Probabilidades
La teoría de la probabilidad comenzó en Francia, en el siglo XVII, cuando los matemáticos Blaise Pascal y Pierre de Fermat respondieron a problemas relacionados con los juegos de azar. Dichas dificultades fueron abordadas después por investigadores como Christian Huygens, Bernoulli y De Moivre, quienes establecieron una teoría matemática de la probabilidad. Hoy en día, esta rama de la matemática cuenta con aplicaciones en todas las áreas de la actividad académica, así como en la experiencia cotidiana.
1.- ¿Qué es la Probabilidad?
La teoría de la probabilidad es la rama de las matemáticas encargada de calcular qué tan posible es que ocurra un evento determinado, expresando este resultado con valores entre el 0 y el 1.
2.- Experimentos
Un experimento consiste en la observación de un fenómeno ocurrido en la naturaleza. Pueden señalarse dos tipos de experimentos, a partir de la predictibilidad del resultado:
2.1.- Experimentos Determinísticos
Son aquellos donde no hay incertidumbre acerca del resultado final del experimento, incluso cuando estos se repiten varias veces.
2.2.- Experimentos Aleatorios
Aunque en estos experimentos no se puede anticipar el resultado final, sí puede obtenerse una idea completa acerca de los resultados posibles, cuando son ejecutados.
Ejemplos:
- Lanzamiento de dados
- Extraer un naipe de una barajo
- Observar el número de veces que hay que lanzar una moneda para obtener cara.
3.- Espacio Muestral
Un espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplos:
- Se lanzan dos monedas de un sol, entonces, el espacio muestral será Ω = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}, donde 𝐶 es la cara de una moneda y 𝑆, el sello.
- Se lanzan dos dados, entonces, el espacio muestral será Ω = {(1,1), (1,2), ⋯ , (1,6), (2,1), (2,2), ⋯ , (2,6), (3,1), ⋯ , (5,6), (6,1), (6,2), ⋯ , (6,6)}
3.1.- Espacios Muestrales Discretos:
Son aquellos en los que sus elementos resultan de hacer conteos. Generalmente corresponden a subconjuntos de números enteros.
3.2.- Espacios Muestrales Continuos:
En estos, los elementos resultan de efectuar mediciones y, por lo general, son intervalos de la recta real.
4.- Eventos
Se conocen como eventos o sucesos a un subconjunto del espacio muestral o del resultado particular de un experimento aleatorio. Se los suele representar por las primeras letras del alfabeto.
Ejemplos:
- Se lanza un dado. El espacio muestral es Ω = {1,2,3,4,5,6}. Evento: Número primero en la cara superior 𝐴 = {2,3,5}
- Evento A: Que salga un número par al lanzar un dado.
- Evento B: Que salga sello al lanzar una moneda.
Ejemplo:
Las posibilidades de obtener cara o sello al lanzar una moneda son de 1. Esto se debe, sencillamente, a que no hay otras opciones, además de que se asume que la moneda aterriza plana. Sin embargo, la posibilidad de que el lanzamiento de una moneda resulte en cara es de 0.5, ya que tiene probabilidades iguales de ocurrir o no (es igual de probable que el resultado sea sello).
Un evento con una probabilidad de 0 puede considerarse una imposibilidad.
Ejemplo:
La probabilidad de que la moneda aterrice (plana) sin que ninguno de los lados esté hacia arriba tiene un valor de 0. Esto es porque siempre la cara o el sello deben mostrarse hacia arriba.
4.1.- Evento Imposible o Nulo
Es aquel que no tiene elementos o que nunca puede ocurrir. Se representa por ∅.
Ejemplo:
Obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado.
𝐴 = ∅
4.2- Evento Seguro
Es aquel que siempre ocurre.
Ejemplo:
Obtener un número menor a 7 al lanzar un dado.
𝐴 = {1,2,3,4,5,6}
4.3.-Evento Elemental
Es aquel que está formado por un único elemento.
Ejemplo:
Obtener un número mayor que 5 al lanzar un dado.
𝐴 = {6}
4.4.- Evento Compuesto
Es aquel que está formado por más de un elemento.
Ejemplo:
Obtener un número primo al lanzar un dado.
