Unidade I

require(gtools)
require(tidyverse)
require(ggforce)  
options(kableExtra.latex.load_packages = TRUE)
require(kableExtra)
require(mosaicCalc)
require(gridExtra)
require(numDeriv)
require(DT)

#Para numerar tabelas e figuras:
require(captioner)
fig_nums <- captioner(prefix = "Figura")
table_nums <- captioner(prefix = "Tabela")
quadro_nums<- captioner(prefix="Quadro")

Probabilidade

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.

• Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. Como exemplo,
  • os quadrados de inteiros ímpares são sempre ímpares;
  • a água ferve a 100°C;
• Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.

Referências: - Milone, G., Estatística Geral e Aplicada. Ed. Cengage Learning.}

Fenômeno Aleatório

No nosso dia-a-dia, em maior ou menor grau, nos deparamos com o acaso. Por exemplo, da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida hoje” pode resultar em:

• que, apesar do favoritismo, ele perca;
• que, como pensamos, ele ganhe;
• que empate.

Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

Definição: Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Referências: - Morettin, L.G., Estatística Básica - Probabilidade e Inferência. Ed. Pearson.

Podemos considerar os experimentos aleatórios como fenômenos produzidos pelo homem.

Exemplo 1: Lançamento de uma moeda. Descrição do espaço amostral com duas possibilidades:

Figura 1: Moeda

Fonte: Foto de Plínio Pierry

Vamos jogar? Eu Lancei uma moeda e o resultado foi “cara” (face com o rosto de Juscelino Kubitschek), através da função sample do R:

moeda=c("cara","coroa")
sample(moeda,size=1)

## [1] "cara"

Exemplo 2: Lançamento de dois dados.

Figura 2: Dados

Fonte da figura

dado=c("$\\color{orange}{\\fbox{1}}$", "$\\color{orange}{\\fbox{2}}$","$\\color{orange}{\\fbox{3}}$","$\\color{orange}{\\fbox{4}}$","$\\color{orange}{\\fbox{5}}$","$\\color{orange}{\\fbox{6}}$") 
Omega=permutations(n=6,r=2,v=dado,repeats.allowed=TRUE)  
Omega=paste0(Omega[,1],Omega[,2])
Omega = matrix(Omega,nrow=6,ncol=6,byrow=T)   
Omega %>%
data.frame() %>%
  kbl(full_width = F,caption=quadro_nums("quadro1","Descrição do espaço amostral com 36 possibilidades (permutations do pacote gtools)"),escape = FALSE,col.names = NULL) %>%
  kable_classic(html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"))%>%
  column_spec(1:6, width = "1cm")

Quadro 1: Descrição do espaço amostral com 36 possibilidades (permutations do pacote gtools)

\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{1}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)
\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{2}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)
\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{3}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)
\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{4}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)
\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{5}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)
\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{1}}\)	\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{2}}\)	\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{3}}\)	\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{4}}\)	\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{5}}\)	\(\color{orange}{\fbox{6}}\)\(\color{orange}{\fbox{6}}\)

Vamos jogar? Eu Lancei dois dados e os resultados foram 5 e 3 no primeiro e no segundo dado, respectivamente.

dado=1:6
sample(dado,size=2,replace=T)

## [1] 5 3

Exemplo 3: Lançamento de duas moedas. Descrição do espaço amostral:

moeda=c("cara","coroa")
Omega=permutations(n=2,r=2,v=moeda,repeats.allowed=TRUE)  
Omega=paste0(Omega[,1],";",Omega[,2])
matrix(Omega,nrow=2,ncol=2,byrow=T)

##      [,1]         [,2]         
## [1,] "cara;cara"  "cara;coroa" 
## [2,] "coroa;cara" "coroa;coroa"

Vamos jogar com a distribuição Binomial? Seja \(X\) a variável aleatória que conta o número de “caras” em n lançamentos da moeda: \[ X \sim Bin(n,p), \mbox{ com }X=0,1,\ldots,n \] com probabilidade de “cara” igual a p.

• Eu lancei duas moedas viciadas - com probabilidade de “cara” igual a 30%, e o resultado foi \(X=1\), ou seja, 1 cara.
• Eu não sei se a “cara” foi na primeira ou na segunda moeda, só sei que a contagem foi 1!

rbinom(n=1,size=2,prob=0.6)

## [1] 1

Fórmula da probabilidade:

\[ \small P(X=x)=\binom{n}{x}.p^x.(1-p)^{n-x}\\ \Downarrow\\ P(X=1)=\binom{2}{1}.0.3^1.(1-0.3)^{2-1}=0.42, \mbox{ conforme cálculo no R:} \]

x=1
dbinom(1,size=2,prob=0.3)

## [1] 0.42

Exemplo 4: Retirada de duas cartas de um baralho completo, de 52 cartas, sem reposição.

set.seed(25022021)
cards = c(as.character(2:10), "J", "Q", "K", "A")
suits = c("$\\color{red}{\\heartsuit}$", "$\\spadesuit$", "$\\color{red}{\\diamondsuit}$", "$\\clubsuit$")
deck <- paste0(rep(cards,length(suits)),  #card values
               rep(suits,each = length(cards))) #suits
deck %>%
  matrix(nrow=4,byrow=T) %>%
  data.frame() %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro2","Descrição das 52 cartas do baralho"),col.names = NULL,escape = FALSE) %>%
  kable_classic(full_width = F, html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"),
                full_width = F)

Quadro 2: Descrição das 52 cartas do baralho

2\(\color{red}{\heartsuit}\)

3\(\color{red}{\heartsuit}\)

4\(\color{red}{\heartsuit}\)

5\(\color{red}{\heartsuit}\)

6\(\color{red}{\heartsuit}\)

7\(\color{red}{\heartsuit}\)

8\(\color{red}{\heartsuit}\)

9\(\color{red}{\heartsuit}\)

10\(\color{red}{\heartsuit}\)

J\(\color{red}{\heartsuit}\)

Q\(\color{red}{\heartsuit}\)

K\(\color{red}{\heartsuit}\)

A\(\color{red}{\heartsuit}\)

2\(\spadesuit\)

3\(\spadesuit\)

4\(\spadesuit\)

5\(\spadesuit\)

6\(\spadesuit\)

7\(\spadesuit\)

8\(\spadesuit\)

9\(\spadesuit\)

10\(\spadesuit\)

J\(\spadesuit\)

Q\(\spadesuit\)

K\(\spadesuit\)

A\(\spadesuit\)

2\(\color{red}{\diamondsuit}\)

3\(\color{red}{\diamondsuit}\)

4\(\color{red}{\diamondsuit}\)

5\(\color{red}{\diamondsuit}\)

6\(\color{red}{\diamondsuit}\)

7\(\color{red}{\diamondsuit}\)

8\(\color{red}{\diamondsuit}\)

9\(\color{red}{\diamondsuit}\)

10\(\color{red}{\diamondsuit}\)

J\(\color{red}{\diamondsuit}\)

Q\(\color{red}{\diamondsuit}\)

K\(\color{red}{\diamondsuit}\)

A\(\color{red}{\diamondsuit}\)

2\(\clubsuit\)

3\(\clubsuit\)

4\(\clubsuit\)

5\(\clubsuit\)

6\(\clubsuit\)

7\(\clubsuit\)

8\(\clubsuit\)

9\(\clubsuit\)

10\(\clubsuit\)

J\(\clubsuit\)

Q\(\clubsuit\)

K\(\clubsuit\)

A\(\clubsuit\)

Omega=permutations(n=52,r=2,v=deck,repeats.allowed=FALSE)
paste0("número de elementos de Omega =", nrow(Omega))

## [1] "número de elementos de Omega =2652"

index = sample(1:nrow(Omega),25)
Omega = Omega[index,]
Omega=paste0(Omega[,1]," e ",Omega[,2]) 
Omega = matrix(Omega,nrow=5,ncol=5,byrow=T)  
Omega %>%
data.frame() %>%
  data.frame() %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro3","Descrição de apenas 25 possibilidades do total de 2652 possibilidades do espaço amostral (a ordem importa)"),col.names = NULL,escape = FALSE) %>%
  kable_classic(full_width = F, html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"),
                full_width = F)

