Objetivo

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

Descripcion

1. Cargar librerías

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3

Cargar funciones

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

2. Ejercicios

2.1. Ejercicio

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.(Anderson et al., 2008)

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

  1. Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos,x=5,y se obtiene: Uilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(10, 5),4)

paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)
## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

Utilizando la funcón dpois()

prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = 10),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)
## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"
  1. Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
datos <- data.frame(x=1:20, f.prob.x = round(dpois(x = 1:20, lambda = 10),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   1   0.0005   0.0005
## 2   2   0.0023   0.0028
## 3   3   0.0076   0.0104
## 4   4   0.0189   0.0293
## 5   5   0.0378   0.0671
## 6   6   0.0631   0.1302
## 7   7   0.0901   0.2203
## 8   8   0.1126   0.3329
## 9   9   0.1251   0.4580
## 10 10   0.1251   0.5831
## 11 11   0.1137   0.6968
## 12 12   0.0948   0.7916
## 13 13   0.0729   0.8645
## 14 14   0.0521   0.9166
## 15 15   0.0347   0.9513
## 16 16   0.0217   0.9730
## 17 17   0.0128   0.9858
## 18 18   0.0071   0.9929
## 19 19   0.0037   0.9966
## 20 20   0.0019   0.9985
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

  1. ¿Cual es la probabilidad de que sea x menor o igual a diez?
datos$f.acum[10]
## [1] 0.5831
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", datos$f.acum[10])
## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.5831"
  1. Media diferente En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

10=15 ?=3

Entonces, la probabilidad de $x4 llegadas en un lapso de 3 minutos con μ=2 está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

f(x)=e−22xx!

Entonces ….

prob <- round(dpois(x = 1, lambda = 2),4)

paste("La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad cuando x = 1 y media igual a 2 es del: 27.07 %"

  1. El valor de la esperanza media La esperanza es igual a: 10

  2. La varianza es 10 y la desviación estándard es: 3.1623

2.2. Ejercicio

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí (Walpole et al., 2012).

n <- 400
prob <- 0.005

media <- n * prob

La media es 2

La variable aleatoria son los dias desde x=1…hasta x=n

  1. La tabla de distribución de probablidad de Poisson con media igual a 2
datos <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   0   0.1353   0.1353
## 2   1   0.2707   0.4060
## 3   2   0.2707   0.6767
## 4   3   0.1804   0.8571
## 5   4   0.0902   0.9473
## 6   5   0.0361   0.9834
## 7   6   0.0120   0.9954
## 8   7   0.0034   0.9988
## 9   8   0.0009   0.9997
## 10  9   0.0002   0.9999
## 11 10   0.0000   0.9999
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día? P(x=1) Recorddar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor x+1 en la tabla:
x <- 1
prob <- datos$f.prob.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente? El indice en la taba comienza en cero
x <- 3
prob <- datos$f.acum.x[x+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)
## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

3. Interpretación de los tres ejercicios identificando al menos los siguientes puntos: 180 a 200 palabras. Distribución binomial.

3.1. ¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en el contexto?

en el ejercicio 2.1 nos dice que trabaja con las variables de 15, 10, 4 que es o quiere decir el lapso en minutos de tiempo que tardan en llegar los automoviles a la rampa del cajero automático de un banco.

en el ejericio 2.2 nos dice en el contexto que en unas instalaciones industriales ocurren dia a dia accidentes con diferentes tipo de probabilidad ya que un dia pueden llegar a ocurri digamos 2 accidentes y en otro dia 5 accidentes, las variables a trabajar en este ejercicio es 0.0005 que es la probabilidad de accidentes que ocurren en estas instalaciones, y se estima el numero o la cantidad de 400 que significa que durante esos 400 dias cuantos accidentes pueden llegar a ocurrir en ese lapso de dias.

3.2. ¿Qué valores puede tomar la variable aleatoria?

en el ejericio 1 las variables que toma son: 10, 5, 4. en el ejercicio 2 las variables que toma son:400, 0.0005

3.3. ¿Cuál es el espacio muestral?, todos los elementos

el espacio muestral que se pueden a dar aconocer en el ejericio 2.1 son: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 el espacio muestral que se da a conocer en el ejericio 2.2 es: 1.2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

3.4. ¿Cuántos elementos hay en espacio muestral (S)?

los elementos obtenidos en el ejercicio 2.1 son: 0.0005, 0.0023, 0.0076, 0.0189, 0.378, 0.0631, 0.0901, 0.1126, 0.1251, 0.1251, 0.1137, 0.0948, 0.0729, 0.0521, 0.0347, 0.0217, 0.0128, 0.0071, 0.0037, 0.0019 los elementos obtenidos en el ejercicio 2.2 son: 0.1353, 0.2707, 0.2707, 0.1804, 0.0902, 0.0361, 0.0120, 0.0034, 0.0009, 0.0002,0.0000

3.5. ¿Cuántos casos hay de cada valor de cada variable aleatoria?

en el ejericio 1 los casos que se presentan son :20 en el ejericio 2 los casos que se ven presentes son:11

3.6. ¿Cuáles son las probabilidades más altas de cada variable aleatoria?

en el ejericio 2.1 la probabilidad mas alta obtenida fue de: 0.1251 en el ejericio 2.2 la probabilidad mas alta que se obtuvo fue de :0.2707

3.8. ¿Qué significado tiene el gráfico de barra?

tanto como el ejericio 2.1 y el ejercicio 2.2 representa en los graficos que aparecen la probabilidad generada y cual fue la mas alto y el mas bajo generado asi una onda o parabola, este diagrama se puede representar de diferentes formas ya sea asi generando una onda o parabola o de otra forma que nos da a conocer los resultados son por medio de barras con diferentes tamaños indicando su probabilidad ya sea esta alta o baja. El diagrama de barras (o gráfico de barras) es un gráfico que se utiliza para representar datos de variables cualitativas o discretas. Está formado por barras rectangulares cuya altura es proporcional a la frecuencia de cada uno de los valores de la variable.

3.9. ¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado?

se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.El diagrama lineal se suele utilizar con variables cuantitativas, para ver su comportamiento en el transcurso del tiempo.

Referencias Bibliográficas

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,

Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2006). Introducción a la probabilidad y estadística (13a Edición).

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.