro lado, se pretendía insertar una variable determinista de la cantidad de consumo (S/.), para hallar si existe una relación significativa con el tiempo de abastecimiento. Lo cual, no se pudo obtener la información por temas de distanciamiento social y el no acceso a las boletas de consumo.
Para la primera versión de la planilla, se consideraron tiempos de pedido y abastecimiento por separado. Sin embargo al validar la planilla inicial, los tiempos de pedidos eran sumamente pequeños, así que para la versión final se decidió juntar ambos tiempos, para lograr obtener una data más significativa. Además, se insertaron el número del canal al cual iban los clientes y el tiempo entre llegadas, a fin de tener un análisis más preciso del proyecto.
Para ello, el primer día que se tomó la data para validar la planilla fue el jueves 15 de Octubre del presente año, guiándonos de lo conversado con el encargado de la sucursal y un trabajador del Grifo Primax, y viendo el flujo de clientes que provee Google Maps, se eligió el horario de las 4:00 pm. Asimismo, para poder tomar la data final con la nueva plantilla, se realizó el viernes 23 de Octubre, donde se tomaron tiempos entre las 4:55 pm y las 6:15 pm.
| Imagen N° 5: Flujo de clientes para el día Jueves por Google Maps. | Imagen N° 6: Flujo de clientes para el día Viernes por Google Maps. |
|---|
Algunas observaciones sobre la toma de datos son:
- Algunos clientes, al llegar al canal “n”, por “x” motivos decidían cambiarse a otro canal. Esto no afectó en la data final, ya que se puede cambiar con facilidad el N° de canal, pero se tenía que prestar mayor atención a tales movimientos de los clientes.
- Como en cada proceso estocástico, hubo flujos altos y bajos de autos por tramos de tiempo, siendo los de mayor demora aquellos que duraban como máximo 3 minutos aproximadamente.
- Para realizar el estudio del comportamiento de la afluencia de clientes en la estación de servicios PRIMAX, hicimos uso de método de toma de tiempos de atención al cliente con ayuda del cronómetro, para registrar la toma de tiempos (minutos).
Con estas aclaraciones, se definió definió las variables y de qué tipo son para el diseño de la plantilla final:
| Variables | Tipo de variable |
|---|---|
| Tiempo entre llegadas | Estocástica |
| Hora de llegada (inicio de espera en cola) | Estocástica |
| Tiempo en cola | Estocástica |
| Hora de pedido y abastecimiento | Estocástica |
| Tiempo de pedido y abastecimiento | Estocástica |
| Hora de pago | Estocástica |
| Tiempo de pago | Estocástica |
| Hora de salida | Estocástica |
| Tiempo total de servicio | Estocástica |
| N°de canal de servicio | Determinístico |
B. Diseño de planilla final
C. Estimación de clientes a muestrear y tiempo necesario para recolectar
Antes de recoger la información, se calculó el tamaño de nuestra muestra sujeta a una población de 3500 clientes al día aproximadamente. Quienes recurren al Grifo Primax a cualquier hora del día, porque el grifo esta aperturado las 24 horas.
Para determinar el número de clientes necesarios para la muestra de este proyecto se empleó la siguiente fórmula: \[ \begin{align*} n=\frac{N.Z^2.p.q}{(N-1).e^2+Z^2.p.q} \end{align*} \] \[ \begin{align*} n=\frac{3500*1.65^2*0.5*0.5}{(3500-1)*0.1^2+1.65^2*0.5*0.5} \end{align*} \]
(1.65^2*0.5*0.5*3500)/((3500-1)*0.1^2+(1.65^2*0.5*0.5))## [1] 66.78289n= Tamaño de muestra
Z= nivel de confianza
p= probabilidad a favor
q= probabilidad en contra
N= tamaño poblacional
e= error máximo admitidoConsideraciones para el cálculo:
- Se tomará la desviación estándar para un intervalo de confianza del 90% (Z=1.65), ya que no se podría tomar un nivel del 95, debido a que el tiempo y disponibilidad para la elaboración del proyecto no es tan amplio como para realizar un estudio más preciso.
- Dado que tenemos una “p”, tomada como el porcentaje de población que asume la característica, desconocida, se le asignará el valor de 0,5.
- Se tomará como error máximo un 0,1 dado el corto tiempo que se tiene para recolectar la data, sin embargo se busca la mayor precisión posible. Ya que hubo una reducción de flujo de auto debido a la pandemia, se considerará al tamaño poblacional como 3500.
El tamaño muestral que se tomará es de \(n = 67\text{ personas}\), lo cual será necesaria para realizar la construcción de la data.
Para el tiempo necesario para recoger la data final, como en un inicio se tomó data de 24 clientes durante la primera media hora, se estima que serían aproximadamente 48 clientes / hora. Entonces, como se necesitan 67 clientes, el tiempo estimado de recolección de data requerido fue de \(t=1.2\text{ horas aproximadamente}\equiv 83.7\text{ min.}\)
\[ \begin{align*} \text{Tiempo de muestreo}=\frac{67\text{ clientes}}{48\text{ clientes/hora}}=1.395\text{ horas}\equiv 83.7\text{ min.} \end{align*} \]
D. Data recolectada
## N..Cliente Tiempo.entre.llegadas Hora.de.llegada Tiempo.en.cola
## 1 1 0 4:55:59 0:01:13
## 2 2 0:00:26 4:56:25 0:04:00
## 3 3 0:02:40 4:59:05 0:01:26
## 4 4 0:01:19 5:00:24 0:01:45
## 5 5 0:00:24 5:00:48 0:00:21
## 6 6 0:00:49 5:01:37 0:00:23
## 7 7 0:01:50 5:03:27 0:00:25
## 8 8 0:01:13 5:04:40 0:00:50
## 9 9 0:01:20 5:06:00 0:00:05
## 10 10 0:00:45 5:06:45 0:00:34
## 11 11 0:00:15 5:07:00 0:01:43
## 12 12 0:02:46 5:09:46 0:00:18
## 13 13 0:00:19 5:10:05 0:01:30
## 14 14 0:00:31 5:10:36 0:02:00
## 15 15 0:00:11 5:10:47 0:01:32
## 16 16 0:01:48 5:12:35 0:00:37
## 17 17 0:03:00 5:15:35 0:00:27
## 18 18 0:00:51 5:16:26 0:00:27
## 19 19 0:00:10 5:16:36 0:00:19
## 20 20 0:01:14 5:17:50 0:00:07
## 21 21 0:00:36 5:18:26 0:01:21
## 22 22 0:01:01 5:25:02 0:00:08
## 23 23 0:00:02 5:25:04 0:00:11
## 24 24 0:00:29 5:25:33 0:00:28
## 25 25 0:00:30 5:26:03 0:00:37
## 26 26 0:01:19 5:27:22 0:00:10
## 27 27 0:02:04 5:29:26 0:00:30
## 28 28 0:01:00 5:30:26 0:00:24
## 29 29 0:00:17 5:30:43 0:00:19
## 30 30 