Quadro 3: Descrição de apenas 25 possibilidades do total de 2652 possibilidades do espaço amostral (a ordem importa)

J\(\spadesuit\) e 8\(\color{red}{\heartsuit}\)	Q\(\color{red}{\diamondsuit}\) e A\(\spadesuit\)	J\(\clubsuit\) e Q\(\color{red}{\diamondsuit}\)	2\(\color{red}{\heartsuit}\) e 3\(\color{red}{\heartsuit}\)	3\(\clubsuit\) e A\(\color{red}{\diamondsuit}\)
7\(\color{red}{\diamondsuit}\) e K\(\color{red}{\diamondsuit}\)	4\(\color{red}{\diamondsuit}\) e 5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	2\(\color{red}{\heartsuit}\) e 2\(\color{red}{\diamondsuit}\)	7\(\clubsuit\) e 5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	J\(\color{red}{\heartsuit}\) e Q\(\spadesuit\)
6\(\color{red}{\heartsuit}\) e 9\(\clubsuit\)	3\(\clubsuit\) e 4\(\clubsuit\)	7\(\color{red}{\diamondsuit}\) e 7\(\spadesuit\)	8\(\spadesuit\) e 9\(\spadesuit\)	Q\(\clubsuit\) e 7\(\color{red}{\diamondsuit}\)
6\(\spadesuit\) e J\(\spadesuit\)	7\(\spadesuit\) e 9\(\clubsuit\)	2\(\spadesuit\) e 9\(\color{red}{\diamondsuit}\)	8\(\spadesuit\) e Q\(\color{red}{\diamondsuit}\)	8\(\clubsuit\) e 10\(\spadesuit\)
9\(\clubsuit\) e K\(\color{red}{\heartsuit}\)	3\(\color{red}{\diamondsuit}\) e 2\(\spadesuit\)	3\(\clubsuit\) e A\(\clubsuit\)	10\(\spadesuit\) e 5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	Q\(\color{red}{\heartsuit}\) e 7\(\color{red}{\heartsuit}\)

Vamos jogar? Eu retirei duas cartas do baralho sem reposição, resultando em \(9\spadesuit\) e \(J\color{red}{\heartsuit}\), na primeira e segunda cartas, respectivamente.

cards = c(2:10, "J", "Q", "K", "A")
suits = c("copas", "espadas", "ouros", "paus")
deck = paste0(rep(cards, length(suits)),  #card values
               rep(suits, each = length(cards))) #suits
sample(deck,2,replace=F)

## [1] "9espadas" "Jcopas"

Exemplo 5: A vida útil de um componente eletrônico é uma variável positiva e contínua que pode ser modelada através de uma distribuição exponencial. Os dados abaixo representam uma amostra aleatória de 10 tempos de vida útil de um lote de equipamentos, provenientes de uma distribuição exponencial, com vida útil média de 24 meses:

rexp(10,1/24)

##  [1] 13.001329  6.152243  9.482997 10.268929 19.129158  4.266456  8.286647
##  [8] 12.832070  1.033533 37.278905

• A análise desses experimentos revela que:
  • Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;
  • De início não sabemos o valor do experimento mas podemos descrever todos os resultados possíveis;
  • Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade.
• Para a explicação desses fenômenos (fenômenos aleatórios), adota-se um modelo probabilístico.

Espaço Amostral

Um dos conceitos matemáticos fundamentais utilizados no estudo das probabilidades é o de conjunto. Um conjunto é uma coleção de objetos ou itens que possuem pelo menos uma cacterística em comum. É importante definir cuidadosamente o que constitui o conjunto em que estamos interessados, a fim de podermos decidir se determinado elemento é ou não membro do conjunto.

A probabilidade só tem sentido no contexto de espaço amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis de um “experimento”. O termo “experimento” sugere a incerteza do resultado antes de fazermos as observações. Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por \(\Omega\).

Exemplos Utilizando linguagem de conjuntos: \[ \small \begin{array}{| l l l |} \hline &\square \mbox{ Lançamento de uma moeda; } \\ &\mbox{Resultados possíveis: } \\ &\left\{ \begin{array}{cl} \mbox{cara (ca)}\\ \mbox{coroa (co)} \end{array} \right. \Rightarrow \Omega = \{\mbox{ca}, \mbox{co} \}\\ \hline \end{array} \begin{array}{| l l l |} \hline \square \mbox{ Lançamento de um dado}\\ \mbox{Resultados possíveis:}\\ 1, 2, 3, 4, 5, 6\\ \Rightarrow \Omega = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}\\ \hline \end{array} \]

1 Eventos

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral \(\Omega\) de um experimento aleatório.

• Os eventos, sendo conjuntos, serão representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto, enquanto os elementos de um evento serão representados por letras minúsculas.

Exemplo 6: Retiradas de bolas de uma urna. Três bolas são retiradas, sem reposição, de um urna que tem três bolas de cada uma das cores azul, vermelha, preta e cinza. Dê um espaço amostral para esse experimento e liste os eventos:

• A: todas as bolas selecionadas são vermelhas;
• B: uma bola vermelha, uma bola azul e uma bola preta são selecionadas;
• C: três diferentes cores ocorrem;
• D : todas as quatro cores ocorrem.

Solução prática no R:

Omega=permutations(n=4,r=3,v=c("$\\color{blue}{\\bigotimes}$","$\\color{red}{\\bigotimes}$","$\\color{black}{\\bigotimes}$","$\\color{gray}{\\bigotimes}$"),repeats.allowed=TRUE) 
Omega=cbind(Omega,paste0(Omega[,1]," e ", Omega[,2]," e ",Omega[,3]))
Omega_tot = matrix(Omega[,4],nrow=16,ncol=4,byrow=T)   

Omega = Omega %>%
data.frame() %>%
  `colnames<-`(c("bola_I","bola_II","bola_III","bolas")) %>%
 mutate(
   total_azuis=ifelse(bola_I=="$\\color{blue}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_II=="$\\color{blue}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_III=="$\\color{blue}{\\bigotimes}$",1,0),
   total_vermelhas=ifelse(bola_I=="$\\color{red}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_II=="$\\color{red}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_III=="$\\color{red}{\\bigotimes}$",1,0), 
    total_pretas=ifelse(bola_I=="$\\color{black}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_II=="$\\color{black}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_III=="$\\color{black}{\\bigotimes}$",1,0), 
    total_cinzas=ifelse(bola_I=="$\\color{gray}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_II=="$\\color{gray}{\\bigotimes}$",1,0)+ifelse(bola_III=="$\\color{gray}{\\bigotimes}$",1,0))

Omega_tot %>%
  data.frame() %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro4","Descrição do espaço amostral com 64 elementos (a ordem importa)"),col.names = NULL,escape = FALSE) %>%
  kable_classic(full_width = F, html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"),
                full_width = F) %>%
column_spec(1:4, width = "3cm")%>%
scroll_box(width = "100%", height = "200px")

Quadro 4: Descrição do espaço amostral com 64 elementos (a ordem importa)

\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)

Omega %>%
  filter(total_vermelhas==3) %>%
  select(-c(bola_I,bola_II,bola_III)) %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro5","Descrição do evento A com apenas 1 arranjo"),escape = FALSE) %>%
  kable_classic( html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"))%>%
column_spec(1, width = "3cm")%>%
column_spec(2:5, width = "1cm")

Quadro 5: Descrição do evento A com apenas 1 arranjo

bolas	total_azuis	total_vermelhas	total_pretas	total_cinzas
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	0	3	0	0

Omega %>%
  filter(total_azuis==1 & total_vermelhas==1 & total_pretas==1) %>%
  select(-c(bola_I,bola_II,bola_III)) %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro6","Descrição do evento B com 6 arranjos distintos (a ordem importa)"),escape = FALSE) %>%
  kable_classic( html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"))%>%
column_spec(1, width = "3cm")%>%
column_spec(2:5, width = "1cm")

Quadro 6: Descrição do evento B com 6 arranjos distintos (a ordem importa)

bolas	total_azuis	total_vermelhas	total_pretas	total_cinzas
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	1	1	0

