Objetivo Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

  1. Cargar librerías
library(ggplot2)

Cargar funciones

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

Se decriben ejercicios en donde se encuentra la función de distribución

2.1. Ejercicio Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(Anderson et al., 2008)

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

  1. Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos,x=5,y se obtiene: Uilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(10, 5),4)

paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)
## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = 10),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)
## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
  1. Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
datos <- data.frame(x=1:20, f.prob.x = round(dpois(x = 1:20, lambda = 10),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   1   0.0005   0.0005
## 2   2   0.0023   0.0028
## 3   3   0.0076   0.0104
## 4   4   0.0189   0.0293
## 5   5   0.0378   0.0671
## 6   6   0.0631   0.1302
## 7   7   0.0901   0.2203
## 8   8   0.1126   0.3329
## 9   9   0.1251   0.4580
## 10 10   0.1251   0.5831
## 11 11   0.1137   0.6968
## 12 12   0.0948   0.7916
## 13 13   0.0729   0.8645
## 14 14   0.0521   0.9166
## 15 15   0.0347   0.9513
## 16 16   0.0217   0.9730
## 17 17   0.0128   0.9858
## 18 18   0.0071   0.9929
## 19 19   0.0037   0.9966
## 20 20   0.0019   0.9985
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "brown") +
  geom_line(colour = 'black')

  1. ¿Cual es la probabilidad de que sea x menor o igual a diez?
datos$f.acum[10]
## [1] 0.5831
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", datos$f.acum[10])
## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.5831"
  1. Media diferente En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

                                                       10=15
                                                        ?=3
prob <- round(dpois(x = 1, lambda = 2),4)

paste("La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del: 27.07 %"

  1. El valor de la esperanza media La esperanza es igual a: 10

  2. La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623

2.2. Ejercicio En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí (Walpole et al., 2012).

n <- 400
prob <- 0.005

media <- n * prob

La media es 2

La variable aleatoria son los dias desde x=1…hasta x=n

  1. La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2
datos <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "Yellow") +
  geom_line(colour = 'Gray')

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día? Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
x <- 1
prob <- datos$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente? El indice en la taba comienza en cero
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"
  1. Interpretación de los tres ejercicios identificando al menos los siguientes puntos: 180 a 200 palabras. Distribución binomial.

3.1. ¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en el contexto? 3.2. ¿Qué valores puede tomar la variable aleatoria? 3.3. ¿Cuál es el espacio muestral?, todos los elementos 3.4. ¿Cuántos elementos hay en espacio muestral (S)? 3.5. ¿Cuántos casos hay de cada valor de cada variable aleatoria? 3.6. ¿Cuáles son las probabilidades más altas de cada variable aleatoria? 3.7. Resolver lo que se solicita encontrando al menos dos probabilidades de variables aleatorias. 3.7.1. Que sea exactamente igual a un valor de variable aleatoria 3.7.2. Qué sea menor o igual 3.7.3. Que sea mayor o igual 3.7.4. Alguna otra pregunta del caso. 3.8. ¿Qué significado tiene el gráfico de barra? 3.9. ¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado?

#RESPUESTAS

3.1 En el primer caso se trabaja con 3 variables las cuales son 15,10 y 4 que significan los minutos en que tardan los carros en llegar a la rampa en el cajero. En el segundo caso las variables son 0.0005 que significa la probabilidad de accidentes.

3.2 En el primer caso son 10,5 y 4. en el segundo caso las variables son 400 y 0.0005.

3.3 En el primer caso el espacio muestral va desde el numero 1 hasta el 20. En el segundo espacio muestral va desde el numero 1 hasta el 11.

3.4 Los elementos en el primer ejercicio son 0.0005, 0.0023, 0.0076, 0.0189, 0.378, 0.0631, 0.0901, 0.1126, 0.1251, 0.1251, 0.1137, 0.0948, 0.0729, 0.0521, 0.0347, 0.0217, 0.0128, 0.0071, 0.0037, 0.0019. Los elementos en el segundo ejercicio son 0.1353, 0.2707, 0.2707, 0.1804, 0.0902, 0.0361, 0.0120, 0.0034, 0.0009, 0.0002, 0.0000-

3.5 En el primero son 20 y en el segundo son 11.

3.6 La probabilidad mas alta obtenida en el primer caso es 0.1251 y en el segundo caso es 0.2707

3.8 La tabla para ambos ejercicios representa en forma de una parabola que inicia desde abajo, llega hasta su punto maximo y vuelve a bajar. El diagrama de barras es un gráfico que se utiliza para representar datos de variables cualitativas o discretas. Está formado por barras rectangulares cuya altura es proporcional a la frecuencia de cada uno de los valores de la variable.

3.9 Se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.