0:00:03 5:30:46 0:00:10
## 31 31 0:00:39 5:31:25 0:00:25
## 32 32 0:01:06 5:32:31 0:01:52
## 33 33 0:01:11 5:33:42 0:00:47
## 34 34 0:00:03 5:33:45 0:01:10
## 35 35 0:01:59 5:35:44 0:00:05
## 36 36 0:00:09 5:35:53 0:01:17
## 37 37 0:00:14 5:36:07 0:03:34
## 38 38 0:01:03 5:37:10 0:00:29
## 39 39 0:01:08 5:38:18 0:00:52
## 40 40 0:00:04 5:38:22 0:00:08
## 41 41 0:00:08 5:38:30 0:01:32
## 42 42 0:02:17 5:40:47 0:00:10
## 43 43 0:02:16 5:43:03 0:01:14
## 44 44 0:00:58 5:44:01 0:00:09
## 45 45 0:01:17 5:45:18 0:00:19
## 46 46 0:00:06 5:45:24 0:00:09
## 47 47 0:01:00 5:46:24 0:00:40
## 48 48 0:00:50 5:47:14 0:00:20
## 49 49 0:00:24 5:47:38 0:00:30
## 50 50 0:00:38 5:48:16 0:01:44
## 51 51 0:00:22 5:48:38 0:01:12
## 52 52 0:02:28 5:51:06 0:01:09
## 53 53 0:01:58 5:53:04 0:00:29
## 54 54 0:00:13 5:53:17 0:00:18
## 55 55 0:02:13 5:55:30 0:00:24
## 56 56 0:01:15 5:56:45 0:00:13
## 57 57 0:00:24 5:57:09 0:00:21
## 58 58 0:03:45 6:00:54 0:00:18
## 59 59 0:00:03 6:00:57 0:00:31
## 60 60 0:00:31 6:01:28 0:00:35
## 61 61 0:03:12 6:04:40 0:00:23
## 62 62 0:00:00 6:04:40 0:00:30
## 63 63 0:00:08 6:04:48 0:00:47
## 64 64 0:00:17 6:05:05 0:00:55
## 65 65 0:00:10 6:05:15 0:03:10
## 66 66 0:01:30 6:06:45 0:01:53
## N..de.canal.de.servicio Hora.de.pedido.y.abastecimiento
## 1 1 4:57:12
## 2 3 5:00:25
## 3 4 5:00:31
## 4 2 5:02:09
## 5 4 5:01:09
## 6 1 5:02:00
## 7 2 5:03:52
## 8 3 5:05:30
## 9 2 5:06:05
## 10 3 5:07:19
## 11 1 5:08:43
## 12 3 5:10:04
## 13 4 5:11:35
## 14 2 5:12:36
## 15 1 5:12:19
## 16 3 5:13:12
## 17 1 5:16:02
## 18 3 5:16:53
## 19 4 5:16:55
## 20 2 5:17:57
## 21 1 5:19:47
## 22 1 5:25:10
## 23 2 5:25:15
## 24 4 5:26:01
## 25 3 5:26:40
## 26 1 5:27:32
## 27 4 5:29:56
## 28 3 5:30:50
## 29 2 5:31:02
## 30 1 5:30:56
## 31 2 5:31:50
## 32 4 5:34:23
## 33 3 5:34:29
## 34 2 5:34:55
## 35 2 5:35:49
## 36 4 5:37:10
## 37 2 5:39:41
## 38 1 5:37:39
## 39 3 5:39:10
## 40 1 5:38:30
## 41 4 5:40:02
## 42 2 5:40:57
## 43 4 5:44:17
## 44 2 5:44:10
## 45 1 5:45:37
## 46 3 5:45:33
## 47 4 5:47:04
## 48 2 5:47:34
## 49 3 5:48:08
## 50 4 5:50:00
## 51 1 5:49:50
## 52 2 5:52:15
## 53 1 5:53:33
## 54 3 5:53:35
## 55 4 5:55:54
## 56 1 5:56:58
## 57 2 5:57:30
## 58 3 6:01:12
## 59 1 6:01:28
## 60 4 6:02:03
## 61 2 6:05:03
## 62 3 6:05:10
## 63 1 6:05:35
## 64 4 6:06:00
## 65 1 6:08:25
## 66 2 6:08:38
## Tiempo.de.pedido.y.abastecimiento Hora.de.pago Tiempo.de.pago Hora.de.salida
## 1 0:00:28 4:57:40 0:00:12 4:57:52
## 2 0:00:33 5:00:58 0:00:42 5:01:40
## 3 0:01:47 5:02:18 0:00:12 5:02:30
## 4 0:00:25 5:02:34 0:00:12 5:02:46
## 5 0:02:10 5:03:19 0:00:38 5:03:57
## 6 0:01:11 5:03:11 0:00:49 5:04:00
## 7 0:00:10 5:04:02 0:00:48 5:04:50
## 8 0:01:39 5:07:09 0:00:09 5:07:18
## 9 0:01:54 5:07:59 0:01:11 5:09:10
## 10 0:00:14 5:07:33 0:01:27 5:09:00
## 11 0:00:51 5:09:34 0:02:36 5:12:10
## 12 0:01:46 5:11:50 0:01:05 5:12:55
## 13 0:02:35 5:14:10 0:01:06 5:15:16
## 14 0:00:29 5:13:05 0:02:35 5:15:40
## 15 0:01:27 5:13:46 0:02:08 5:15:54
## 16 0:00:48 5:14:00 0:00:22 5:14:22
## 17 0:02:48 5:18:50 0:00:10 5:19:00
## 18 0:01:12 5:18:05 0:00:08 5:18:13
## 19 0:00:43 5:17:38 0:05:24 5:23:02
## 20 0:01:33 5:19:30 0:04:42 5:24:12
## 21 0:00:13 5:20:00 0:03:57 5:23:57
## 22 0:00:20 5:25:30 0:00:10 5:25:40
## 23 0:00:40 5:25:55 0:00:21 5:26:16
## 24 0:02:40 5:28:41 0:00:34 5:29:15
## 25 0:02:39 5:29:19 0:00:31 5:29:50
## 26 0:01:22 5:28:54 0:01:02 5:29:56
## 27 0:01:21 5:31:17 0:00:01 5:31:18
## 28 0:02:27 5:33:17 0:00:47 5:34:04
## 29 0:00:08 5:31:10 0:00:37 5:31:47
## 30 0:02:32 5:33:28 0:01:08 5:34:36
## 31 0:00:30 5:32:20 0:01:19 5:33:39
## 32 0:00:38 5:35:01 0:01:48 5:36:49
## 33 0:03:27 5:37:56 0:00:05 5:38:01
## 34 0:00:25 5:35:20 0:00:10 5:35:30
## 35 0:01:51 5:37:40 0:00:48 5:38:28
## 36 0:01:00 5:38:10 0:01:00 5:39:10
## 37 0:00:13 5:39:54 0:00:18 5:40:12
## 38 0:00:37 5:38:16 0:00:00 5:38:16
## 39 0:01:41 5:40:51 0:00:50 5:41:41
## 40 0:01:33 5:40:03 0:00:57 5:41:00
## 41 0:01:19 5:41:21 0:00:55 5:42:16
## 42 0:00:53 5:41:50 0:01:06 5:42:56
## 43 0:00:35 5:44:52 0:00:18 5:45:10
## 44 0:00:28 5:44:38 0:00:18 5:44:56
## 45 0:00:47 5:46:24 0:01:37 5:48:01
## 46 0:01:26 5:46:59 0:00:23 5:47:22
## 47 0:02:17 5:49:21 0:00:39 5:50:00
## 48 0:00:57 5:48:31 0:01:29 5:50:00
## 49 0:02:26 5:50:34 0:00:42 5:51:16
## 50 0:01:59 5:51:59 0:01:41 5:53:40
## 51 0:02:21 5:52:11 0:00:49 5:53:00
## 52 0:02:08 5:54:23 0:00:28 5:54:51
## 53 0:01:28 5:55:01 0:00:39 5:55:40
## 54 0:01:39 5:55:14 0:02:15 5:57:29
## 55 0:02:11 5:58:05 0:00:38 5:58:43
## 56 0:01:57 5:58:55 0:00:22 5:59:17
## 57 0:02:03 5:59:33 0:02:06 6:01:39
## 58 0:02:31 6:03:43 0:00:19 6:04:02
## 59 0:01:42 6:03:10 0:01:49 6:04:59
## 60 0:02:29 6:04:32 0:00:55 6:05:27
## 61 0:03:08 6:08:11 0:00:15 6:08:26
## 62 0:02:20 6:07:30 0:01:05 6:08:35
## 63 0:02:30 6:08:05 0:00:10 6:08:15
## 64 0:03:57 6:09:57 0:00:18 6:10:15
## 65 0:01:03 6:09:28 0:00:09 6:09:37
## 66 0:02:08 6:10:46 0:00:35 6:11:21
III. ANEXOS
| Imagen N° 8: Entrada al grifo. | Imagen N° 9: Canal de servicio. | Imagen N° 10: Salida del grifo. |
|---|
IV. FORMULACIÓN Y VALIDACIÓN DE LOS MODELOS CONCEPTUALES
Para esta entrega analizaremos los datos recolectados, identificaremos las variables y su distribución respectivamente. Asimismo, se realizará la formulación y validación de los distintos modelos conceptuales.
4.1 ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LOS DATOS
Se modificó la tabla de recolección de datos, para tener variables más especificas, es decir, pasamos los tiempos en minutos a segundos para tener una unidad de tiempo definida. Disponemos de 5 variables que nos servirán para validar las preguntas mencionadas en la entrega anterior. Así como, se inserto una nueva variable que corresponde al tiempo total de servicio, y se definio una variable de conteo N(t) de los tiempos entre llegadas con sus respectivas densidades para intervalos de 60 segundos.