Omega %>%
filter(bola_I!=bola_II & bola_II!=bola_III & bola_I!=bola_III) %>%
  select(-c(bola_I,bola_II,bola_III)) %>%
  kbl(caption=quadro_nums("quadro7","Descrição do evento C com 24 arranjos distintos (a ordem importa)"),escape = FALSE) %>%
  kable_classic( html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"))%>%
column_spec(1, width = "3cm")%>%
column_spec(2:5, width = "1cm")%>%
scroll_box(width = "100%", height = "200px")

Quadro 7: Descrição do evento C com 24 arranjos distintos (a ordem importa)

bolas	total_azuis	total_vermelhas	total_pretas	total_cinzas
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	0	1
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	1	1	0	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	0	1	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\)	1	1	0	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	0	1
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	1	1	1	0
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\)	1	1	0	1
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{black}{\bigotimes}\)	0	1	1	1
\(\color{red}{\bigotimes}\) e \(\color{gray}{\bigotimes}\) e \(\color{blue}{\bigotimes}\)	1	1	0	1

Solução com notação de linguagem de conjuntos: Vamos denotar por A; V; P e C as cores azul, vermelha, preta e cinza, respectivamente.

\[ \small \begin{array}{|llll|} \hline \Omega = \left\{(x_1; x_2; x_3): x_i = \mbox{A};\mbox{V};\mbox{P};\mbox{C}; i = 1;2;3 \right\} \mbox{ com } n_{\Omega}=64.\\ \begin{array}{llllll} \mbox{A} &=& \{(\mbox{V},\mbox{V},\mbox{V} )\} \mbox{ com } n_A=1;\\ \mbox{B} &=& \{(\mbox{P},\mbox{A},\mbox{V}); (\mbox{P},\mbox{V},\mbox{A}); (\mbox{A},\mbox{P},\mbox{V}); (\mbox{A},\mbox{V},\mbox{P}); (\mbox{V},\mbox{P},\mbox{A}); (\mbox{V},\mbox{A},\mbox{P})\} \mbox{ com } n_B=6;\\ \mbox{C} &=& \{(\mbox{P};\mbox{A};\mbox{C}); (\mbox{P},\mbox{A},\mbox{V}); (\mbox{P},\mbox{C},\mbox{A}); (\mbox{P},\mbox{C},\mbox{V}); (\mbox{P},\mbox{V},\mbox{A}); (\mbox{P},\mbox{V},\mbox{C});\\ &&(\mbox{A},\mbox{P},\mbox{C}); (\mbox{A},\mbox{P},\mbox{V}); (\mbox{A},\mbox{C},\mbox{P}); (\mbox{A},\mbox{C},\mbox{V}); (\mbox{A},\mbox{V},\mbox{P}); (\mbox{A},\mbox{V},\mbox{C});\\ &&(\mbox{C},\mbox{P},\mbox{A}); (\mbox{C},\mbox{P},\mbox{V}); (\mbox{C},\mbox{A},\mbox{P}); (\mbox{C},\mbox{A},\mbox{V}); (\mbox{C},\mbox{V},\mbox{P}); (\mbox{C},\mbox{V},\mbox{A});\\ &&(\mbox{V},\mbox{P},\mbox{A}); (\mbox{V},\mbox{P};\mbox{C}); (\mbox{V},\mbox{A},\mbox{P}); (\mbox{V},\mbox{A},\mbox{C}); (\mbox{V},\mbox{C},\mbox{P}); (\mbox{V},\mbox{C},\mbox{A})\} \mbox{ com } n_C=24\\ \mbox{D}&=& \emptyset \mbox{ (impossível termos 4 cores em 3 extrações)} \Rightarrow n_D=0. \end{array}\\ \hline \end{array} \]

1.1 Tipos de Eventos Aleatórios

• Equiprováveis: aqueles tomados como igualmente possíveis. Exemplo: bolas de uma urna são igualmente possíveis se do mesmo tamanho, formato e peso, se desenvolvidas e convenientemente agitadas antes de cada nova extração. Caso contrário, faz-se de conta que;
• Dependentes: quando a ocorrência de um condiciona, depende ou vincula o acontecimento de outro. As condições para tanto são: o espaço amostral modifica-se após cada experimento, ou a ocorrência do segundo evento depende do resultado do primeiro. Exemplos: retirar cartas de um baralho, sem reposição; lançados dois dados, sair o número um em um deles afeta as chances da soma deles ser ímpar;
• independentes: aqueles em que a ocorrência de um não altera a chance de os outros ocorrerem;

1.2 Operações com Eventos Aleatórios

1.2.1 Intersecção

A intersecção de dois eventos \(A\) e \(B\) corresponde a ocorrência simultânea de \(A\) e \(B\) (ver Figura ). Seguindo a notação da teoria de conjuntos, a intersecção de dois eventos será representada por \(A\cap B\):

Note que: \(x \in A\cap B \Longleftrightarrow x\in A\) e \(x \in B\). Lê-se: “x pertence a A intersecção B se e somente se x pertence a A e x pertence a B.”

df.venn <- data.frame(x = c(0.866, -0.866),
                      y = c(-0.5, -0.5),
                      labels = c('B', 'C'))
ggplot(df.venn, aes(x0 = x, y0 = y, r = 1.5, fill = labels)) +
    geom_circle(alpha = .3, size = 1, colour = 'grey') +
      coord_fixed() +
        theme_void()

Figura 3: Intersecção de eventos

1.3 Exclusão

Dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos quando eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando a ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro. Isto significa dizer que os eventos \(A\) e \(B\) não têm elementos em comum. Então, dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos quando sua intersecção é o conjunto vazio, isto é, \(A\cap B = \emptyset.\)

df.venn <- data.frame(x = c(2.5, -0.866),
                      y = c(-0.5, -0.5),
                      labels = c('B', 'C'))
ggplot(df.venn, aes(x0 = x, y0 = y, r = 1.5, fill = labels)) +
    geom_circle(alpha = .3, size = 1, colour = 'grey') +
      coord_fixed() +
        theme_void()

Figura 4: Exclusão

Exemplo 7: Na extração de uma só carta, os eventos “a carta é de copas” e a “a carta é de ouros” são mutuamente exclusivos, porque uma carta não pode ser ao mesmo tempo de copas e de ouros. Já os eventos “a carta é de copas” e “a carta é uma figura” não são mutuamente exclusivos, porque algumas cartas de copas também são figuras.

1.4 Complementação de um Evento

O complementar de um evento \(A\), denotado por \(\bar{A}\) ou \(A^c\); é a negação de \(A\). Então, o complementar de \(A\) é formado pelos elementos que não pertencem a \(A\) (ver Figura ).

1.5 Diferença

A diferença entre dois eventos \(A\) e \(B\), representada por \(A\setminus B\) é o evento formado pelos elementos do espaço amostral que pertencem a \(A\) mas não pertencem a \(B\) (ver Figura ). Note que podemos pensar em \(A\setminus B\) como o complementar de \(B\) relativo ao evento \(A\).

Note que: \(x \in A\setminus B \Longleftrightarrow x \in A\) e \(x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \cap \bar{B}.\) *Lê-se: “x pertence a A menos B se e somente se x pertence a A e x não pertence a B se e somente se x pertence a A intersecção B complementar.” Podemos escrever o evento \(A\) utilizando a notação de diferença: \(A = (A\setminus B) \cup (A\cap B)\).

Analogamente, o evento \(B\setminus A\) é o evento formado pelos elementos do espaço amostral que pertencem a \(B\) mas não pertencem a \(A\) (ver Figura.

1.6 Partição de um espaço amostral

Definição: Dizemos que os eventos \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) formam uma partição do espaço amostral \(\Omega\) se:

• 1. \(A_i \neq \phi\), \(i = 1, \cdots, n\);
• 2. \(A_i \cap A_j = \phi\), para \(i \neq j\);
• 3. \(\bigcup_{i=1}^{n} A_i = \Omega\)

No lançamento de um dado honesto, considere os eventos:

• \(A_1\): Sair face par;

• \(A_2\): Sair face ímpar; Note que:

• 1. \(A_1 \neq \phi\) e \(A_2 \neq \phi\);
• 2. \(A_1 \cap A_2 = \phi\);
• 3. \(A_1 \cup A_2 = \Omega\).

Figura 5: Partição de um Espaço amostral

Exemplo 8: Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: - a) faces iguais; - b) ca (ca) na 1ª moeda; - c) coroa ($co) na 2ª e 3ª moedas.

