## Package: markovchain
## Version: 0.8.5-2
## Date: 2020-09-07
## BugReport: https://github.com/spedygiorgio/markovchain/issuesIntroducción a los procesos estocástico
En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico \(xt\) puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.
- Ejemplos
Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales: • señales de telecomunicación; • señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.); • señales sísmicas; • el número de manchas solares año tras año; • el índice de la bolsa segundo a segundo; • la evolución de la población de un municipio año tras año; • el tiempo de espera en la cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla; • el clima, un gigantesco conjunto de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etcétera) que evolucionan en el espacio y en el tiempo; • los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.
Cádenas de markov
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria, “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros.
Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra,los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.
-> Ejemplo: Suponga que la posibilidad que llueva mañana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los días anteriores, solo del estado del clima de hoy.
Suponga también que si llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad α, y si no llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad β.
Ejercicio de cadena de markov en R
documentación del paquete markovchain: https://cran.r-project.org/web/packages/markovchain/markovchain.pdf
Esta libreria pretende proveer objetos para realizar analisis estadísticos de cadenas de markov a tiempos discretos. Asumamos que tenemos una cadena de markov X={X1,X2,…} definida en el espacio de estados S={a,b,c} y cuya matriz de transición es:
\[ P = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ \end{array} } \right)\]
Dicha cadena podemos crearla en R, de la siguiente forma:
Crear la matriz de transicion P:
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.0 0.5 0.5
## [2,] 0.5 0.0 0.5
## [3,] 0.5 0.5 0.0El argumento “nrows” de la funcion matrix es para declarar el numero de filas que deseamos que nuestra matriz P posea, y el argumento “byrows” es para que almacene los elementos de la matriz almacenados en c(), fila por fila.
Crear la matriz de transición creamos el objeto “markovchain” de la siguiente forma:
- La estructura del objeto mc (cadena de markov) esta dad por str:
## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
## ..@ states : chr [1:3] "a" "b" "c"
## ..@ byrow : logi TRUE
## ..@ transitionMatrix: num [1:3, 1:3] 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0
## .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
## .. .. ..$ : chr [1:3] "a" "b" "c"
## .. .. ..$ : chr [1:3] "a" "b" "c"
## ..@ name : chr "Cadena 1"- Resumen de la cadena de markov 1:
## Cadena 1 Markov chain that is composed by:
## Closed classes:
## a b c
## Recurrent classes:
## {a,b,c}
## Transient classes:
## NONE
## The Markov chain is irreducible
## The absorbing states are: NONEPara visualizar la transición de la cadena, utilizamos el comando plot:
Otras funciones importantes son:
absorbingStates(): Identifica los estados Absorbentes
transientStates(): Identifica los estados Transitorios
recurrentClasses(): Identifica las clases recurrentes
Para la cadena de markov definida se obtiene que:
## [[1]]
## [1] "a" "b" "c"## character(0)## character(0)Análisis probabilístico
Para conocer la probabilidad de transición en 1 paso entre un estado y otro basta con utilizar la función transitionProbability(), con los argumentos:
object: la cadena de markov
t0: el estado en el tiempo 0
t1: el estado en el tiempo 1
La probabilidad de transicion en un paso del estado “a” al estado “c” es:
## [1] 0.5Recuerde que dicha probabilidad es un elemento de la matriz de transición P, por lo tanto, la probabilidad de transicion del estado “a” al estado “b” es simplemente P23
## [1] 0.5Es posible computar la matriz de transición en n pasos, simplemente computando la n-ésima potencia de la matriz de transición P, como ejemplo calcularemos la matriz de transición en n = 5 pasos.
## Cadena 1^5
## A 3 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states:
## a, b, c
## The transition matrix (by rows) is defined as follows:
## a b c
## a 0.31250 0.34375 0.34375
## b 0.34375 0.31250 0.34375
## c 0.34375 0.34375 0.31250Tambien se pueden conocer la distribución de la cadena en n pasos adelante (P(Xn)) multiplicando la distribucion inicial de X0 por la matriz de transición en n pasos (Pn), calcule la distribución de la cadena en el tiempo n = 6, si la ditribución inicial de la cadena es “(0.5, 0.2, 0.3)”.
## a b c
## [1,] 0.3359375 0.33125 0.3328125Puesto que Xn es una función de densidad, la suma de las probabilidades en todos los estados debe ser 1.
## [1] 1Finalmente encontrar la distribución estacionaria de la cadena se obtiene mediante la función “steadyStates” de la siguiente forma:
## a b c
## [1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333Recuerde que los tiempos medio de recurrencia son los inversos multiplicativos de la distribución estacionaria y pueden ser computados facilmente.