## N..Cliente Tiempo.entre.llegadas Hora.de.llegada Tiempo.en.cola
## 1 1 0 4:55:59 73
## 2 2 26 4:56:25 240
## 3 3 160 4:59:05 86
## 4 4 79 5:00:24 105
## 5 5 24 5:00:48 21
## 6 6 49 5:01:37 23
## 7 7 110 5:03:27 25
## 8 8 73 5:04:40 50
## 9 9 80 5:06:00 5
## 10 10 45 5:06:45 34
## 11 11 12 5:07:00 103
## 12 12 166 5:09:46 18
## 13 13 19 5:10:05 90
## 14 14 31 5:10:36 120
## 15 15 11 5:10:47 93
## 16 16 108 5:12:35 37
## 17 17 180 5:15:35 27
## 18 18 51 5:16:26 27
## 19 19 10 5:16:36 19
## 20 20 74 5:17:50 7
## 21 21 36 5:18:26 81
## 22 22 61 5:25:02 8
## 23 23 2 5:25:04 11
## 24 24 29 5:25:33 28
## 25 25 30 5:26:03 37
## 26 26 79 5:27:22 10
## 27 27 124 5:29:26 30
## 28 28 60 5:30:26 24
## 29 29 17 5:30:43 19
## 30 30 3 5:30:46 10
## 31 31 39 5:31:25 25
## 32 32 66 5:32:31 112
## 33 33 71 5:33:42 47
## 34 34 3 5:33:45 70
## 35 35 119 5:35:44 5
## 36 36 9 5:35:53 77
## 37 37 14 5:36:07 214
## 38 38 63 5:37:10 29
## 39 39 68 5:38:18 52
## 40 40 4 5:38:22 8
## 41 41 8 5:38:30 92
## 42 42 137 5:40:47 10
## 43 43 136 5:43:03 74
## 44 44 58 5:44:01 9
## 45 45 77 5:45:18 19
## 46 46 6 5:45:24 9
## 47 47 60 5:46:24 40
## 48 48 50 5:47:14 20
## 49 49 24 5:47:38 30
## 50 50 38 5:48:16 104
## 51 51 22 5:48:38 72
## 52 52 148 5:51:06 69
## 53 53 118 5:53:04 29
## 54 54 13 5:53:17 18
## 55 55 133 5:55:30 24
## 56 56 75 5:56:45 13
## 57 57 24 5:57:09 21
## 58 58 225 6:00:54 18
## 59 59 3 6:00:57 31
## 60 60 31 6:01:28 35
## 61 61 192 6:04:40 23
## 62 62 0 6:04:40 30
## 63 63 8 6:04:48 47
## 64 64 17 6:05:05 55
## 65 65 10 6:05:15 190
## 66 66 90 6:06:45 113
## N..de.canal.de.servicio Hora.de.pedido.y.abastecimiento
## 1 1 4:57:12
## 2 3 5:00:25
## 3 4 5:00:31
## 4 2 5:02:09
## 5 4 5:01:09
## 6 1 5:02:00
## 7 2 5:03:52
## 8 3 5:05:30
## 9 2 5:06:05
## 10 3 5:07:19
## 11 1 5:08:43
## 12 3 5:10:04
## 13 4 5:11:35
## 14 2 5:12:36
## 15 1 5:12:19
## 16 3 5:13:12
## 17 1 5:16:02
## 18 3 5:16:53
## 19 4 5:16:55
## 20 2 5:17:57
## 21 1 5:19:47
## 22 1 5:25:10
## 23 2 5:25:15
## 24 4 5:26:01
## 25 3 5:26:40
## 26 1 5:27:32
## 27 4 5:29:56
## 28 3 5:30:50
## 29 2 5:31:02
## 30 1 5:30:56
## 31 2 5:31:50
## 32 4 5:34:23
## 33 3 5:34:29
## 34 2 5:34:55
## 35 2 5:35:49
## 36 4 5:37:10
## 37 2 5:39:41
## 38 1 5:37:39
## 39 3 5:39:10
## 40 1 5:38:30
## 41 4 5:40:02
## 42 2 5:40:57
## 43 4 5:44:17
## 44 2 5:44:10
## 45 1 5:45:37
## 46 3 5:45:33
## 47 4 5:47:04
## 48 2 5:47:34
## 49 3 5:48:08
## 50 4 5:50:00
## 51 1 5:49:50
## 52 2 5:52:15
## 53 1 5:53:33
## 54 3 5:53:35
## 55 4 5:55:54
## 56 1 5:56:58
## 57 2 5:57:30
## 58 3 6:01:12
## 59 1 6:01:28
## 60 4 6:02:03
## 61 2 6:05:03
## 62 3 6:05:10
## 63 1 6:05:35
## 64 4 6:06:00
## 65 1 6:08:25
## 66 2 6:08:38
## Tiempo.de.pedido.y.abastecimiento Hora.de.pago Tiempo.de.pago Hora.de.salida
## 1 28 4:57:40 12 4:57:52
## 2 33 5:00:58 42 5:01:40
## 3 107 5:02:18 12 5:02:30
## 4 25 5:02:34 12 5:02:46
## 5 130 5:03:19 38 5:03:57
## 6 71 5:03:11 49 5:04:00
## 7 10 5:04:02 48 5:04:50
## 8 99 5:07:09 9 5:07:18
## 9 114 5:07:59 71 5:09:10
## 10 14 5:07:33 87 5:09:00
## 11 51 5:09:34 156 5:12:10
## 12 106 5:11:50 65 5:12:55
## 13 155 5:14:10 66 5:15:16
## 14 29 5:13:05 155 5:15:40
## 15 87 5:13:46 128 5:15:54
## 16 48 5:14:00 22 5:14:22
## 17 168 5:18:50 10 5:19:00
## 18 72 5:18:05 8 5:18:13
## 19 43 5:17:38 324 5:23:02
## 20 93 5:19:30 282 5:24:12
## 21 13 5:20:00 237 5:23:57
## 22 20 5:25:30 10 5:25:40
## 23 40 5:25:55 21 5:26:16
## 24 160 5:28:41 34 5:29:15
## 25 159 5:29:19 31 5:29:50
## 26 82 5:28:54 62 5:29:56
## 27 81 5:31:17 1 5:31:18
## 28 147 5:33:17 47 5:34:04
## 29 8 5:31:10 37 5:31:47
## 30 152 5:33:28 68 5:34:36
## 31 30 5:32:20 79 5:33:39
## 32 38 5:35:01 108 5:36:49
## 33 207 5:37:56 5 5:38:01
## 34 25 5:35:20 10 5:35:30
## 35 111 5:37:40 48 5:38:28
## 36 60 5:38:10 60 5:39:10
## 37 13 5:39:54 18 5:40:12
## 38 37 5:38:16 0 5:38:16
## 39 101 5:40:51 50 5:41:41
## 40 93 5:40:03 57 5:41:00
## 41 79 5:41:21 55 5:42:16
## 42 53 5:41:50 66 5:42:56
## 43 35 5:44:52 18 5:45:10
## 44 28 5:44:38 18 5:44:56
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## 49 146 5:50:34 42 5:51:16
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## 52 128 5:54:23 28 5:54:51
## 53 88 5:55:01 39 5:55:40
## 54 99 5:55:14 135 5:57:29
## 55 131 5:58:05 38 5:58:43
## 56 111 5:58:55 22 5:59:17
## 57 123 5:59:33 126 6:01:39
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## 64 237 6:09:57 18 6:10:15