Resolução: Auxílio do R

require(DT)
moedas=permutations(n=2,r=3,v=c("ca","$co"),repeats.allowed=T) %>%
data.frame() %>%
  `colnames<-`(c("1ª moeda","2ª moeda","3ª moeda"))

datatable(moedas,cap=quadro_nums("quadro8","Descrição do espaço amostral com 8 possibilidades"),options = list(pageLength = 5,columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3)))))

moedas[moedas[,1]=="ca",] %>%
datatable(cap=quadro_nums("quadro9","Descrição do evento B: cara na 1ª moeda, com 4 possibilidades"),
          options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3)))))

moedas[moedas[,2]=="$co" & moedas[,3]=="$co",] %>%
datatable(cap=quadro_nums("quadro10","Descrição do evento C: coroa na 2ª e 3ª moedas, com 2 possibilidades"),
          options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3)))))

Resolução com notação de teoria dos conjuntos: \[ \small \begin{array}{|llll|} \hline & \mbox{Espaço Amostral:} \\ & \Omega = \left\{ \begin{array}{ll} \{\mbox{co,co,co}\}, \{\mbox{co,co,ca}\}, \{\mbox{co,ca,co}\},\\ \{\mbox{co,ca,ca}\}, \{\mbox{ca,co,co}\}, \{\mbox{ca,co,ca}\},\\ \{\mbox{ca,ca,co}\}, \{\mbox{ca,ca,ca}\} \end{array} \right\} \Rightarrow \mbox{ 8 resultados possíveis}\\ & A=\{\{\mbox{co,co,co}\};\{\mbox{ca,ca,ca}\}\} \Rightarrow \mbox{ 2 resultados possíveis}\\ & B=\{ \{\mbox{ca,co,co}\}, \{\mbox{ca,co,ca}\}; \{\mbox{ca,ca,co}\}; \{\mbox{ca,ca,ca}\}; \} \Rightarrow \mbox{ 4 resultados possíveis}\\ & C=\{ \{\mbox{co,co,co}\}; \{\mbox{ca,co,co}\} \} \Rightarrow \mbox{ 2 resultados possíveis}\\ \hline \end{array} \]

Exemplo 9: Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao sexo delas, segundo a ordem do nascimento. Enumerar os eventos:

• 1. ocorrência de exatamente dois filhos do sexo masculino;
• 2. ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino;
• 3. ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino.

Resolução: Auxílio do R

require(tidyverse)
require(dplyr)
filhos=permutations(n=2,r=3,v=c("M","F"),repeats.allowed=T) %>%
data.frame() %>%
   mutate(total_M=ifelse(X1=="M",1,0)+ifelse(X2=="M",1,0)+ifelse(X3=="M",1,0)) %>%
  `colnames<-`(c("filho_I","filho_II","filho_III","Total_M"))  
    
datatable(filhos,cap=quadro_nums("quadro11","Descrição do espaço amostral com 8 possibilidades"),options = list(pageLength = 5,columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3,4)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3,4)))))

filhos %>%
  filter(Total_M==2)%>%
datatable(cap=quadro_nums("quadro12","Descrição do evento A: ocorrência de exatamente dois filhos do sexo masculino, com 3 possibilidades"),options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3,4)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3,4)))))

filhos %>%
  filter(Total_M>=1)%>%
 datatable(cap=quadro_nums("quadro13","Descrição do evento B: ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino, com 3 possibilidades"),options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2,3,4)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2,3,4)))))

Resolução em linguagem dos conjuntos: \[ \small \begin{array}{|lll|} \hline A = \{\{\mbox{F,M,M}\};\{\mbox{M,F,M}\};\{\mbox{M,M,F}\}\}\\ B = \left\{ \{\mbox{F,F,M}\}, \{\mbox{F,M,F}\}, \{\mbox{F,M,M}\}, \{\mbox{M,F,F}\}, \{\mbox{M,F,M}\}, \{\mbox{M,M,F}\}, \{\mbox{M,M,M}\} \right\}\\ C=B \mbox{ idêntico ao item anterior}\\ \hline \end{array} \]

Exemplo 10: Considere a Figura abaixo. Expresse, em notação de conjuntos, os eventos definidos por cada uma das áreas numeradas.

data = data.frame(x = c(0, 1, -1),
                   y = c(-0.5, 1, 1),
                   tx = c(0, 1.5, -1.5),
                   ty = c(-1, 1.3, 1.3),
                   cat = c('7', '2', 
                           '1'))
ggplot(data, aes(x0 = x , y0 = y, r = 1.5, fill = cat)) + 
  geom_rect(aes(xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -Inf, ymax = 3), fill = "palegreen", alpha = 0.2) +
        geom_circle(alpha = 0.25, size = 1, color = "black",show.legend = FALSE) + 
        geom_text(aes(x = tx , y = ty, label = cat), size = 7) +
        annotate(geom="text", x=0, y=1.5, label="3",color="purple", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=-0.9, y=0, label="5",color="darkorange", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=0.9, y=0, label="6",color="darkgreen", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=0, y=,.5, label="4",color="blue", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=-1.2, y=2.8, label="A", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=1.2, y=2.8, label="B", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=1.2, y=-1.8, label="C", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=2.9, y=-1.8, label=expression(Omega), size = 5) +
  annotate(geom="text", x=-2.9, y=-1.8, label="8", size = 5) +
        theme_void() 

Figura 6: Diagrama de Venn

Solução: \[ \small \begin{array}{|llll|} \hline \mbox{Area 1:} && A \cap B^c \cap C^c\\ \mbox{Area 2:} && A^c \cap B \cap C^c\\ \mbox{Area 3:} && A \cap B \cap C^c\\ \mbox{Area 4:} && A \cap B \cap C\\ \hline \end{array} \begin{array}{|llll|} \hline \mbox{Area 5:} && A \cap B^c \cap C\\ \mbox{Area 6:} && A^c \cap B\cap C\\ \mbox{Area 7:} && A^c \cap B^c \cap C\\ \mbox{Area 8:} && (A \cup B \cup C)^c \mbox{ ou seja,} (A^c \cap B^c \cap C^c)\\ \hline \end{array} \]

Probabilidade: Axiomas e Propriedades

1.7 Definição Frequentista

Definição: Dado um experimento aleatório, sendo \(\Omega\) o seu espaço amostral e \(P(A)\): probabilidade de um evento A, assumindo que \(\Omega\) é um conjunto equiprovável - todos os elementos de \(\Omega\) tem a mesma chance de ocorrerem - chamamos de probabilidade de um evento A (\(A \subset \Omega\)) o número real \(P(A)\), tal que: \[\begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{\mbox{Número de casos favoráveis (A)}}{\mbox{Número total de casos}}. \end{align}\] \end{defin} Limitações: \(\Omega\) tem que ser finito e equiprovável.

Exemplo 11: Considerando o lançamento de uma moeda honesta e o evento A: “obter cara”, temos: \[ \small \Omega = \left\{\mbox{cara},\mbox{coroa}\right\} \Rightarrow n_\Omega = 2\\ \Omega_A = \left\{\mbox{cara}\right\} \Rightarrow n_A = 1 \] Logo: \(P(A) = \frac{1}{2}\). Esse resultado mostra que se lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance que apareça cara na face superior.

1.8 Definição Axiomática de Probabilidade

Em 1933, Kolmogorov generalizou e formalizou a definição de probabilidade através de axiomas e propriedades. Para entender melhor a formalização de Kolmogorov são apresentados alguns conceitos.