𝐴 = {2,3,5}
5.- Probabilidad en R
El Paquete PROB
Este paquete proporciona un marco para realizar cálculos de probabilidad elementales en espacios de muestra finitos; los cuales pueden ser representados por marcos o listas de datos. La funcionalidad incluye la posibilidad de establecer espacios de muestra, herramientas de conteo, espacios de probabilidad, el cálculo de la probabilidad y la herramientas de simulación. Para saber qué año registra el ordenador y con qué versión de 𝑅 se cuenta, ingresar:
\[ R, version, sting \] A partir de las versiones del 2018 en adelante, el paquete prob ha sido eliminado del repositorio CRAN. Sin embargo, puede ser instalado aplicando una de las siguientes opciones:
Opción 1:
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑙. 𝑝𝑎𝑐𝑘𝑎𝑔𝑒𝑠 (“~ / 𝐷𝑜𝑤𝑛𝑙𝑜𝑎𝑑𝑠 / 𝑓𝐴𝑠𝑖𝑎𝑛𝑂𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠”, 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑒𝑠 = 𝑇𝑅𝑈𝐸, 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠 = 𝑁𝑈𝐿𝐿)
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑙. 𝑝𝑎𝑐𝑘𝑎𝑔𝑒𝑠 (“~ / 𝐷𝑜𝑤𝑛𝑙𝑜𝑎𝑑𝑠 / 𝑝𝑟𝑜𝑏_1.0 − 0. 𝑡𝑎𝑟. 𝑔𝑧”, 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠 = 𝑁𝑈𝐿𝐿)
Opción 2:
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑙. 𝑝𝑎𝑐𝑘𝑎𝑔𝑒𝑠(𝑐(“𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡”, “𝑓𝐴𝑠𝑖𝑎𝑛𝑂𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠”))
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑙. 𝑝𝑎𝑐𝑘𝑎𝑔𝑒𝑠 (ℎ𝑡𝑡𝑝𝑠://𝑐𝑟𝑎𝑛. 𝑟 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡. 𝑜𝑟𝑔/𝑠𝑟𝑐/𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏/𝐴𝑟𝑐ℎ𝑖𝑣𝑒/ 𝑓𝐴𝑠𝑖𝑎𝑛𝑂𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠/𝑓𝐴𝑠𝑖𝑎𝑛𝑂𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠_3010.79. 𝑡𝑎𝑟. 𝑔𝑧, 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠 = 𝑁𝑈𝐿𝐿)
Ejemplo 1:
Calcular el espacio muestral del siguiente experimento: Se lanza una moneda, cuyos resultados pueden ser cara o sello (𝑯𝒆𝒂𝒅𝒔 𝒂𝒏𝒅 𝑻𝒂𝒊𝒍𝒔).Se puede configurar el espacio muestral con la función 𝒕𝒐𝒔𝒔𝒄𝒐𝒊𝒏( ):
Se puede crear un programa para obtener el espacio muestral de lanzamiento de monedas con el resultado en español:
espacio.muestral.monedas<-function(n){
temp<-list()
for(i in 1:n){
temp[[i]]<-c("Cara","Sello")
}
resultados<-expan.grid(temp)
names(restulados)<-c(paste(rep("Lanzamiento",n),1:n,sep=""))
return(restultados)
}5.1.- Función Sample
La función sample toma una muestra de tamaño size de los elementos de x, con o sin repitición según indique replace.
\[ sample(x,size,replace=F,prob) \] Donde prob es un vector adicional que indica la probabilidad de obtener cada uno de los elementos que figuran en X; si no se indica, se asume que todos tienen la misma probabilidad.
Ejemplo 1:
El experimento de lanzar una moneda
El espacio muestral es:
Si se elige cualquiera al azar en el espacio muestral:
## [1] "Cara"Si se vuelve a lanzar la moneda
## [1] "Sello"Una tercera vez:
## [1] "Cara"Si se lanza 30 veces la moneda:
## [1] "Sello" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Cara" "Sello" "Cara"
## [10] "Sello" "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara"
## [19] "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Sello" "Sello" "Cara" "Cara" "Sello"
## [28] "Cara" "Cara" "Sello"Y otras 30 veces más:
## [1] "Cara" "Sello" "Sello" "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Sello" "Sello"
## [10] "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Cara" "Sello"
## [19] "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Cara" "Sello" "Cara" "Cara" "Sello"
## [28] "Sello" "Cara" "Cara"Se puede contar la cantidad de veces que han salido cara y sello.
## [1] "Sello" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Cara" "Sello" "Sello" "Cara"
## [10] "Cara" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Cara" "Sello"
## [19] "Cara" "Cara" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Sello" "Cara"
## [28] "Cara" "Cara" "Cara"## x
## Cara Sello
## 14 16Si se divide por el total de lanzamientos, se obtendrá la frecuencia relativa de las veces en que apareció cada uno de los dos posibles resultados. En este caso, se dispone de las siguientes frecuencias relativas observadas:
## x
## Cara Sello
## 0.4666667 0.5333333Las probabilides, si se lanza la moneda 100 veces:
## x
## Cara Sello
## 0.49 0.51Si se lanza 1000 veces:
## x
## Cara Sello
## 0.509 0.491Para finalizar el experimento, se prueba 100000 veces. Los resultados del lanzamiento de la moneda serán los siguientes:
## x
## Cara Sello
## 0.4974 0.5026Se observa que, conforme se repite el experimento, la frecuencia relativa de las veces en que se obtiene cada resultado se acerca cada vez más al valor 0.5 para cada uno de los resultados posibles. Se puede graficar en el eje de las abscisas el número de veces que se lanza la moneda y en el eje de las ordenadas, la frecuencia relativa de veces que se obtuvo cara. Puede observarse cómo las frecuencias relativas de aparición de cara se aproximan al valor 0.5:
omega<-c("Cara","Sello")
n<-1000
frecuencia.cara<-vector()
frecuencia.sello<-vector()
for(i in 1:n){
x<-sample(omega,i,replace=T)
t<-table(x)/i
frecuencia.cara[i]=t[1]
frecuencia.sello[i]=t[2]
}De forma similar, si se analiza la frecuencia relativa de la aparición de los sellos, se observará que esta se estabiliza cerca del valor de 0.5.