## 65 63 6:09:28 9 6:09:37
## 66 128 6:10:46 35 6:11:21
## Tiempo.total.de.servicio Tiempo.de.llegada Intervalos N.t.
## 1 113 0 60 1
## 2 341 26 120 0
## 3 365 186 180 0
## 4 221 265 240 1
## 5 213 289 300 2
## 6 192 338 360 1
## 7 193 448 420 0
## 8 231 521 480 1
## 9 270 601 540 1
## 10 180 646 600 0
## 11 322 658 660 3
## 12 355 824 720 0
## 13 330 843 780 0
## 14 335 874 840 1
## 15 319 885 900 3
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## 17 385 1173 1020 1
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## 19 396 1234 1140 0
## 20 456 1308 1200 1
## 21 367 1344 1260 2
## 22 99 1405 1320 1
## 23 74 1407 1380 1
## 24 251 1436 1440 3
## 25 257 1466 1500 1
## 26 233 1545 1560 1
## 27 236 1669 1620 0
## 28 278 1729 1680 1
## 29 81 1746 1740 1
## 30 233 1749 1800 3
## 31 173 1788 1860 1
## 32 324 1854 1920 0
## 33 330 1925 1980 2
## 34 108 1928 2040 0
## 35 283 2047 2100 3
## 36 206 2056 2160 1
## 37 259 2070 2220 3
## 38 129 2133 2280 0
## 39 271 2201 2340 0
## 40 162 2205 2400 1
## 41 234 2213 2460 0
## 42 266 2350 2520 1
## 43 263 2486 2580 1
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## 45 254 2621 2700 1
## 46 124 2627 2760 1
## 47 276 2687 2820 2
## 48 216 2737 2880 1
## 49 242 2761 2940 0
## 50 362 2799 3000 1
## 51 284 2821 3060 0
## 52 373 2969 3120 2
## 53 274 3087 3180 0
## 54 265 3100 3240 1
## 55 326 3233 3300 0
## 56 221 3308 3360 2
## 57 294 3332 3420 0
## 58 413 3557 3480 0
## 59 245 3560 3540 0
## 60 270 3591 3600 3
## 61 418 3783 3660 0
## 62 235 3783 3720 0
## 63 215 3791 3780 0
## 64 327 3808 3840 5
## 65 272 3818 3900 0
## 66 366 3908 3960 1
## Tiempo.entre.llegadas.1 Tiempo.en.minutos Lambda
## 1 26 0,4333333333 0,4333333333
## 2 160 0 0
## 3 79 0 0
## 4 24 2,666666667 2,666666667
## 5 49 0,8583333333 0,4291666667
## 6 110 0,8166666667 0,8166666667
## 7 73 0 0
## 8 80 1,833333333 1,833333333
## 9 45 1,216666667 1,216666667
## 10 12 0 0
## 11 166 0,7611111111 0,2537037037
## 12 19 0 0
## 13 31 0 0
## 14 11 2,766666667 2,766666667
## 15 108 0,3388888889 0,112962963
## 16 180 0 0
## 17 51 1,8 1,8
## 18 10 0 0
## 19 74 0 0
## 20 36 3 3
## 21 61 0,5083333333 0,2541666667
## 22 2 1,233333333 1,233333333
## 23 29 0,6 0,6
## 24 30 0,5111111111 0,1703703704
## 25 79 0,5 0,5
## 26 124 1,316666667 1,316666667
## 27 60 0 0
## 28 17 2,066666667 2,066666667
## 29 3 1 1
## 30 39 0,3277777778 0,1092592593
## 31 66 1,1 1,1
## 32 71 0 0
## 33 3 0,6166666667 0,3083333333
## 34 119 0 0
## 35 9 0,7888888889 0,262962963
## 36 14 1,05 1,05
## 37 63 0,4444444444 0,1481481481
## 38 68 0 0
## 39 4 0 0
## 40 8 2,283333333 2,283333333
## 41 137 0 0
## 42 136 2,266666667 2,266666667
## 43 58 0,9666666667 0,9666666667
## 44 77 0,6916666667 0,3458333333
## 45 6 1 1
## 46 60 0,8333333333 0,8333333333
## 47 50 0,5166666667 0,2583333333
## 48 24 0,3666666667 0,3666666667
## 49 38 0 0
## 50 22 2,466666667 2,466666667
## 51 148 0 0
## 52 118 1,091666667 0,5458333333
## 53 13 0 0
## 54 133 2,216666667 2,216666667
## 55 75 0 0
## 56 24 0,825 0,4125
## 57 225 0 0
## 58 3 0 0
## 59 31 0 0
## 60 192 1,438888889 0,4796296296
## 61 0 0 0
## 62 8 0 0
## 63 17 0 0
## 64 10 0,7566666667 0,1513333333
## 65 90 0 0
## 66 0 1,5 1,51. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para cada variable se uso el comando "“summary” para ver una descripción general de los datos. Posteriormente, se realizarán 2 Boxplots, el primero para ver las tendencias de los tiempos e identificar los datos atípicos, y a la par se generaran vectores de colección de tiempos sin los datos atípicos para generar el segungo Boxplot, y ver el nuevo ajuste de los datos. Se eliminan los datos atípicos porque distorsionan los resultados de los análisis y generan una mayor desviación estandar de los datos. Sin embargo, es necesario considerarlos para un análisis cualitativo, identificando los factores causa-efecto. Se opta por realizar dos tipos de aproximaciones para considerar todos los modelos posibles.
A. Aproximación empírica y deductiva:
Para esta primera aproximación generamos un histograma para poder observar la distribución de cada variable, y también mostramos la distribución acumulada asociada a la curva de aproximación de los datos. Es necesario, aplicar intervalos de tiempo acotados [10-15] segundos (mayor cantidad de breaks) para ver la tendencia y tener una mayor aproximación del modelo.B. Aproximación computacional:
Como cada variable tiene su respectiva distribución, esta necesita sus propios parámetros y su cálculo de cada uno de estos, que el modelo computacional puede aproximar. Para ello, se implementa la función “descdist”, la cual proporciona estadísticas descriptivas clásicas (mínimo, máximo, mediana, media, desviación estándar), asimetría y curtosis que informan sobre la forma de la distribución de una variable. Se presenta a la par un diagrama de asimetría-curtosis para la distribución empírica para el conjunto de datos, llamado Cullen y Frey. El que nos indíca la aproximación a un modelo de nuestra colección de datos, lo cual debe considerarse como modelos indicativos dado que tiene una aproximación no tan robusta.
2. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los posibles modelos, se muestra un histograma de densidad de la variable aleatoria donde conviven los modelos, es decir la distribución empírica y las distribuciones paramétricas múltiples ajustadas en un mismo conjunto de datos. Esto se realíza con la finalidad de realizar una comparación visual entre los mismos y la distribución de la variable. También, se muestra una gráfica CDF (Función de Distribución Acumulada), de la bondad de ajuste de las distribuciones acumuladas para los diferentes modelos. Posteriotmente, se implementa la función “gofstat” que permite comprobar la bondad del ajuste de los diferentes modelos a validar. Así como, permíte medir la distancia entre la distribución paramétrica ajustada y la distribución empírica. Para comparar los modelos se utiliza el Akaike information criterion (AIC), que sirve para medir la calidad relativa de los modelos estadísticos. Donde el modelo preferido es el que tiene el valor mínimo en el AIC dentro de un conjunto de modelos candidatos para los datos.(Laure,2014)
Fuentes:3. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
4.2 MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA CADA TIPO DE VARIABLE DEFINIDA
A.MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA LOS TIEMPOS ENTRE LLEGADAS
1. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para determinar los modelos de las distribucion de los tiempos de llegada entre automóviles a las instalaciones del Grifo Primax. Se analiza el resumen estadístico de la data eliminando el primer tiempo (0 segundos), esto supone tener una toma continua de tiempos entre llegadas. Para esta variable aleatoria tenemos que los tiempos están distribuidos entre [2-166] segundos.Teniendo una promedio de tiempo entre llegadas de 54.28 segundos, es decir un automóvil llega por cada minuto que transcurre.
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 2.00 17.00 45.00 54.28 77.00 166.00Para realizar los boxplots se eliminaron aquellos tiempos mayores a 166 segundos, que corresponden a valores atípicos que estan fuera de nuestro análisis, porque no se sabe cuales fueron las circunstancias de la demora ni los inconvenientes que haya tenido el automóvil al llegar al Grifo PRIMAX. Se observa que, el 50% de la concentración de los datos esta entre Q1 (17) y el Q3 (77) y tiende a tener una asimetría positiva.
## Loading required package: MASS## Loading required package: survivalA. Aproximación empírica y deductiva:
Para el siguiente análisis se determino generar intervalos acotados a 10 segundos, para tener una mayor caracterización de la data y agruparlos para tener las frecuencias. Según la distribución puede ser una exponencial dado que tiende a ser una curva decreciente con una distribución acumulativa de una función creciente.
plotdist(vector1, histo=TRUE, demp = TRUE,breaks=17)
B. Aproximación computacional:
Con el Gráfico de Cullen and Frey se aproxima a los modelos que mas representan a nuestras observaciones. Para, este caso nuestra distribución de datos aleatorios (500) generados a partir de nuestra colección de datos inicial muestran una tendencia a los modelos uniforme y beta.
## summary statistics
## ------
## min: 2 max: 166
## median: 45
## mean: 54.27869
## estimated sd: 45.00709
## estimated skewness: 0.837674
## estimated kurtosis: 2.7690852. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los modelos a validar, los cuales son exponencial, normal y gamma, generamos un histograma de los datos para observar cual modelo se aproxima a la distribución empírica. Teniendo las curvas de la exponencial y gamma, las que se aproximan con menor sesgo y bondad de ajuste en las distribuciones acumulativas.