Leis de Morgan:

• 1. \(\cup_{i=1}^{n}A_i^c = \left(\cap_{i=1}^{n}A_i\right)^c;\)
• 2. \(\cap_{i=1}^{n}A_i^c = \left(\cup_{i=1}^{n}A_i\right)^c;\) Para apenas dois eventos \(A_1\) e \(A_2\), temos:
• 3. \(P(A_1^c \cup A_2^c) = P[(A_1 \cap A_2)^c] = 1 - P(A_1 \cap A_2);\)
• 4. \(P(A_1^c \cap A_2^c) = P[(A_1 \cup A_2)^c] = 1 - P(A_1 \cup A_2).\)

Definição: Uma classe \(\mathscr{A}\) de subconjuntos de \(\Omega\) é dita sobre \(\Omega\) se:

• 1. \(\emptyset \in \mathscr{A}\);
• 2. \(A \in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c \in \mathscr{A}\);
• 3. \(A, B \in \mathscr{A} \Longrightarrow (A \cup B) \in \mathscr{A}\);

Notas:

• Por indução finita, segue de \((iii)\) que \(\mathscr{A}\) é fechada por união finita, isto é, se \(A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathscr{A}\) então \[ \small \cup_{i=1}^{n}A_i \in \mathscr{A}; \]

• De \((ii)\) e \((iii)\), seque que \(\mathscr{A}\) é fechada por intersecção finita, isto é, se \(A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathscr{A}\) então \[ \small \cap_{i=1}^{n}A_i = \left[\cup_{i=1}^{n}A_i^c\right]^c \in \mathscr{A}. \]

Motivações Práticas

Exemplo 12:

• Lançamento de uma moeda. Podemos estar interessados nos eventos: \(A\): Sair cara ou \(A^c\): Sair coroa;
• Será que vai chover amanhã? Eventos: \(C\): chover amanhã ou \(C^c\): não chover amanhã;
• Lançamento de um dado. Podemos estar interessados na probabilidade de sair face 1 ou 2 ou 3, ou seja, tem-se a necessidade de saber a probabilidade da união de eventos

Definição: Uma classe \(\mathscr{A}\) de subconjuntos de \(\Omega\) é dita sobre \(\Omega\) se:

• 1. \(\emptyset \in \mathscr{A}\);
• 2. \(A \in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c \in \mathscr{A}\);
• 3. Se \(A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{A} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathscr{A}\).

Notas: De \((ii)\) e \((iii)\) segue que \(\mathscr{A}\) é fechada por intersecção enumerável, isto é, se \(A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{A}\), então \[ \small \cap_{i=1}^{\infty}A_i = \left[\cup_{i=1}^{\infty}A_i^c\right]^c \in \mathscr{A} \]

Tempo de vida de uma lâmpada ou dispositivo eletrônico.\

Exemplos:

• Álgebras Triviais: \(\Omega \neq \emptyset\); \(\mathscr{A_1} = \{\Omega, \emptyset\}\).
• Considere \(\Omega = \{1,2,3\}\) e as seguintes coleções de subconjuntos: \[\small \mathscr{A}_1 = \{\emptyset, \Omega, \{1\}, \{2,3\}\};\] \[\small \mathscr{A}_2 = \{\emptyset, \Omega, \{1\}, \{2\}, \{1,3\},\{2,3\}\};\] Seriam ambas \(\sigma\)-álgebras?

Observação: Toda \(\sigma\)-álgebra é uma álgebra mas nem toda álgebra é uma \(\sigma\)-álgebra.

Definição: Uma função \(P\), definida na \(\sigma\)-álgebra \(\mathscr{A}\) de subconjuntos de \(\Omega\) que assume valores no intervalo \(\left[0,1\right]\), é uma probabilidade se satisfaz os axiomas:

• \(P(\Omega) = 1;\)
• Para todo subconjunto \(A \in \mathscr{A}\), \(P(A) \geq 0\);
• Para toda sequência \(A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{A}\), mutuamente exclusivos, temos: \[ \small P\left(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i). \] A trinca \((\Omega,\mathscr{A},P)\) é denominada espaço de probabilidade. Os eventos são subconjuntos de \(\mathscr{A}\) e são a eles que atribuímos as probabilidades.

Propriedades:

• 1. \(0 \leq P(A) \leq 1, \forall A \in \Omega\);
• 2. \(P(\Omega) = 1\); \(P(\emptyset) = 0\);
• 3. \(P(A^c) = 1 - P(A)\);
     
• 4. Se \(A \subseteq B,\) \(A, B \in \mathscr{A},\) então \(P(A) \leq P(B);\)
• 5. Sendo \(A\) e \(B\) dois eventos quaisquer, vale: \[\small P(B) = P(B \cap A^c) + P(B \cap A);\]
• 6. Regra da Adição de probabilidades: \[\small P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B);\]
• 7. Se A e B são eventos (\(P(A \cap B) = 0\)), a regra da adição se reduz a: \[\small P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
• Para eventos quaisquer \(A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{A}\) \[\small P\left(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\right) \leq \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i).\]

Probabilidade Condicional e Independência de Eventos

O evento em que ambos, A e B, ocorrem é chamado A interseção B; portanto, a probabilidade do evento A ocorrer, dado que B ocorreu, é de: \[\small P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0. \] Isso significa que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é igual à probabilidade de ocorrência simultânea de A e B dividida pela probabilidade de ocorrência de B. Sempre que calculamos \(P(A|B)\), estamos essencialmente calculando \(P(A)\) em relação ao espaço amostral reduzido devido a \(B\) ter ocorrido, em lugar de faze-lo em relação ao espaço amostral original \(\Omega\).

Da expressão acima vemos que é necessário o cálculo da probabilidade do evento interseção. Exceto quando já é conhecida, esta probabilidade pode ser obtida por:

Regra do Produto \[\small P(A \cap B) = P(A|B)\times P(B) \] - b) Se os eventos A e B forem , \(P(A|B) = P(A)\), logo \[\small P(A \cap B) = P(A)\times P(B) \] - c) Pela , \(P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)}\). - d) Para três eventos, por exemplo, pode-se escrever: \[\small P(A \cap B \cap C) = P(A)\times P(B|A)\times P(C|A \cap B), \] a ordem do condicionamento pode ser invertida.

Exemplos

1. Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 bolas azuis. Tiram-se 2 bolas ao acaso sem reposição. Qual a probabilidade de que as duas bolas:

• 1. sejam verdes?
• 2. sejam da mesma cor?
• 3. sejam de cores diferentes?

Solução: No contexto de v.a.: \(X\) é a v.a. que conta o número de bolas verdes em uma amostra com 2 elementos, sem reposição, com distribuição hipergeométrica: \[\small P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \] onde \(N=6\) é o tamanho da urna, \(K=2\) é o número de bolas verdes na urna, \(n=2\) é o tamanho da amostra e \(k\) é o número de bolas verdes na amostra,

\[ \small \begin{array}{|lcl|} \hline && a) k=2 \Rightarrow & P(X=2)=\frac{\binom{2}{2}\binom{4}{0}}{\binom{6}{2}}\approx 6,67\%\\ && b) k=0 \mbox{ ou } k=2 \mbox{, como} & P(X=0)=\frac{\binom{2}{0}\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}}=40\% \Rightarrow \mbox{resultado}=46,67\%\\ && c) k=1 & P(X=1)=\frac{\binom{2}{1}\binom{4}{1}}{\binom{6}{2}}\approx 53,33\%\\ \hline \end{array} \]

Efetuando os cálculos no R:

N=6 
K=2
n=2 
k=c(0,1,2) 

p=dhyper(k,K,N-K,n)
p

## [1] 0.40000000 0.53333333 0.06666667

Outro modo, com cálculos binomiais:

N=6 
K=2
n=2 
k=c(2,0,1)
N-K

## [1] 4

n-k

## [1] 0 2 1

choose(K,k)*choose(N-K,n-k)/choose(N,n)

## [1] 0.06666667 0.40000000 0.53333333

2. A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é \(\frac{3}{5}\). A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é \(\frac{4}{5}\). Considerando os eventos independentes, a probabilidade de:

• 1. somente o cão estar vivo daqui a 5 anos.
• 2. o cão estar vivo e o gato estar vivo. \[ \small \begin{array}{|llll|} \hline \mbox{ Sejam os eventos: } \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{G}: \mbox{ O gato estar vivo daqui a 5 anos}\\ \mbox{C}: \mbox{ O cão estar vivo daqui a 5 anos} \end{array} \right.\\ \begin{array}{ll} & a) & P(\mbox{G}^c \cap \mbox{C}) = P(\mbox{C}) - P(\mbox{G} \cap \mbox{C}) = \frac{4}{5}-\frac{3.4}{5.5}=\frac{20-12}{25}=\frac{8}{25}\\ & b) & P(\mbox{G} \cap \mbox{C}) = \frac{3.4}{5.5}=\frac{12}{25} \end{array}\\ \hline \end{array} \]

Diagrama de Venn:

df.venn <- data.frame(x = c(0.866, -0.866),
                      y = c(-0.5, -0.5),
                      labels = c('Gato', 'Cão'))
ggplot(df.venn, aes(x0 = x, y0 = y, r = 1.5, fill = labels)) +
  geom_rect(aes(xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -Inf, ymax =1.2), fill = "palegreen", alpha = 0.2) +
    geom_circle(alpha = .3, size = 1, colour = 'grey') +
      coord_fixed() +
        theme_void()+
  annotate(geom="text", x=-1.2, y=0.5, label="8/25", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=0, y=0, label="12/25", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=1.2, y=0.5, label="3/25", size = 5) +
  annotate(geom="text", x=2.9, y=-1.8, label=expression(Omega), size = 5) +
    annotate(geom="text", x=-2.9, y=-1.8, label="2/25", size = 5) +
        theme_void() 

Figura 7: Diagrama de Venn

3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas uma após a outra, sem reposição.