## a b c
## [1,] 3 3 3Asignación 1:
Dibuje el diagrama de transición, determine las clases de comunicación de las siguientes cadenas de Markov, clasifique éstas como recurrentes o transitorias (20%), y encuentre la distribución estacionaria si existe (10%).
\[ P = \left( {\begin{array}{cccc} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ \end{array} } \right) \]
EJ <- matrix(c(0.5,0.5,0,0,0,0.5,0.5,0,0,0.5,0.5,0,0.25,0.25,0.25,0.25),nrow = 4, byrow = TRUE)
colnames(EJ) <- c('A','B','C','D')
rownames(EJ) <- c('A','B','C','D')
EJ## A B C D
## A 0.50 0.50 0.00 0.00
## B 0.00 0.50 0.50 0.00
## C 0.00 0.50 0.50 0.00
## D 0.25 0.25 0.25 0.25Generando la Matriz para la elaboración de la cadena de markov
La estructura de la cadena esta dada por str
## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
## ..@ states : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
## ..@ byrow : logi TRUE
## ..@ transitionMatrix: num [1:4, 1:4] 0.5 0 0 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0 0.5 ...
## .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
## .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
## .. .. ..$ : chr [1:4] "A" "B" "C" "D"
## ..@ name : chr "Ejericio"Resumen de la cadena:
## Ejericio Markov chain that is composed by:
## Closed classes:
## B C
## Recurrent classes:
## {B,C}
## Transient classes:
## {A},{D}
## The Markov chain is not irreducible
## The absorbing states are: NONECalculando la probabilidad de pasar del estado (A:A) (A:B) (A:C) (A:D), (B:A) (B:B) (B:C) (B:D), (C:A) (C:B) (C:C) (C:D) y (D:A) (D:B) (D:C) (D:D)
## [1] 0.5## [1] 0.5## [1] 0## [1] 0## [1] 0## [1] 0.5## [1] 0.5## [1] 0## [1] 0## [1] 0.5## [1] 0.5## [1] 0## [1] 0.25## [1] 0.25## [1] 0.25## [1] 0.25Calculemos como será la matriz de transición en 7 pasos al futuro:
## Ejericio^7
## A 4 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states:
## A, B, C, D
## The transition matrix (by rows) is defined as follows:
## A B C D
## A 0.007812500 0.500000 0.4921875 0.000000e+00
## B 0.000000000 0.500000 0.5000000 0.000000e+00
## C 0.000000000 0.500000 0.5000000 0.000000e+00
## D 0.007751465 0.499939 0.4922485 6.103516e-05Conociendo la distribución estacionaria de la cadena:
## A B C D
## [1,] 0 0.5 0.5 0
Asignación 2:
Encontrar un ejemplo práctico en código implementado en R de la cadena de markov a algún problema en particular y explicarlo.
Ejemplo:
Al travez del tiempo las clases sociales se hacen cada vez mas distantes, es mas dificil de pasar de pobre a rico y de rico a pobre, en este caso se intentara ver como es esa transicion entre las clases sociales a travez del tiempo.
Generando la matriz para la elaboración de la cadena de markov
clases <- matrix(c(0.7,0.25,0.05,0.3,0.55,0.15,0.1,0.4,0.5),nrow = 3,byrow = TRUE)
colnames(clases) <- c('B','M','A')
rownames(clases) <- c('B','M','A')
clases## B M A
## B 0.7 0.25 0.05
## M 0.3 0.55 0.15
## A 0.1 0.40 0.50La estructura del objeto mc (cadena de markov) esta dad por str:
## Formal class 'markovchain' [package "markovchain"] with 4 slots
## ..@ states : chr [1:3] "B" "M" "A"
## ..@ byrow : logi TRUE
## ..@ transitionMatrix: num [1:3, 1:3] 0.7 0.3 0.1 0.25 0.55 0.4 0.05 0.15 0.5
## .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
## .. .. ..$ : chr [1:3] "B" "M" "A"
## .. .. ..$ : chr [1:3] "B" "M" "A"
## ..@ name : chr "Clases sociales"Calculando la probabilidad de pasar del estado (A:A) (A:B) (A:C), (B:A) (B:B) (B:C) y (C:A) (C:B) (C:C)
## [1] 0.7## [1] 0.25## [1] 0.05## [1] 0.3## [1] 0.55## [1] 0.15## [1] 0.1## [1] 0.4## [1] 0.5Calculemos como será la matriz de transición en 7 pasos al futuro:
## Clases sociales^7
## A 3 - dimensional discrete Markov Chain defined by the following states:
## B, M, A
## The transition matrix (by rows) is defined as follows:
## B M A
## B 0.4503714 0.3900852 0.1595435
## M 0.4444332 0.3925226 0.1630442
## A 0.4374319 0.3953362 0.1672320Conociendo la distribución estacionaria de la cadena:
## B M A
## [1,] 0.4459459 0.3918919 0.1621622Para visualizar la transición de la cadena, utilizamos el comando plot:
### Grafica de la cadena
mosaicplot(clases,main = "Transisión de clase social a clase social entre generaciones" , color = c(6,3,5),cex.axis = 1.1, off = 3)
cx <- c(.18,.5,.82)
leyendas<- clases[3, ]
text(cx,c(0,0.07,0.25),leyendas,cex =1.2)
leyendas <- clases[2, ]
text(cx,c(0.15,0.4,0.7),leyendas,cex =1.2)
leyendas <- clases[1, ]
text(cx,c(0.65,.85,0.93),leyendas,cex =1.2)
Conclusión:
Como podemos ver los datos hablan por si solos, se observa que un rico es muy probable que en futuras generaciones siga siendo rico, mientras que un pobre es muy probable que siga siendo pobre.