Para comparar los modelos definidos se utiliza el Akaike information criterion (AIC), para determinar el modelo correcto que tiene una mayor similitud a la distribución empírica. De los resultados se concluye que entre los dos modelos, el mejor es el EXPONENCIAL porque su AIC = 611.2841 es el menor de toos los AIC.
gofstat(list(fa,fb,fk))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-exp 2-mle-unif 3-mle-gamma
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.09911992 0.3276689 0.09116351
## Cramer-von Mises statistic 0.07762146 2.4400705 0.07130626
## Anderson-Darling statistic 0.49336294 Inf 0.46209645
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-exp 2-mle-unif 3-mle-gamma
## Akaike's Information Criterion 611.2841 NA 612.2335
## Bayesian Information Criterion 613.3949 NA 616.45523. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
summary(fa)## Fitting of the distribution ' exp ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## rate 0.01842344 0.002351906
## Loglikelihood: -304.642 AIC: 611.2841 BIC: 613.3949confint(fa)## 2.5 % 97.5 %
## rate 0.01381379 0.023033094. Validación de Homogeneidad para un Proceso de Poisson
Por conceptos teóricos el parámetro \(\lambda\) de la sucesión de los tiempos entre llegadas disjuntos e independientes es igual al parámetro \(\lambda\) para un Proceso de Poisson Homogéneo. Para este caso convertimos el parámetro \(\lambda\) de la exponencial expresado en segundos a minutos. \[ Ti\ \text{: Tiempo entre llegadas del i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Ti\sim Exp(\lambda=0.01842344\text{ clientes/segundos}. 60 \text{ segundos/1 minuto})\\ Ti\sim Exp(\lambda=1.1054064\text{ clientes/minutos})\\ \]
Visualizaremos los aspectos relacionados con la validación de un Proceso de Poisson Homogéneo a partir de la data real, los cuales deben comprobarse: \[ \begin{align*} &\text{1) } N(0)=0\\ &\text{Número de clientes que llegan al Grifo Primax justo al aperturarse es 0.}\\ &\text{2) } \{N(t), t\geq 0\}\\ &\text{Número de clientes que llegan al Grifo Primax en el intervalo (0,t]} \\ \end{align*} \]
\[ \begin{align*} &\text{3) }P(N(h)=1) = \lambda h + o(h)\\ \end{align*} \] Se analiza los 66 intervalos de tiempo dijuntos acotado a 1 minuto cada uno, para garantizar incrementos estacionarios e independientes. Es decir, la variable aleatoria N(t): N° de clientes que llegan al grigo PRIMAX en un intervalo (0,60] segundos debe ser igual a 1 cliente en la mayor cantidad de intervalos para garantizar que \(\lambda\) es constante a lo largo del proceso. Así como, el sistema debe permanecer con una demanda constante dado que se tomarón los datos en las horas pico para garantizar la estacionariedad.
\[ \begin{align*}&\text{4) }P(N(h) \geq 2)= o(h) \end{align*} \] El número de clientes que llegan al Grifo Primax en el intervalo de tiempo (0,t] es mayor e igual a 2, tiene una probabilidad insignificante o muy reducida.
Una vez definido el modelo validador, insertamos los valores del intervalo de tiempo de (0,66] minutos, tiempo total de la recolección de datos en el sistema. Conjuntamente con el análisis de las densidades del número de clientes que llegan, teniendo los siguientes resultados:
\[ \begin{align*} &\text{1) } N(0)=0\\ &\text{2) } N(66), 66\geq 0\\\ &\text{En el intervalo (0,66] segundos ocurren 66 llegadas de clientes. }\\ &\text{3) }P(N(66)=1) = \lambda 66 + o(66)\\ &\text{En intervalos acotados de 60 segundos con llegadas de 1 cliente, se tiene 25 arribos. }\\ &\text{4) }P(N(66) \geq 2)= o(66)\\ &\text{En intervalos acotados de 1 minuto con llegadas de más de 1 cliente, se tiene 15 arribos. }\\ \end{align*} \]
Gráfica 1.4: Ocurrencia de eventos en intervalos de 1 minuto.
Gráfica 1.5: Tasas de llegadas de clientes en intervalos 1 minuto.
Con respecto a la gráfica anterior, no se puede concluir que el \(\lambda1\) de la sucesión de los tiempos entre llegadas dijuntos e independientes de nuestra data es igual al parámetro \(\lambda2\) para un Proceso de Poisson Homogéneo. Dado que \(\lambda1=0.6294\text{ clientes/minuto}\) es diferente \(\lambda2=1.1054064\text{ clientes/minutos}\).
Para modelarlo como un PPH, sería necesario realizar un nuevo levantamiento de data muy riguroso para las horas que se tiene mayor demanda, lo cual supone una mayor colección de datos a un nivel de confianza del 95% para tener una muestra representativa. Para un futuro nuestro análisis si se siguen acotando los intervalos siempre que sean dijuntos e independientes, podemos tener una mayor aproximación a un Proceso de conteo \(\{N(t), t \geq0\}\) ,definido como Proceso de Poisson Homogéneo con tasa de llegada \(\lambda\text{ clientes/minutos}\).
\[ \begin{align*} N(t)\sim PPH(\lambda\text{ clientes/minutos}) \end{align*} \]
B. MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA LOS TIEMPOS EN COLA
1. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para determinar los modelos de las distribucion de los tiempos en cola de espera para la recarga de combustible en automóviles en las instalaciones del Grifo Primax, se procedio a realizar un análisis numérico. Para esta variable aleatoria tenemos que los tiempos en cola están distribuidos entre [5-120] segundos.Teniendo una promedio de tiempo de espera de 42.8 segundos.
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 5.00 19.00 29.00 42.08 69.50 120.00Para realizar los boxplots se eliminaron aquellos tiempos mayores a 120 segundos, que corresponden a situaciones donde el conductor realizaba actividades en simultáneo que no le permitía avanzar como una llamada en proceso, y los otros estan relacionados a tiempos de espera originados por la superación de la capacidad de las islas de atención del Grifo PRIMAX. Se observa que, el 50% de la concentración de los datos esta entre Q1 (19) y el Q3 (69.5) y tiende a tener una asimetría positiva .
A. Aproximación empírica y deductiva:
Para el siguiente análisis se determino generar intervalos acotados a 10 segundos, para tener una mayor caracterización de la data y agruparlos para tener las frecuencias. Según la distribución puede ser una exponencial dado que tiende a ser una curva inicialmente creciente y luego decreciente con una distribución acumulativa de una función creciente con los extremos alabeados.
plotdist(vector2, histo = TRUE, demp = TRUE,breaks=25)
B. Aproximación computacional:
## summary statistics
## ------
## min: 5 max: 120
## median: 29
## mean: 42.07937
## estimated sd: 32.64832
## estimated skewness: 0.9357256
## estimated kurtosis: 2.6406142. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los modelos a validar, los cuales son exponencial, gamma y weibull, generamos un histograma de los datos para observar cual modelo se aproxima a la distribución empírica. Teniendo las curvas de la weibull y gamma, las que se aproximan con menor sesgo y bondad de ajuste en las distribuciones acumulativas.
Para comparar los modelos definidos se utiliza el Akaike information criterion (AIC), para determinar el modelo correcto que tiene una mayor similitud a la distribución empírica. De los resultados se concluye que entre los dos modelos, el mejor es la GAMMA porque su AIC =591.9636 es el menor de toos los AIC.
gofstat(list(fc,fd,fl))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-exp 2-mle-gamma 3-mle-unif
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.1575580 0.1176882 0.3566598
## Cramer-von Mises statistic 0.2599119 0.1556708 2.6415783
## Anderson-Darling statistic 1.8231389 0.9255944 Inf
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-exp 2-mle-gamma 3-mle-unif
## Akaike's Information Criterion 599.1842 591.9636 NA
## Bayesian Information Criterion 601.3274 596.2499 NA3. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
## Fitting of the distribution ' gamma ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## shape 1.70504944 0.278821152
## rate 0.04052175 0.007686836
## Loglikelihood: -293.9818 AIC: 591.9636 BIC: 596.2499
## Correlation matrix:
## shape rate
## shape 1.0000000 0.8611683
## rate 0.8611683 1.0000000confint(fa)## 2.5 % 97.5 %
## rate 0.01381379 0.02303309C.MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA LOS TIEMPOS DE PEDIDO Y ABASTECIMIENTO
1. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para determinar los modelos de las distribucion de los tiempos de pedido y abastecimineto de combustible en automóviles en las instalaciones del Grifo Primax, se procedio a realizar un análisis numérico. Para esta variable aleatoria tenemos que los tiempos están distribuidos entre [8-237] segundos.Teniendo una promedio de tiempo de 90.55 segundos.