• 1. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
• 2. Qual a probabilidade de que a 1ª peça boa e a 2ª defeituosa?

Solução: No contexto de v.a.: \(X\) é v.a. que conta o número de peças boas em uma amostra de 2 peças, sem reposição, com distribuição hipergeométrica.

\[\small P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \] onde \(N=12\) é o tamanho do lote, \(K=8\) é o número de peças boas no lote, \(n=2\) é o tamanho da amostra e k é o número de peças boas na amostra,

\[ \small \begin{array}{|lcl|} \hline && a) k=2 \Rightarrow P(X=2)=\frac{\binom{8}{2}\binom{4}{0}}{\binom{12}{2}}\approx 42,42\%\\ && b) k=1 \mbox{ mas a ordem importa! Como } \\ && P(X=1)=\frac{\binom{8}{1}\binom{4}{1}}{\binom{12}{2}}\approx 48,48\% \Rightarrow \mbox{ resultado = }\frac{48,48\%}{2!}=24,24\%, \\ \hline \end{array} \] onde o denominador (2!) denota o número de permutações não permitidas na amostra!

N=12 
K=8 
n=2 
k=c(2,1)
dhyper(k,K,N-K,n)

## [1] 0.4242424 0.4848485

Cálculos com números binomiais:

N=12 
K=8 
n=2 
k=c(2,1)
choose(K,k)*choose(N-K,n-k)/choose(N,n)

## [1] 0.4242424 0.4848485

4. Um baralho de 52 cartas é subdividido em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus.

• 1. Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja de ouros ou de copas?
• 2. Retirando-se duas cartas ao acaso com reposição da 1ª carta, qual a probabilidade de ser a 1ª de ouros e a 2ª de copas?
• 3. Recalcular a probabilidade anterior se não houver reposição da 1ª carta.
• 4. Havendo reposição, qual a probabilidade de sair a 1ª carta de ouros ou então a 2ª de copas?

Auxílio do R

deck = data.frame(
numero = rep(c(2:10, "J", "Q", "K", "A"),4),
naipe = c(rep("$\\color{red}{\\heartsuit}$",13), rep("$\\color{black}{\\spadesuit}$",13), rep("$\\color{red}{\\diamondsuit}$",13), rep("$\\color{black}{\\clubsuit}$",13))) %>%
mutate(carta = paste0(numero,naipe))

A = deck %>%
  filter(naipe=="$\\color{red}{\\diamondsuit}$" | naipe=="$\\color{red}{\\heartsuit}$") 

 A[sample(1:nrow(A),size=10),] %>%
    select(-c(numero,naipe))%>%
      `colnames<-`(c("somente uma carta"))  %>%
  t() %>%
  kbl(caption="Visualizando alguns elementos de A",col.names = NULL,escape = FALSE)

Visualizando alguns elementos de A

somente uma carta

8\(\color{red}{\diamondsuit}\)

K\(\color{red}{\diamondsuit}\)

6\(\color{red}{\diamondsuit}\)

7\(\color{red}{\diamondsuit}\)

7\(\color{red}{\heartsuit}\)

2\(\color{red}{\diamondsuit}\)

3\(\color{red}{\diamondsuit}\)

9\(\color{red}{\diamondsuit}\)

6\(\color{red}{\heartsuit}\)

4\(\color{red}{\diamondsuit}\)

paste0("numero de elementos do espaço amostral, na letra a = ",nrow(deck))

## [1] "numero de elementos do espaço amostral, na letra a = 52"

paste0("numero de elementos do evento A, na letra a = ",nrow(A))

## [1] "numero de elementos do evento A, na letra a = 26"

paste0("resultado da letra a = ",nrow(A)/nrow(deck))

## [1] "resultado da letra a = 0.5"

Omega = permutations(n=52,r=2,v=deck$carta,repeats.allowed=TRUE)  %>%
  data.frame() %>%
  `colnames<-`(c("carta_I","carta_II")) 
  
paste0("numero de elementos do espaço amostral, na letra b = ",nrow(Omega))

## [1] "numero de elementos do espaço amostral, na letra b = 2704"

B = Omega %>%
  filter(str_detect(carta_I,"diamond")==1) %>%
  filter(str_detect(carta_II,"heart")==1)

B[sample(1:nrow(B),size=10),] %>%
  t() %>%
  kbl(caption="Visualizando alguns elementos de B",col.names = NULL,escape = FALSE)

Visualizando alguns elementos de B

carta_I	9\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)	4\(\color{red}{\diamondsuit}\)	2\(\color{red}{\diamondsuit}\)	A\(\color{red}{\diamondsuit}\)	5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	7\(\color{red}{\diamondsuit}\)	3\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)	9\(\color{red}{\diamondsuit}\)
carta_II	6\(\color{red}{\heartsuit}\)	2\(\color{red}{\heartsuit}\)	10\(\color{red}{\heartsuit}\)	Q\(\color{red}{\heartsuit}\)	5\(\color{red}{\heartsuit}\)	9\(\color{red}{\heartsuit}\)	8\(\color{red}{\heartsuit}\)	J\(\color{red}{\heartsuit}\)	10\(\color{red}{\heartsuit}\)	Q\(\color{red}{\heartsuit}\)

paste0("numero de elementos do evento B, na letra b = ",nrow(B))

## [1] "numero de elementos do evento B, na letra b = 169"

paste0("resultado da letra b = ",nrow(B)/nrow(Omega))

## [1] "resultado da letra b = 0.0625"

Omega = permutations(n=52,r=2,v=deck$carta,repeats.allowed=FALSE) %>%
  data.frame() %>%
  `colnames<-`(c("carta_I","carta_II"))

paste0("numero de elementos do espaço amostral, na letra c = ",nrow(Omega)) 

## [1] "numero de elementos do espaço amostral, na letra c = 2652"

C = Omega %>%
  filter(str_detect(carta_I,"diamond")==1) %>%
  filter(str_detect(carta_II,"heart")==1)

C[sample(1:nrow(C),size=10),] %>%
  t() %>%
  kbl(caption="Visualizando alguns elementos de C",col.names = NULL,escape = FALSE)

Visualizando alguns elementos de C

carta_I	5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	K\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)	9\(\color{red}{\diamondsuit}\)	A\(\color{red}{\diamondsuit}\)	Q\(\color{red}{\diamondsuit}\)	9\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)	8\(\color{red}{\diamondsuit}\)	8\(\color{red}{\diamondsuit}\)
carta_II	10\(\color{red}{\heartsuit}\)	K\(\color{red}{\heartsuit}\)	Q\(\color{red}{\heartsuit}\)	10\(\color{red}{\heartsuit}\)	K\(\color{red}{\heartsuit}\)	4\(\color{red}{\heartsuit}\)	2\(\color{red}{\heartsuit}\)	J\(\color{red}{\heartsuit}\)	Q\(\color{red}{\heartsuit}\)	K\(\color{red}{\heartsuit}\)

paste0("numero de elementos do evento C, na letra c = ",nrow(C))

## [1] "numero de elementos do evento C, na letra c = 169"

paste0("resultado da letra c = ",nrow(C)/nrow(Omega))

## [1] "resultado da letra c = 0.0637254901960784"

D = Omega %>%
  filter(str_detect(carta_I,"diamond")==1 | str_detect(carta_II,"heart")==1)

