Introducción a los procesos estocástico

En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico \(xt\) puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales: • señales de telecomunicación; • señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.); • señales sísmicas; • el número de manchas solares año tras año; • el índice de la bolsa segundo a segundo; • la evolución de la población de un municipio año tras año; • el tiempo de espera en la cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla; • el clima, un gigantesco conjunto de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etcétera) que evolucionan en el espacio y en el tiempo; • los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.

Cádenas de markov

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria, “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros.

Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra,los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

-> Ejemplo: Suponga que la posibilidad que llueva mañana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los días anteriores, solo del estado del clima de hoy.

Suponga también que si llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad α, y si no llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad β.

setwd("~/PROBABILIDAD")
library(markovchain)

## Package:  markovchain
## Version:  0.8.5-2
## Date:     2020-09-07
## BugReport: https://github.com/spedygiorgio/markovchain/issues

library(expm)

## Loading required package: Matrix

## 
## Attaching package: 'expm'

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     expm

library(tm)

## Loading required package: NLP

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(tidyr)

## 
## Attaching package: 'tidyr'

## The following objects are masked from 'package:Matrix':
## 
##     expand, pack, unpack

library(diagram)

## Loading required package: shape

Ejercicio de cadena de markov en R

documentación del paquete markovchain: https://cran.r-project.org/web/packages/markovchain/markovchain.pdf

Esta libreria pretende proveer objetos para realizar analisis estadísticos de cadenas de markov a tiempos discretos. Asumamos que tenemos una cadena de markov X={X1,X2,…} definida en el espacio de estados S={a,b,c} y cuya matriz de transición es:

\[ P = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ \end{array} } \right)\]

Dicha cadena podemos crearla en R, de la siguiente forma:

Crear la matriz de transicion P:

P = matrix(c(0,0.5,0.5,.5,0,.5,.5,.5,0),nrow = 3,byrow = TRUE) 
P

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  0.0  0.5  0.5
## [2,]  0.5  0.0  0.5
## [3,]  0.5  0.5  0.0

El argumento “nrows” de la funcion matrix es para declarar el numero de filas que deseamos que nuestra matriz P posea, y el argumento “byrows” es para que almacene los elementos de la matriz almacenados en c(), fila por fila.

Crear la matriz de transición creamos el objeto “markovchain” de la siguiente forma:

mc = new("markovchain",transitionMatrix=P,states=c("a","b","c"),name="Cadena 1")

La estructura del objeto mc (cadena de markov) esta dad por str:

str(mc)

## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
##   ..@ states          : chr [1:3] "a" "b" "c"
##   ..@ byrow           : logi TRUE
##   ..@ transitionMatrix: num [1:3, 1:3] 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0
##   .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
##   .. .. ..$ : chr [1:3] "a" "b" "c"
##   .. .. ..$ : chr [1:3] "a" "b" "c"
##   ..@ name            : chr "Cadena 1"

Resumen de la cadena de markov 1:

summary(mc)

## Cadena 1  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## a b c 
## Recurrent classes: 
## {a,b,c}
## Transient classes: 
## NONE 
## The Markov chain is irreducible 
## The absorbing states are: NONE

Para visualizar la transición de la cadena, utilizamos el comando plot:

plot(mc)

-> Asignación:

Encontrar un ejemplo práctico en código implementado en R de la cadena de markov a algún problema en particular y explicarlo.

Cadenas de Markov para predecir condiciones climaticas

###Matriz de probablilidades de transición de estados

estados <- c("lluvia","soleado","nublado","granizo")
clima <- matrix(c(.53,.15,.25,0.07,
                  .14,.72,.14,0,
                  .4,.25,.35,0,
                  .56,.1,.29,.05),
             nrow=4, byrow=TRUE)
row.names(clima) <- estados
colnames(clima) <- estados
clima

##         lluvia soleado nublado granizo
## lluvia    0.53    0.15    0.25    0.07
## soleado   0.14    0.72    0.14    0.00
## nublado   0.40    0.25    0.35    0.00
## granizo   0.56    0.10    0.29    0.05

###Sumatoria de probabilidades

rowSums(clima)

##  lluvia soleado nublado granizo 
##       1       1       1       1

###Diagrama de transición de estados

plotmat(clima,pos = c(2,2), 
        lwd = 1, box.lwd = 2, 
        cex.txt = 0.8, 
        box.size = 0.1, 
        box.type = "circle", 
        box.prop = 0.5,
        box.col = "light blue",
        arr.length=.1,
        arr.width=.1,
        self.cex = .4,
        self.shifty = -.01,
        self.shiftx = .13,
        main = "")