Figura 1.1: Resumen estadístico para el tiempo de pedido y abastecimiento en las instalaciones del Grifo PRIMAX
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 8.00 40.75 90.50 90.55 130.75 237.00Para esta variable no se evidenciaron valores atípicos, dado que los conductores al igual que el personal que atiende realizan estas actividades de manera rutinaria y mas aún cuando la coyuntura actual agiliza las actividades para evitar una mayor exposición en las islas de atención del Grifo PRIMAX. Se observa que, el 50% de la concentración de los datos esta entre Q1 (40.75) y el Q3 (130.75) y tiende a tener una aproximación simétrica.
A. Aproximación empírica y deductiva:
plotdist(DATOS$Tiempo.de.pedido.y.abastecimiento, histo = TRUE, demp = TRUE, breaks=40)
B. Aproximación computacional:
Con el Gráfico de Cullen and Frey se aproxima a los modelos que mas representan a nuestras observaciones. Para, este caso nuestra distribución de datos aleatorios (500) generados a partir de nuestra colección de datos inicial muestran una tendencia al modelo normal y gamma, y tienen una mayor concentración en la región del modelo uniforme.
## summary statistics
## ------
## min: 8 max: 237
## median: 90.5
## mean: 90.54545
## estimated sd: 54.00205
## estimated skewness: 0.3353763
## estimated kurtosis: 2.4560942. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los modelos a validar, los cuales son uniforme, gamma y normal, generamos un histograma de los datos para observar cual modelo se aproxima a la distribución empírica. Teniendo la curva de la normal como la que se aproxima con menor sesgo y bondad de ajuste en las distribuciones acumulativas.
Para comparar los modelos definidos se utiliza el estadístico de Kolmogorov-Smirnov, para determinar el modelo correcto que tiene una mayor similitud a la distribución empírica y una mayor bondad de ajuste. De los resultados se concluye que entre los dos modelos, el mejor es la NORMAL porque tiene un p-value > 0.05, el cual es p-value=0.091. Es decir cuanto más pequeño sea este valor mas se aproxima al modelo empírico. Esto se debe, a que el tiempo de pago y abastecimiento de una persona en estación de servicio depende del personal de atencíon (realiza actividad rutinaria), así como también, de otros variables determinísticas como la cantidad de recarga de combustible.
gofstat(list(fe,fg,fs))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-unif 2-mle-norm 3-mle-gamma
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.2756385 0.09155312 0.1104104
## Cramer-von Mises statistic 1.6121113 0.10066378 0.1918594
## Anderson-Darling statistic Inf 0.72659727 1.0794623
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-unif 2-mle-norm 3-mle-gamma
## Akaike's Information Criterion NA 716.8431 712.3346
## Bayesian Information Criterion NA 721.2224 716.71393. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
## Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## mean 90.54545 6.59664
## sd 53.59138 4.66453
## Loglikelihood: -356.4216 AIC: 716.8431 BIC: 721.2224
## Correlation matrix:
## mean sd
## mean 1.000000e+00 2.186356e-07
## sd 2.186356e-07 1.000000e+00confint(fg)## 2.5 % 97.5 %
## mean 77.61628 103.47463
## sd 44.44907 62.73369D.MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA LOS TIEMPOS DE PAGO
1. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para determinar los modelos de las distribucion de los tiempos de pago de la recarga de combustible en las instalaciones del Grifo Primax, se procedio a realizar un análisis numérico. Para esta variable aleatoria tenemos que los tiempos están distribuidos entre [1-135] segundos.Teniendo una promedio de tiempo de 45.98 segundos.
Figura 1.1: Resumen estadístico para el tiempo de pago en las instalaciones del Grifo PRIMAX
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 18.00 39.00 45.98 65.00 135.00Para realizar los boxplots se eliminaron aquellos tiempos mayores a 135 segundos, que corresponden 5 situaciones relacionados con los problemas en los canales de pago como la falta de cambio y problemas con el cobro via tarjeta VISA. Se observa que, el 50% de la concentración de los datos esta entre Q1 (18) y el Q3 (65) y tiende a tener una asimetría positiva.
A. Aproximación empírica y deductiva:
plotdist(vector3, histo = TRUE, demp = TRUE,breaks=15)
B. Aproximación computacional:
Con el Gráfico de Cullen and Frey se aproxima a los modelos que mas representan a nuestras observaciones. Para, este caso nuestra distribución de datos aleatorios (500) generados a partir de nuestra colección de datos inicial muestran una mayor tendencia al modelo gamma.
## summary statistics
## ------
## min: 1 max: 135
## median: 39
## mean: 45.98333
## estimated sd: 34.18816
## estimated skewness: 0.9315087
## estimated kurtosis: 3.1966242. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los modelos a validar, los cuales son exponencial y gamma, generamos un histograma de los datos para observar cual modelo se aproxima a la distribución empírica. Teniendo la curva de la gamma como la que se aproxima con menor sesgo y bondad de ajuste en las distribuciones acumulativas.
Para comparar los modelos definidos se utiliza el Akaike information criterion (AIC), para determinar el modelo correcto que tiene una mayor similitud a la distribución empírica. De los resultados se concluye que entre los dos modelos, el mejor es el GAMMA porque su AIC =576.17 es el menor de toos los AIC.
gofstat(list(fi,fj))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-exp 2-mle-gamma
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.1277601 0.06769050
## Cramer-von Mises statistic 0.2446764 0.05908559
## Anderson-Darling statistic 1.5231702 0.38298148
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-exp 2-mle-gamma
## Akaike's Information Criterion 581.3935 576.1700
## Bayesian Information Criterion 583.4878 580.35863. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
## Fitting of the distribution ' gamma ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## shape 1.61405419 0.269327815
## rate 0.03509607 0.006848454
## Loglikelihood: -286.085 AIC: 576.17 BIC: 580.3586
## Correlation matrix:
## shape rate
## shape 1.0000000 0.8539658
## rate 0.8539658 1.0000000confint(fj)## 2.5 % 97.5 %
## shape 1.08618137 2.14192701
## rate 0.02167334 0.04851879E.MODELO DE DISTRIBUCIÓN PARA EL TIEMPO TOTAL DE SERVICIO
1. Aproximación gráfica de cada tipo de variable:
Para determinar los modelos de las distribucion del tiempo total de servicio para los automóviles en las instalaciones del Grifo Primax, se procedio a realizar un análisis numérico. Para esta variable aleatoria tenemos que los tiempos están distribuidos entre [74-456] segundos.Teniendo una promedio de tiempo de espera de 259 segundos.
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 74.0 215.0 261.0 259.0 325.5 456.0En los boxplots no se encontraron datos atípicos, dado que el tiempo de atención en las islas de atención del Grifo PRIMAX estan normalizads con tiempos de 2.5 minutos (150 segundos). Es decir, el personal que atiende debe realizar operaciones rápidas en los tiempos que interviene como los de pedido, abastecimiento y pago. Se observa que, el 50% de la concentración de los datos esta entre Q1 (74) y el Q (259) y tiende a ser simétrica.
A. Aproximación empírica y deductiva:
plotdist(vector4, histo = TRUE, demp = TRUE,breaks=30)
B. Aproximación computacional:
Con el Gráfico de Cullen and Frey se aproxima a los modelos que mas representan a nuestras observaciones. Para, este caso nuestra distribución de datos aleatorios (500) generados a partir de nuestra colección de datos inicial muestran una mayor tendencia al modelo normal y gamma.
## summary statistics
## ------
## min: 74 max: 456
## median: 261
## mean: 258.9697
## estimated sd: 86.75376
## estimated skewness: -0.1103203
## estimated kurtosis: 2.6932742. Validación de los modelos hipotéticos:
Una vez definido los modelos a validar, los cuales son una normal, lognormal y gamma, generamos un histograma de los datos para observar cual modelo se aproxima a la distribución empírica. Teniendo la curva de la normal como la que se aproximan con menor sesgo y bondad de ajuste en las distribuciones acumulativas.
