Definicion

Las integrales triples son el análogo de las integrales dobles para tres dimensiones. Son una herramienta para sumar infinitas cantidades infinitesimales asociadas con puntos de una región tridimensional.

Ejemplo # 1

Solucion

\[\int \int \int xyz^2 dV\] Integral iterada: \[\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} xyz^2 dxdydz \] \[\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2}yz^2 \int_{0}^{1} x dxdydz \] \[\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2}yz^2 [ \frac{x^2}{2}] \] \[\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2}\frac{yz^2}{2} [ {x^2}]_{0}^{1} \]

\[ [(1)^2-(0)^2] \]

\[\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2}\frac{1}{2}{yz^2}\] siguiendo con la suguiente integral

\[\int_{0}^{3}\frac{1}{2}z^2 \int_{-1}^{2}y dydz\]

\[\int_{0}^{3}\frac{1}{2}z^2 [ \frac{y^2}{2}]\] \[\int_{0}^{3}\frac{1}{4}z^2 [ {y^2}]_{-1}^{2}\]

\[ [(2)^2-(-1)^2] \]

\[\int_{x=0}^{x=3}\frac{1}{4}z^2 (3)\] \[\int_{x=0}^{x=3}\frac{3}{4}z^2 dz\] Relalizamos la ultima integral restante

\[\frac{3}{4}\int_{x=0}^{x=3}z^2\] \[\frac{3}{4}[\frac{Z^3}{3}]\]

\[\frac{1}{4}[Z^3]_{x=0}^{x=3}\] \[[(3)^3-(0)^3] \] \[\frac{1}{4}(27)\]

RESULTADO \[V=\frac{27}{4}unds^3\] unds= unidades.

Segundo ejemplo

Integre F(x,y,z) 51 sobre el tetraedro D del ejemplo 2 en el orden dz dy dx.

Tenemos la siguiente integral: \[\int \int \int dzdydx \]

y esta dada a: \[B={\{(xyz)/0\leq X \leq 1, x\leq Y \leq 1,0 \leq Z \leq y-x \}}\]

Integral iterada \[\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \int_{0}^{y-x} dzdydx \]

\[\int_{0}^{1}dx \int_{x}^{1}dy \int_{0}^{y-x} dz \]

\[\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} dy(Z)_{0}^{y-x} \] \[(y-x)-(0)\] Procedemos a realizar la segunda integracion.

\[\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} dy(y-x) \] \[\int_{0}^{1} dx [y(y-x)]_{x}^{1} \] \[\int_{0}^{1} dx (\frac{y^2}{2}-xy)_{x}^{1} \]

\[\int_{0}^{1} dx (\frac{1}{2}y^2-xy)_{x}^{1} \]

\[[\frac{1}{2}(1)^2-x(1)] - [\frac{1}{2}(x)^2-x(x)]\]

\[(\frac{1}{2}-x)-(\frac{1}{2}x^2-x^2)\]

\[\frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}x^2\]

\[\int_{0}^{1} dx (\frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}x^2) \] Procegimos a integrar la ultima integral para terminar.

\[ x(\frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}x^2) \] \[ (\frac{1}{2}x- \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3}) \] \[ (\frac{1}{2}x- \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3)_{0}^{1} \] \[ (\frac{1}{2}- \frac{1}{2}+\frac{1}{6}) \]

RESULTADO \[V=\frac{1}{6}unds^3\]

Ejemplo 3

Calcular el volumen del solido acotado por \[B={\{(xyz)/-2\leq X \leq 2, x^2\leq Y \leq 4,0 \leq Z \leq 4-y \}}\]

Tenemos la siguiente integral: \[\int \int \int dV\] Integral iterada \[\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} \int_{0}^{4-y} dzdydx \] \[\int_{-2}^{2}dx \int_{x^2}^{4}dy \int_{0}^{4-y} dz \] Resolvemos la segunda integral que de dy \[\int_{-2}^{2}dx \int_{x^2}^{4}dy (4-y)\] \[\int_{-2}^{2}dx (y(4-y))\] \[\int_{-2}^{2}dx (4y- \frac{1}{2}y^2)_{x^2}^{4}\] \[[4(4)-\frac{1}{2}(4)^2]-[4(x^2)-\frac{1}{2}(x^2)^2]\]

\[[16-\frac{16}{2}]-[4x^2-\frac{1}{2}x^4]\] \[[8-4x^2+\frac{1}{2}x^4]\] Pasamos a resolver la ultima integral que es la dx \[\int_{-2}^{2}dx (8-4x^2+ \frac{1}{2}x^4)\] \[X (8-4x^2+ \frac{1}{2}x^4)\] \[(8x-\frac{4}{3}x^3+ \frac{1}{10}x^5)_{-2}^{2}\] \[[8(2)-\frac{4}{3}(2)^3+ \frac{1}{10}(2)^5]-[8(-2)-\frac{4}{3}(-2)^3+ \frac{1}{10}(-2)^5]\] \[[16-\frac{32}{3}+ \frac{32}{10}]-[-16+\frac{32}{3}- \frac{32}{10}]\] \[[16-\frac{32}{3}+ \frac{32}{10}+16-\frac{32}{3}+ \frac{32}{10}]\] \[[16-\frac{32}{3}+ \frac{32}{10}+16-\frac{32}{3}+ \frac{32}{10}]\]

RESULTADO \[V=\frac{256}{15}unds^3\]

Gracias por acompañarme en resolver estas integrales triples en coordenadas rectangulares.

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