D[sample(1:nrow(D),size=10),] %>%
  t() %>%
  kbl(caption="Visualizando alguns elementos de D",col.names = NULL,escape = FALSE)

Visualizando alguns elementos de D

carta_I	7\(\color{black}{\spadesuit}\)	10\(\color{red}{\heartsuit}\)	7\(\color{black}{\clubsuit}\)	Q\(\color{black}{\clubsuit}\)	A\(\color{black}{\spadesuit}\)	5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	J\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)	10\(\color{red}{\diamondsuit}\)	6\(\color{red}{\diamondsuit}\)
carta_II	K\(\color{red}{\heartsuit}\)	7\(\color{red}{\heartsuit}\)	A\(\color{red}{\heartsuit}\)	7\(\color{red}{\heartsuit}\)	K\(\color{red}{\heartsuit}\)	4\(\color{black}{\spadesuit}\)	5\(\color{red}{\diamondsuit}\)	Q\(\color{red}{\diamondsuit}\)	10\(\color{black}{\spadesuit}\)	8\(\color{red}{\heartsuit}\)

paste0("numero de elementos do evento D, na letra d = ",nrow(D))

## [1] "numero de elementos do evento D, na letra d = 1157"

paste0("resultado da letra d = ",nrow(D)/nrow(Omega))

## [1] "resultado da letra d = 0.436274509803922"

Resolução: \[ \small \begin{array}{|llll|} \hline && a) \mbox{Como os eventos são disjuntos, basta somar as probabilidades:}\\ && \mbox{ Sejam: } \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{O: A carta é de ouros}\\ \mbox{C: A carta é de copas} \end{array} \right. \Rightarrow \begin{array}{lll} P(\mbox{O} \cup \mbox{C}) &= P(\mbox{O}) + P(\mbox{C}) \\ &= \frac{13}{52}\times 2 = 50\% \end{array}\\ \hline && b) \mbox{Neste caso a ordem é importante, então resolve-se pelo princípio} \\ &&\mbox{fundamental da contagem:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\frac{13}{52}.\frac{13}{52}=\frac{169}{2704}\approx 0.0625\\ \hline && c) \mbox{Também resolve-se pelo princípio fundamental da contagem:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\frac{13}{52}.\frac{13}{51}=\frac{169}{2652}\approx 0.0637\\ \hline && d) \mbox{Pela regra da adição, sendo as retiradas independentes:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O} \cup \mbox{2ª carta = C)}=\\ && \mbox{P(1ª carta = O) + P(2ª carta = C)-P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\\ && \frac{13}{52}+\frac{13}{52}-\frac{169}{2704}=\frac{676.2-169}{2704}=0.4363\\ \hline \end{array} \] 5) Em uma cidade, existem 3 jornais: A, B e C. A porcentagem de indivíduos que leem esses jornais são as seguintes:

jornais=c("A","B","C","A e B", "B e C","C e A","A, B e C")
porcentagem=c("10%","30%","5%","8%","4%","2%","1%")
dados=cbind(jornais,porcentagem)
datatable(dados,caption=table_nums("tab1","Resultados da Pesquisa"),options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2)))))

Os jornais A e C são matutinos e B vespertino. Obtenha a probabilidade de que um modador da cidade selecionado ao acaso:

• 1. Leia só o jornal C.
• 2. Leia apenas um jornal.
• 3. Leia pelo menos dois jornais.
• 4. Não leia nenhum jornal.
• 5. Leia pelo menos um jornal matutino e um vespertino.
• 6. Leia somente um jornal matutino e um vespertino.

Diagrama de Venn:

df.venn = data.frame(x = c(0, 1, -1),
                   y = c(-0.5, 1, 1),
                   tx = c(0, 1.5, -1.5),
                   ty = c(-1, 1.3, 1.3),
                   cat = c('0%', '19%', 
                           '1%'),
                      labels = c('Jornal C, matutino', 'Jornal B, vespertino','Jornal A, matutino'))
ggplot(df.venn, aes(x0 = x, y0 = y, r = 1.5, fill = labels)) +
  geom_rect(aes(xmin = -Inf, xmax = Inf, ymin = -Inf, ymax =3), fill = "palegreen", alpha = 0.2) +
    geom_circle(alpha = .3, size = 1, colour = 'grey') +
      coord_fixed() +
   geom_text(aes(x = tx , y = ty, label = cat), size = 7) +
       annotate(geom="text", x=0, y=1.5, label="7%",color="purple", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=-0.9, y=0, label="1%",color="darkorange", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=0.9, y=0, label="3%",color="darkgreen", size = 5) +
        annotate(geom="text", x=0, y=,.5, label="1%",color="blue", size = 5) +
    annotate(geom="text", x=-2.9, y=-1.8, label="68%", size = 5) +
        theme_void() 

\[ \small \begin{array}{|lcl|} \hline &a) & P(C\cap A^c\cap B^c)=0\%\\ &b) & P(A\cap B^c\cap C^c)+P(A^c \cap B \cap C^c)+P(A^c \cap B^c \cap C)=1\%+19\%+0\%=20\%\\ &c) & P(A\cap B)+P(A \cap B^c \cap C)+P(A^c \cap B \cap C)=8\%+1\%+3\%=12\%\\ &d) & P(A\cup B \cup C)^c=68\%\\ &e) & P(A\cap B)+P(A^c \cap B \cap C)=8\%+3\%=11\%\\ &f) & P(A\cap B \cap C^c)+P(A^c \cap B \cap C)=7\%+3\%=10\%\\ \hline \end{array} \]

1.9 Árvores de probabilidade

A construção de uma árvore de probabilidade fornece uma ferramenta muito útil para a solução de problemas envolvendo duas ou mais etapas. A árvore consiste em uma representação gráfica na qual diversas possibilidades são representadas, juntamente com as respectivas probabilidades condicionadas a cada situação. Isso permite, pela utilização direta da regra do produto das probabilidades, associar a cada nó terminal da árvore a respectiva probabilidade.

O uso das árvores de probabilidade ajudam e simplificam o entendimento da aplicação de dois teoremas que serão apresentados a seguir, conforme será visto nos exercícios.

Exemplo: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se um estudante aleatoriamente, qual a probabilidade de:

• 1. Ser mulher e ter mais de 1,80m?
• 2. Ter mais de 1,80m?
• 3. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m. Qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?

Solução Inicial: Considere os seguintes eventos:

• \(A_1\): Estudante do sexo masculino;

• \(A_2\): Estudante do sexo feminino;

• \(B\): Estudante com mais de 1,80m de altura;

• \(B^{c}\): Estudante com menos de 1,80m de altura;

• Ser mulher \((A_2)\) e ter mais de 1,80m (\(B\))? \[\small P(A_2 \cap B) = 0,40 \times 0,02 = 0,008 \]

• Ter mais de 1,80m? \[\small \begin{array}{lll} P(B)&=& P(A_2 \cap B)+ P(A_1 \cap B)\\ P(A_1 \cap B)&=&0,60 \times 0,05 = 0,03\\ P(B)& = & 0,008 + 0,03 = 0,038 \end{array} \]

• Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m. Qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? \[\small P(A_2|B)=\frac{P(A_2 \cap B)}{P(B)}=\frac{0,008}{0,038}\cong 0,2105. \]

1.10 Teorema da probabilidade total

Seja \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) uma partição e B um evento qualquer de \(\Omega\), conforme ilustrado na figura a seguir:

Então \[\small P(B) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i \cap B) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) \] ou \[\small P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) +\cdots + P(A_n)P(B|A_n) \]

Para dois eventos apenas \(A_1\) e \(A_2\), temos: \[\small P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) \]

2 Teorema de Bayes

Nas mesmas condições do teorema anterior: \[\small P(A_j|B) = \frac{P(A_j).P(B|A_j)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)}, \quad j = 1, 2,\cdots, n. \] Esse resultado consegue-se facilmente do teorema anterior e demais propriedades. Observe que o denominador de () é a própria \(P(B)\) calculada pelo teorema da probabilidade total.

Para dois eventos apenas \(A_1\) e \(A_2\), temos: \[\small P(A_1|B) = \frac{P(A_1).P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) }, \]

Exercícios

1. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A? Resp: B: $\(0,641; A:\)$0,31.