Para comparar los modelos definidos se utiliza el Akaike information criterion (AIC), para determinar el modelo correcto que tiene una mayor similitud a la distribución empírica. De los resultados se concluye que entre los dos modelos, el mejor es la NORMAL porque su AIC =779.4180 es el menor de toos los AIC.
gofstat(list(fo,fp,fq))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-norm 2-mle-gamma 3-mle-lnorm
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.06941617 0.1194359 0.1466068
## Cramer-von Mises statistic 0.05559480 0.1692401 0.2884525
## Anderson-Darling statistic 0.36300151 1.0875020 1.7905672
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-norm 2-mle-gamma 3-mle-lnorm
## Akaike's Information Criterion 779.4180 785.7855 793.3657
## Bayesian Information Criterion 783.7973 790.1648 797.74503. Cálculo de parámetros de la distribución elegida
summary(fo)## Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## mean 258.96970 10.597439
## sd 86.09402 7.493524
## Loglikelihood: -387.709 AIC: 779.418 BIC: 783.7973
## Correlation matrix:
## mean sd
## mean 1 0
## sd 0 1confint(fo)## 2.5 % 97.5 %
## mean 238.19910 279.7403
## sd 71.40699 100.7811TABLA RESUMEN DE MODELOS
| VARIABLE | DISTRIBUCIÓN | PARÁMETROS |
|---|---|---|
| Tiempo entre llegadas | Exponencial | \(\lambda=0.01902748\text{ clientes/segundos}\) |
| Tiempo en cola | Gamma | \(\text{escala } \alpha=0.04052175\) \(\text{forma } \beta=1.70504944\). |
| Tiempo de pedido y abastecimiento | Normal | \(\overline{X}=90.54545\text{ clientes}\) \(\sigma=53.59138\text{ clientes}\) |
| Tiempo de pago | Gamma | \(\alpha=0.03509607\) \(\beta=1.61405419\) |
| Tiempo de atención | Normal | \(\overline{X}=258.96970\text{ clientes}\) \(\sigma=86.09402\text{ clientes}\) |
V. APLICACIÓN DE LOS MODELOS CONCEPTUALES PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS DE INTERÉS
Si el cliente está apurado al llegar al grifo y sólo se dispone a esperar a lo mucho 180 segundos hasta ser atendido o de lo contrario se retira, ¿Qué probabilidad hay de que efectivamente sea atendido, dado que ya han pasado 120 segundos, tiempo de espera establecido por el Grifo Primax?.
\[ Xi\ \text{: Tiempo de espera en cola i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Xi\sim Gamma( \alpha=0.04052175\text{ , } \beta=1.70504944) \] \[ \begin{align*} P\left(X < 180\left|\right.X > 120\right)=&\frac{P\left( X < 180, X>120 \right)}{P(X > 120)}\\\\ =&\frac{P(120<X<180)}{P(X>2)}\\\\ =&\frac{P(180>X)-P(X>120)}{1-P(X<120)}\\\\ =&\frac{0.9966841- 0.9705079}{0.02949207}\\\\ =&0.887565\\\\\ \end{align*} \]
(pgamma(180,1.70504944 , rate =0.04052175, lower.tail = T) -pgamma(120,1.70504944 , rate = 0.04052175, lower.tail = T))/(1-pgamma(120,1.70504944 , rate = 0.04052175, lower.tail = T))## [1] 0.887565Existe una probabilidad del 88.76% de los clientes que al pasar los 120 segundos optarán por retirarse del grifo Primax.
B.Segunda pregunta de interés:
Consideremos que un cliente escoge la primera estación (con menos clientes), ya que se percata que la tercera estación está ocupada por dos clientes con un tiempo de atención estimado de 300 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente espera mas de 300 segundos en la primera estación dado que la tercera estación aún tiene un cliente?
\[ Ei\ \text{: Estación escogida tipo i-esimo (1,2,3,4) }\\ p_{1,2,3,4}={(0.2727273, 0.2727273, 0.2272727, 0.2272727)}\\ Xi\ \text{: Tiempo de espera en cola i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Xi\sim Gamma( \alpha=0.04052175\text{ , } \beta=1.70504944) \] \[ \begin{align*} P\left(X < 300\left|\right.X > 150\right)=&\frac{P\left( X < 300, X>150 \right)}{P(X >150)}\\\\ =&\frac{P(150<X<300)}{P(150<X)}\\\\ =&\frac{p_1*P(X<300)-p_3*P(X>150)}{p_3*(1-P(X<150))}\\\\ =&\frac{0.2727273*0.9999645- 0.2272727*0.9900044}{0.2272727*0.009995647}\\\\ =&0.2628219\\\\\ \end{align*} \]
0.2727273*(pgamma(300,1.70504944 , rate =0.04052175, lower.tail = T))- 0.2272727*(
pgamma(150,1.70504944 , rate = 0.04052175, lower.tail = T))/0.2272727*(1-pgamma(150,1.70504944 , rate = 0.04052175, lower.tail = T))## [1] 0.2628219C.Tercera pregunta de interés:
Un cliente llega al establecimiento PRIMAX y observa que en ambas estaciones hay al menos 1 cliente esperando. Entre estas 2 islas donde los datos fueron tomados, la segunda es la menos utilizada por ciertas limitaciones de acceso. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente elija el canal 3 o 4 para realizar el servicio de abastecimiento?.
\[ Ei\ \text{: Estación escogida tipo i-esimo (1,2,3,4) }\\ P(E=3 \text{ ó }E=4)=P(E=3)+P(E=4)\\\ =0.2272727+0.2272727\\\ =0.4545455 \] La probabilidad de que los clientes elijan el canal 3 o 4 para realizar el servicio de abastecimiento en el grifo Primax es 45%.
D.Cuarta pregunta de interés:
En el proceso de atención se observa que el tiempo de pedido y abastecimiento es mayor al tiempo de pago. Sin embargo hay situaciones donde el tiempo de pago es mayor por falta de cambio en caja o fallan los canales de pago por tarjeta. Respecto a esta situación, ¿Cúal es la probabilidad de que el tiempo de atención supere a lo establecido por el Grifo Primax, a los más 150 segundos, dado que se tiene un mayor tiempo de pago de 90 segundos?
\[ Xi\ \text{: Tiempo de atencíon del i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Yi\ \text{: Tiempo de pago del i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Xi\sim Norm( \overline{X}=258.96970\text{ clientes}\text{ , } \sigma=86.09402\text{ clientes})\\ Yi\sim Gamma( \alpha=0.03509607\text{ , } \beta=1.61405419) \]
\[ \begin{align*} P\left(X >150\left|\right.Y > 90\right)=&\frac{P\left( X > 150, Y>90 \right)}{P(Y > 90)}\\\\ =&\frac{P( X > 150)}{P(Y > 90)}\\\\ =&\frac{ 0.1028092} {0.1028092}\\\\ =&0.1159314\\\\\ \end{align*} \]
pnorm(150,mean=258.96970,sd=86.09402,lower.tail=T)/
pgamma(90,1.61405419 , rate =0.03509607, lower.tail = T)## [1] 0.1159314E.Quinta pregunta de interés:
El encargado de la sucursal, quiere cumplir el tiempo de atención estipulado, 150 segundos, en las horas pico para maximizar su capacidad de atención. Por ello quiere saber, ¿Cuál es el valor esperado deltiempototaldeatención delosclientes atendidos en un tiempo menor a 150 segundos en las horas pico?
\[ Xi\ \text{: Tiempo de atencíon del i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Xi\sim Norm( \overline{X}=258.96970\text{ clientes}\text{ , } \sigma=86.09402\text{ clientes})\\ \]
## [1] 113 99 74 81 108 129 113 124## [1] 105.125\[ \begin{align*} E[X<150]=105.125 \end{align*} \]
VI. SIMULACIÓN DELTIEMPO DE ATENCION TOTAL EN EL SERVICIO
El Jefe de la Sucursal Primax, nos detalló que dentro de las políticas que tenían era brindar tiempos de atención promedio de 150 segundos por cada cliente que llegue a la estación de servicio. Lo cual, era una afirmación incorrecta dado que nuestra media era de \(\overline{X}=258.96970\) a un nivel de confianza del 95%, con Límite Inferior del modelo definido para la muestra de \(238.19910\) y el Límite Superior de la de \(279.7403\). Estos límites son muy variables y tienen una dispersión que se debe ajustar para definir los nuevos límites de control para los tiempos de atención total en el servicio.Para ello, se determinó aplicar 100 replicas de 66 datos cada una para la Distribución Normal de la variable. El tiempo de la simulación es de 2 horas, el cual corresponde a las horas pico entre las 4:00 pm y 6:00 pm. Para nuestro análisis, trabajamos el tiempo en función a los clientes estimados para la simulación.
