Objetivo:

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

Descripcion:

Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación asociado a distribuciones Poisson. Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas y distribuciones binomiales.

Proceso:

Paso 1: Cargar librerias

library(ggplot2)
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

Paso 2: Ejercicios

Ejercicio 2.1

Ejercicio sacado de: (http://www.chihuahua.tecnm.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm)

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día ¿Cuáles son las probabilidades de que reciba 4 cheques sin fondo en un día dado?

  • Uilizando la función creada conforme a la fórmula.
prob1 <- round(f.prob.poisson(6, 4),4)

paste("La probabilidad de que que reciba 4 cheques sin fondo en un día es de: ", prob1)
## [1] "La probabilidad de que que reciba 4 cheques sin fondo en un día es de:  0.1339"
  • Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
datos1 <- data.frame(x=1:10, f.prob.x1 = round(dpois(x = 1:10, lambda = 6),4))

datos1 <- cbind(datos1, f.acum.x1 = cumsum(datos1$f.prob.x1))

datos1
##     x f.prob.x1 f.acum.x1
## 1   1    0.0149    0.0149
## 2   2    0.0446    0.0595
## 3   3    0.0892    0.1487
## 4   4    0.1339    0.2826
## 5   5    0.1606    0.4432
## 6   6    0.1606    0.6038
## 7   7    0.1377    0.7415
## 8   8    0.1033    0.8448
## 9   9    0.0688    0.9136
## 10 10    0.0413    0.9549
ggplot(data = datos1, aes(x,f.prob.x1) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = "black")

  • ¿Cual es la probabilidad de que sea menor o igual a 7 cheques sin fondos?
paste("La probabilidad de que sea menor o igual a 7 cheques sin fondos es: ", datos1$f.acum.x1[7])
## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a 7 cheques sin fondos es:  0.7415"
  • ¿Cual es la probabilidad de que 10 cheques sin fondos lleguen en los dos días consecutivos?
prob2 <- round(dpois(x = 10, lambda = 6),4)

paste("La probabilidad de que 10 cheques sin fondos lleguen en los dos días consecutivos es del:", prob2 * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que 10 cheques sin fondos lleguen en los dos días consecutivos es del: 4.13 %"
  • Determinar el valor esperado valor esperado (VE)
VE1 <- prob1 * prob2
paste ("El valor esperado es: ", VE1,"%")
## [1] "El valor esperado es:  0.00553007 %"
  • Determinar la varianza y su desviación estándard
VA1 <- prob1 * prob2 *( 1 - prob2)
paste ("La varianza es: ", round(VA1,4),"%")
## [1] "La varianza es:  0.0053 %"
DE1<- sqrt(VA1)
paste("La desviación estandar es: ", round(DE1, 2),"%")
## [1] "La desviación estandar es:  0.07 %"

Ejercicio 2.2:

Ejercicio sacado de: (http://www.chihuahua.tecnm.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm)

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar una imperfección en 3 minutos.

  • Uilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(0.2, 3),4)

paste("La probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos es de: ", prob)
## [1] "La probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos es de:  0.0011"
  • Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
datos <- data.frame(x=1:5, f.prob.x = round(dpois(x = 1:5, lambda = 0.2),4))

datos <- cbind(datos, f.acum.x = cumsum(datos$f.prob.x))

datos
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 1   0.1637   0.1637
## 2 2   0.0164   0.1801
## 3 3   0.0011   0.1812
## 4 4   0.0001   0.1813
## 5 5   0.0000   0.1813
ggplot(data = datos, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "blue") +
  geom_line(colour = "orange")

¿Cual es la probabilidad de que sea menor o igual a 3 minutos?

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a 3 minutos es: ", datos$f.acum[3])
## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a 3 minutos es:  0.1812"
  • ¿Cual es la probabilidad de que en 4 se encuentren dos imperfecciones consecutivos?
prob <- round(dpois(x = 2, lambda = 4),4)

paste("La probabilidad cuando x = 2 y media igual a 4 es del:", prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad cuando x = 2 y media igual a 4 es del: 14.65 %"
  • Determinar el valor esperado valor esperado (VE)
VE <- prob * prob
paste ("El valor esperado es: ", VE,"%")
## [1] "El valor esperado es:  0.02146225 %"
  • Determinar la varianza y su desviación estándard
VA <- prob * prob *( 1 - prob)
paste ("La varianza es: ", round(VA,4),"%")
## [1] "La varianza es:  0.0183 %"
DE<- sqrt(VA)
paste("La desviación estandar es: ", round(DE, 2),"%")
## [1] "La desviación estandar es:  0.14 %"

Paso 3: Interpretación de los dos ejercicios y sobre la distribución de Poisson.

En este caso, se uso las variables aleatoreas, junto con la distribución de Poisson, la cual trata de una frecuencia media, en la que se tiene que sacar la probabilidad en un determinado numero de eventos en cierto tiempo.

  • En los ejercicios presentados en este caso, se hicieron con la distribución de Poisson, la cual su variable aleatoria son un evento y tiempo determinado, el cual su significado en contexto es que con la distribución de Poisson se puede sacar esa probabilidad del evento, ejemplo es el primero dice que la probabilidad de que que reciba 4 cheques sin fondo en un día es de 0.1339, lo que quiere decir que esa es la probabilidad de que en un dia, la persona o un banco puede resibir un cheque sin fondos.

  • Los valores tomados de la variable aleatoria, en el primer ejercicio, el evento son de 6 cheques y el tiempo son los 4 dias, en el segundo ejercicio, se tomaron los siguientes datos, se identifican 0.2 de imperfecciones en una estructura electronica en un tiempo de 3 minutos, el cual da como probabilidad de poder repararlo en 3 minutos es de 0.0011, el cual es poco tiempo.

  • Tambien en este caso se saco la menor cantidad que la probabilidad, junto con la distribucion de Poisson nos puede dar como resultado, en el primer ejercicio, la probabilidad de que sea menor o igual a 7 cheques sin fondos es de 0.7415, lo que quiere decir que casi imposible que una persona o banco pueda resibir los 7 cheques, y en el segundo dio que la probabilidad de que sea menor o igual a 3 minutos es 0.1812, lo cual indica que para reparar la imperfeccion de la estructura es casi imposible de reparar en 3 minutos.

  • Ahora, las tablas y graficas de la probabilidad de Poisson de cada ejercicio, se pude observar que, en la tabla del primer ejercicio, las probabilidades son mas altas en un determinado punto que las del segundo ejercicio, esto quiere decir que las probabilidades del primer evento, tienen un rango mas alto de exito que las del segundo evento.

  • Y esto se puede ver en sus graficas, ya que en ambas se puede ver como en la segunda inicia bien con sus probabilidades, pero despues va perdiendo posibilidades, haciendo que las probabilidades del primer ejercicio aumenten, aunque disminuye un poco, pero no llega hasta abajo.