2. Há apenas dois modos de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: Avião ou Navio. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade cai para 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: Resp: 0,15.

3 Exercícios

1. Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que \(P(A) = 0,2\), \(P(B) = p\), \(P(A \cup B) = 0,5\), \(P(A \cap B) = 0,1\). Determine o valor de \(p\).

2. Se \(P(A)\) = 1/2 e \(P(B)\) = 1/4 e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule:\

1. \(P(A^c)\)(b) \(P(B^c)\) (c) \(P(A \cap B)\)(d) \(P(A|B)\)

3. Um geólogo diz que existe uma probabilidade 0,8 de ter petróleo numa certa região, além disso se nessa terra existe petróleo a probabilidade na primeira perfuração de sair petróleo é 0,5. Qual é a probabilidade de ter petróleo se na primeira perfuração não se encontrou petróleo?

4. Carlos chega atrasado à universidade 25% das vezes, e esquece o material da aula 20% das vezes. Admitindo que essas ocorrências sejam independentes, determine a probabilidade de Carlos:

• 1. chegar atrasado 2 dias seguidos;
• 2. chegar atrasado e sem o material de aula;
• 3. chegar na hora e com o material de aula;
• 4. chegar na hora e sem o material de aula.

5. Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição:

Tabela 2: Resultados da pesquisa

Condição		Número de pessoas
	Homens	Mulheres	Total
Menores	15	17	32
Adultos	18	10	28
Total	33	27	6

Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se: - a) qual é a probabilidade de ser homem? - b) qual é probabilidade de ser adulto? - c) qual é probabilidade de ser menor e ser mulher? - d) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulto, qual a probabilidade de ser homem? - e) dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?

6. Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:

• 1. 4/5
     
• 2. 10/25
     
• 3. 12/25
• 4. 3/5
• 5. 4/5

7. Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza três células sensíveis ao calor que agem independentemente uma das outras. Cada célula entra em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura atinge 60°C. Se pelo menos uma das células entrar em funcionamento, o alarme soa. Calcular a probabilidade do alarme soar quando a temperatura atingir 60°.

8. Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. Qual a probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José?

9. André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste.

• 1. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a:
• 2. Se para uma dada questão ele dá a resposta certa, qual é a probabilidade de que ele conhecia a pergunta?

10. A probabilidade de haver atraso no vôo diário que leva a mala postal a certa cidade é 0,2. A probabilidade de haver atraso na distribuição local da correspondência é 0,15 se não houver atraso no vôo e 0,25 se houver atraso no vôo.

• 1. Qual a probabilidade de a correspondência ser distribuída com atraso em certo dia?
• 2. Se em certo dia a correspondência foi distribuída com atraso, qual a probabilidade de que tenha havido atraso no vôo?
• 3. Qual a probabilidade de que tenha havido atraso no vôo se a correspondência não foi distribuída em atraso?

11. Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover?

12. Dados dois eventos A e B associados a um mesmo espaço amostral mostre que \[\small P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A) - P(B) + P(A \cap B) \]

13. Dados dois eventos A e B associados a um mesmo espaço amostral e \(P\) uma probabilidade definida nos eventos de \(\Omega\), então: \[\small P\{(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)\} = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)\].

14. Uma mensagem é codificada em código binário, consistindo de dois símbolos: (zero) e (um). As probabilidades de transmissão dos 2 símbolos são 0,45 e 0,55 respectivamente. No canal os símbolos são distorcidos em com probabilidade 0,2 e os símbolos são distorcidos em com probabilidade 0,1. Ache a probabilidade de que tendo recebido:

• um ele não seja distorcido;
• um ele não seja distorcido;

15. Considere dois lançamentos de um dado equilibrado (honesto). Determine a probabilidade condicional de se obter a face 2 no primeiro lançamento, dada a informação de que a soma dos resultados foi 7.

dado=seq(1,6,1) 

Omega=permutations(n=6,r=2,v=dado,repeats.allowed=TRUE)  %>%      
    data.frame() %>%
   `colnames<-`(c("lançamento_I","lançamento_II"))

B = Omega %>%
    filter(lançamento_I+lançamento_II==7)  

   datatable(B,cap=quadro_nums("quadro14","Descrição do evento B: soma igual a 7, com 6 elementos"),options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2)),                                    list(width = '20%', targets = list(1,2)))))

AB = Omega %>%
    filter(lançamento_I+lançamento_II==7)  %>%
    filter(lançamento_I==2)

     datatable(AB,cap=quadro_nums("quadro15","Descrição do evento A intersecção B: primeiro lançamento igual a 2 e soma igual a 7"),options = list(columnDefs=list(list(class="dt-center",targets=list(1,2)),
                                    list(width = '20%', targets = list(1,2)))))

data.frame(
eventos = c("soma igual a 7","1º lançamento igual a 2 e soma igual a 7","1º lançamento igual a 2 dado que a soma é igual a 7"),
notação = c("B","$A \\cap B$", "$A | B$"),
probabilidade = c("P(B)","$P(A \\cap B)$", "$P(A | B)$"),
cálculo = c("$\\frac{n_B}{n_{\\Omega}}$","$\\frac{n_{A\\cap B}}{n_{\\Omega}}$", "$\\frac{n_{A\\cap B}}{n_{B}}$"),
resultado = c(nrow(B)/nrow(Omega),nrow(AB)/nrow(Omega),nrow(AB)/nrow(B))) %>%
  kbl(caption=table_nums("tab3","Solução do exercício"),escape = FALSE) %>%
  kable_classic(  html_font = "Cambria") %>%
     kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"),)

Tabela 3: Solução do exercício

eventos	notação	probabilidade	cálculo	resultado
soma igual a 7	B	P(B)	\(\frac{n_B}{n_{\Omega}}\)	0.1666667
1º lançamento igual a 2 e soma igual a 7	\(A \cap B\)	\(P(A \cap B)\)	\(\frac{n_{A\cap B}}{n_{\Omega}}\)	0.0277778
1º lançamento igual a 2 dado que a soma é igual a 7	\(A | B\)	\(P(A | B)\)	\(\frac{n_{A\cap B}}{n_{B}}\)	0.1666667

16. Cacá e Ronaldinho estão machucados e talvez não possam defender o Brasil em sua próxima partida contra a Argentina. A probabilidade de Cacá jogar é 40%, e a de Ronaldinho, 70%. Com ambos os jogadores, o Brasil terá 60% de probabilidade de vitória; sem nenhum deles, 30%; com Cacá mas sem Ronaldinho, 50%, e com Ronaldinho mas sem Cacá, 40%. Qual é a probabilidade de o Brasil ganhar a partida?

17. Para casais que moram em uma dada região de Cuiabá, a probabilidade do marido estar satisfeito com o prefeito atual é de \(21\%\), a probabilidade da esposa estar satisfeita com o prefeito atual é de \(28\%\) e a probabilidade de que ambos, esposa e o marido estejam satisfeitos é de \(15\%\). Determine:

• 1. O espaço amostral;
• 2. Pelo menos um membro do casal estar satisfeito com o prefeito atual;
• 3. Nenhum dos membros do casal estar satisfeito com o prefeito atual;
• 4. A esposa estar satisfeita, dado que o marido está satisfeito com o prefeito atual.

18. Uma classe de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi

• \(P(A\cup M^c);\)
• \(P(A^c\cap M^c);\)
• \(P(A|M);\)
• \(P(M^c|A);\)
• \(P(M|A).\)

19. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses são homens e os seguintes eventos:

• H: freguês é homem;

• M: freguês é mulher;

• A: freguês prefere salada;

• B: freguês prefere carne; Calcular:

• 1. \(P(H)\), \(P(A|H)\), \(P(B|M)\);
• 2. \(P(A\cap H)\), \(P(A\cup H)\);
• 3. \(P(M|A)\);

20. Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à/ao sua/seu namorada(o), para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que a/o namorada(o) não a receba (por outros motivos) é de 0,1.

• 1. seu amigo ter esquecido de colocar a carta no correio?
• 2. Avalie as possibilidades de esse namoro continuar, se a comunicação depender das cartas enviadas.
     Dica: Utilize os conceitos de probabilidade condicional, probabilidade total, e o teorema de Bayes.