Para estimar la cantidad de clientes para la simulación, se tomó data de 24 clientes durante la primera media hora y se estima que serían aproximadamente 48 clientes / hora. Entonces, se define que en promedio se requieren \(N=96\text{ clientes}\text{ aprox.}\)Generamos 100 réplicas para 96 datos de la variable con Distribución Normal
rep<-100
T<-96
n<-matrix(nrow=T,ncol=rep)
for(s in 1:rep){
for(i in 1:T){
n[i,s]<-rnorm(1,mean=258.96970,sd=86.09402)
}
}
ts.plot(n)
lines(vector4, col = "red")
Para cada réplica hallamos la media de los 99 datos, y calculamos la media total de las medias de las réplicas. La cual, debe aproximarse a la media de la Distrbución Normal
\[\overline{X}=258.96970\]
## [1] 276.8987 276.3540 275.1869 274.6651 272.1931 272.1435 271.4973 271.2123
## [9] 270.7004 269.9503 268.7201 268.4226 268.1549 267.9213 267.9091 267.8184
## [17] 267.6233 267.5507 267.0768 266.4531 266.3314 266.2732 266.1678 266.1198
## [25] 265.8379 265.7388 265.6938 265.3412 265.2134 265.0160 264.2534 263.7799
## [33] 263.6672 263.6327 263.5969 262.9966 262.7054 262.2998 262.0112 261.8093
## [41] 261.2042 261.1723 260.8927 260.8476 260.6551 260.5896 260.3133 260.2344
## [49] 260.1610 260.1008 259.8182 259.7143 259.4835 259.3571 259.3530 259.0772
## [57] 258.9658 258.9117 258.5684 258.5063 258.4893 258.4867 258.3284 258.3183
## [65] 258.2321 257.5061 256.8128 256.7588 256.5593 256.3640 256.3426 256.1974
## [73] 255.9748 255.7316 254.8715 254.6903 254.6106 254.0559 253.2494 252.8347
## [81] 252.7918 252.7902 252.7126 252.4192 252.3741 252.1760 251.8180 250.8066
## [89] 250.3843 249.7173 248.4307 247.8340 247.6332 246.8876 245.9643 244.8011
## [97] 242.8691 241.7323 240.4442 236.4430## [1] 259.8031
Calculamos los nuevos límites de control a un nivel de confianza del 95% para la Distribución Normal
\[Límite Inferior de la muestra:238.199\\ Límite Superior de la muestra:279.7403 \]
\[ X <- mean(vector11)\\ S <- sd(vector11)\\ Z <- qt(0.975,df=rep-1) \\ IC_Izq <- X - Z*S/sqrt(rep)\\ IC_Der <- X + Z*S/sqrt(rep)\\ \]
## [1] "Límite Inferior: 258.202075140285"## [1] "Límite Superior: 261.404087333067"## [1] "Límite Inferior de la muestra:238.19910"## [1] "Límite Superior de la muestra:279.7403"VI. SIMULACIÓN DE RATIOS DE PORCENTAJE DE TIEMPO EN COLA SOBRE SU TIEMPO TOTAL EN EL SERVICIO
En la recoleccíón de los datos, se evidencio que un cliente estaba dispuesto a esperar a lo mucho el 20 % de su tiempo que pasaría en el servicio. Es decir, si el cliente tenia un tiempo de servicio de 300 segund0s, este estaba esperando en cola 60 segundos. Para ello, es necesario analizar los ratio del cliente en cola, definido por:Calculamos los ratios en cola de nuestra muestra de 66 datos y su respectiva distribución
tcola<-matrix(nrow =1,ncol=66)
ttotal<-matrix(nrow =1,ncol=66)
for (i in 1:length(vector3)){
tcola[i]<-DATOS$Tiempo.en.cola[i]
ttotal[i]<-DATOS$Tiempo.total.de.servicio[i]
rate1<-(tcola/ttotal)
}
rate1## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 0.6460177 0.7038123 0.2356164 0.4751131 0.09859155 0.1197917 0.1295337
## [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
## [1,] 0.2164502 0.01851852 0.1888889 0.3198758 0.05070423 0.2727273 0.358209
## [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0.2915361 0.172093 0.07012987 0.1708861 0.0479798 0.01535088 0.2207084
## [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28]
## [1,] 0.08080808 0.1486486 0.1115538 0.1439689 0.04291845 0.1271186 0.08633094
## [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35]
## [1,] 0.2345679 0.04291845 0.1445087 0.345679 0.1424242 0.6481481 0.01766784
## [,36] [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42]
## [1,] 0.3737864 0.8262548 0.2248062 0.1918819 0.04938272 0.3931624 0.03759398
## [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48] [,49]
## [1,] 0.2813688 0.07964602 0.07480315 0.07258065 0.1449275 0.09259259 0.1239669
## [,50] [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56]
## [1,] 0.2872928 0.2535211 0.1849866 0.1058394 0.06792453 0.07361963 0.05882353
## [,57] [,58] [,59] [,60] [,61] [,62] [,63] [,64] [,65]
## [1,] 0.07142857 0.04358354 0.1265306 0.1296296 NA NA NA NA NA
## [,66]
## [1,] NAhist(rate1)
Eliminamos los valores donde los ratios son 0, dado que esos clientes no tuvieron tiempo de espera en cola
## [1] 0.64601770 0.70381232 0.23561644 0.47511312 0.09859155 0.11979167
## [7] 0.12953368 0.21645022 0.01851852 0.18888889 0.31987578 0.05070423
## [13] 0.27272727 0.35820896 0.29153605 0.17209302 0.07012987 0.17088608
## [19] 0.04797980 0.01535088 0.22070845 0.08080808 0.14864865 0.11155378
## [25] 0.14396887 0.04291845 0.12711864 0.08633094 0.23456790 0.04291845
## [31] 0.14450867 0.34567901 0.14242424 0.64814815 0.01766784 0.37378641
## [37] 0.82625483 0.22480620 0.19188192 0.04938272 0.39316239 0.03759398
## [43] 0.28136882 0.07964602 0.07480315 0.07258065 0.14492754 0.09259259
## [49] 0.12396694 0.28729282 0.25352113 0.18498660 0.10583942 0.06792453
## [55] 0.07361963 0.05882353 0.07142857 0.04358354 0.12653061 0.12962963## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.01535 0.07336 0.13603 0.19183 0.24009 0.82625Definimos el tipo de distribución de los ratios en cola como una EXPONENCIAL
## summary statistics
## ------
## min: 0.01535088 max: 0.8262548
## median: 0.1360269
## mean: 0.1918288
## estimated sd: 0.1745489
## estimated skewness: 1.876062
## estimated kurtosis: 6.636829
gofstat(list(f1,f2))## Goodness-of-fit statistics
## 1-mle-exp 2-mle-gamma
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0.1338048 0.09220953
## Cramer-von Mises statistic 0.1704688 0.06446011
## Anderson-Darling statistic 1.2143357 0.44360996
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-exp 2-mle-gamma
## Akaike's Information Criterion -76.13821 -79.70483
## Bayesian Information Criterion -74.04387 -75.51614summary(f1)## Fitting of the distribution ' exp ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## rate 5.212981 0.6729929
## Loglikelihood: 39.06911 AIC: -76.13821 BIC: -74.04387confint(f1)## 2.5 % 97.5 %
## rate 3.893939 6.532022Generamos 100 réplicas para 96 datos de la variable Tiempo de espera en cola con Distribución Gamma
\[ Xi\ \text{: Tiempo de espera en cola i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Xi\sim Gamma( \alpha=0.04052175\text{ , } \beta=1.70504944) \]
T<-96
tcola<-matrix(nrow=T,ncol=rep)
for(s in 1:rep){
for(i in 1:T){
tcola[i,s]<-rgamma(1,shape=1.70504944,rate=0.04052175)
}
}
ts.plot(tcola)
lines(vector3, col = "green")
Para cada réplica hallamos la media de los 99 ratios resultantes, y calculamos la media total de las medias de las réplicas. La cual, debe aproximarse a la media de la Distribución Exponencial de los ratios
\[ Ri\ \text{: Ratos en cola del i-1 y el i-ésimo cliente }\\ Ri\sim Exp( \lambda=5.212981) \]
## [1] 0.1611682## [1] 6.204696Comparando el valor esperado de la Distribución Exponencial estimada y el valor esperado de la simulación luego de 100 réplicas
\[ Eo[Ri]= \frac{1}{\lambda}\\ Eo[Ri]= \frac{1}{5.212981}\\ Eo[Ri]=0.1918 \]
\[ Er[Ri]= \frac{1}{\lambda}\\ Er[Ri]= \frac{1}{6.219654}\\ Er[Ri]=0.1608 \]