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para el segundo día después

clima2 <- clima %^% 2
clima2

##         lluvia soleado nublado granizo
## lluvia  0.4411  0.2570  0.2613  0.0406
## soleado 0.2310  0.5744  0.1848  0.0098
## nublado 0.3870  0.3275  0.2575  0.0280
## granizo 0.4548  0.2335  0.2700  0.0417

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para el tercer día después

clima3 <- clima %^% 3
clima3

##           lluvia  soleado  nublado  granizo
## lluvia  0.397019 0.320590 0.249484 0.032907
## soleado 0.282254 0.495398 0.205688 0.016660
## nublado 0.369640 0.361025 0.240845 0.028490
## granizo 0.405086 0.308010 0.252983 0.033921

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para el quinto día después

clima5 <- clima %^% 5
clima5

##            lluvia   soleado   nublado    granizo
## lluvia  0.3606978 0.3755706 0.2361131 0.02761853
## soleado 0.3261174 0.4283488 0.2227654 0.02276840
## nublado 0.3526092 0.3878994 0.2330142 0.02647712
## granizo 0.3631654 0.3718005 0.2370710 0.02796302

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para quince días después

clima15 <- clima %^% 15
clima15

##            lluvia   soleado   nublado    granizo
## lluvia  0.3451274 0.3993311 0.2301086 0.02543303
## soleado 0.3450409 0.3994630 0.2300752 0.02542091
## nublado 0.3451071 0.3993619 0.2301007 0.02543020
## granizo 0.3451335 0.3993216 0.2301109 0.02543390

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para un mes después

clima30 <- clima %^% 30
clima30

##            lluvia   soleado   nublado    granizo
## lluvia  0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## soleado 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## nublado 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## granizo 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756

##Matriz de probabilidades de detransición de estados para dos mes después

clima60 <- clima %^% 60
clima60

##            lluvia   soleado   nublado    granizo
## lluvia  0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## soleado 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## nublado 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756
## granizo 0.3450883 0.3993906 0.2300935 0.02542756

####Se observa que las probabilidades se estabilizan entre quince dias y un mes

##Vector de probabilidades para dos días despues si hoy fue un día de lluvia

u <- c(1,0,0,0)
vectorP<-(u %*% clima2)
vectorP

##      lluvia soleado nublado granizo
## [1,] 0.4411   0.257  0.2613  0.0406

###Probalidad de que mañana esté nublado ya que hoy es un día soleado

v <- matrix(c(0,0,1,0),nrow=4, byrow=TRUE)
u <- c(0,1,0,0)
vectorP2<-(u %*% clima %*% v)
vectorP2

##      [,1]
## [1,] 0.14

Asignación

Dibuje el diagrama de transición, determine las clases de comunicación de las siguientes cadenas de Markov, clasifique éstas como recurrentes o transitorias (20%), y encuentre la distribución estacionaria si existe (10%).

\[ P = \left( {\begin{array}{cccc} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ \end{array} } \right) \]

Construccion de matriz

M = matrix(c(1/2,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/4,1/4,1/4,1/4),nrow = 4, byrow = TRUE)
M

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 0.50 0.50 0.00 0.00
## [2,] 0.00 0.50 0.50 0.00
## [3,] 0.00 0.50 0.50 0.00
## [4,] 0.25 0.25 0.25 0.25

Matriz de transicion con el objeto ‘Markovchain’

MC = new("markovchain",transitionMatrix = M, states = c("A","B","C","D"), name = "Cadena de Markov")

Estructura de la matriz

str(MC)

## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
##   ..@ states          : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   ..@ byrow           : logi TRUE
##   ..@ transitionMatrix: num [1:4, 1:4] 0.5 0 0 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0 0.5 ...
##   .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
##   .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
##   ..@ name            : chr "Cadena de Markov"

Summary de la matriz

summary(MC)

## Cadena de Markov  Markov chain that is composed by: 
## Closed classes: 
## B C 
## Recurrent classes: 
## {B,C}
## Transient classes: 
## {A},{D}
## The Markov chain is not irreducible 
## The absorbing states are: NONE

Visualizacion de la cadena de Markov

plot(MC)

Se puede obtener los siguientes resultados para la siguiente cadena de Markov:

Distribucion estacionaria

steadyStates(MC)

##      A   B   C D
## [1,] 0 0.5 0.5 0

U2A7

Andrea Felix

23/11/2020

Introducción a los procesos estocástico

Cádenas de markov

Ejercicio de cadena de markov en R

Asignación