muestra<-1:n
plot(muestra,frecuencia.cara,type="l",col="red",
main="Lanzamientos Sucesivos",
ylab="Frecuencias Relativas")
lines(muestra,frecuencia.cara,col="darkblue")
lines(muestra,rep(0.5,1,n),col="green",lwd=2)
legend(800,0.9,legend = c("Cara","Sello","0.5"),col=c("red","darkblue","green"),lwd=2)
grid()
Ejemplo 2:
Lanzamiento de un dado: Obtenemos el espacio muestral
## [1] 1 2 3 4 5 6Del primer lanzamiento del dado se obtiene:
## [1] 5Si se lanza 20 veces:
## [1] 6 4 3 1 5 3 6 2 6 4 5 4 1 5 5 4 6 6 4 6Se espera que al lanzar varias veces el dado, la frecuencia con que ocurre cada resultado se aproxime a 1/6.
## x
## 1 2 3 4 5 6
## 0.166 0.165 0.183 0.147 0.178 0.161Ejemplo 1: Espacio Muestral
El objetivo con este ejemplo es obtener espacios muestrales usando 𝑅. En una urna hay bolas rojas, azules y verdes. Se desea extraer cuatro elementos, entonces, señalar cuál es el espacio muestral y demostrarlo. Función para n extracciones de bolas:
espacio.muestral.bola<-function(n){
temp<-list()
for (i in 1:n){
temp[[i]]<-c("Rojo","Azul","Verde")
}
resultado<-expand.grid(temp)
names(resultado)<-c(paste(rep("Bola",n),1:n,sep=""))
return(resultado)
}Espacio muestral:
## Bola1 Bola2 Bola3 Bola4
## 1 Rojo Rojo Rojo Rojo
## 2 Azul Rojo Rojo Rojo
## 3 Verde Rojo Rojo Rojo
## 4 Rojo Azul Rojo Rojo
## 5 Azul Azul Rojo Rojo
## 6 Verde Azul Rojo Rojo
## 7 Rojo Verde Rojo Rojo
## 8 Azul Verde Rojo Rojo
## 9 Verde Verde Rojo Rojo
## 10 Rojo Rojo Azul Rojo
## 11 Azul Rojo Azul Rojo
## 12 Verde Rojo Azul Rojo
## 13 Rojo Azul Azul Rojo
## 14 Azul Azul Azul Rojo
## 15 Verde Azul Azul Rojo
## 16 Rojo Verde Azul Rojo
## 17 Azul Verde Azul Rojo
## 18 Verde Verde Azul Rojo
## 19 Rojo Rojo Verde Rojo
## 20 Azul Rojo Verde Rojo
## 21 Verde Rojo Verde Rojo
## 22 Rojo Azul Verde Rojo
## 23 Azul Azul Verde Rojo
## 24 Verde Azul Verde Rojo
## 25 Rojo Verde Verde Rojo
## 26 Azul Verde Verde Rojo
## 27 Verde Verde Verde Rojo
## 28 Rojo Rojo Rojo Azul
## 29 Azul Rojo Rojo Azul
## 30 Verde Rojo Rojo Azul
## 31 Rojo Azul Rojo Azul
## 32 Azul Azul Rojo Azul
## 33 Verde Azul Rojo Azul
## 34 Rojo Verde Rojo Azul
## 35 Azul Verde Rojo Azul
## 36 Verde Verde Rojo Azul
## 37 Rojo Rojo Azul Azul
## 38 Azul Rojo Azul Azul
## 39 Verde Rojo Azul Azul
## 40 Rojo Azul Azul Azul
## 41 Azul Azul Azul Azul
## 42 Verde Azul Azul Azul
## 43 Rojo Verde Azul Azul
## 44 Azul Verde Azul Azul
## 45 Verde Verde Azul Azul
## 46 Rojo Rojo Verde Azul
## 47 Azul Rojo Verde Azul
## 48 Verde Rojo Verde Azul
## 49 Rojo Azul Verde Azul
## 50 Azul Azul Verde Azul
## 51 Verde Azul Verde Azul
## 52 Rojo Verde Verde Azul
## 53 Azul Verde Verde Azul
## 54 Verde Verde Verde Azul
## 55 Rojo Rojo Rojo Verde
## 56 Azul Rojo Rojo Verde
## 57 Verde Rojo Rojo Verde
## 58 Rojo Azul Rojo Verde
## 59 Azul Azul Rojo Verde
## 60 Verde Azul Rojo Verde
## 61 Rojo Verde Rojo Verde
## 62 Azul Verde Rojo Verde
## 63 Verde Verde Rojo Verde
## 64 Rojo Rojo Azul Verde
## 65 Azul Rojo Azul Verde
## 66 Verde Rojo Azul Verde
## 67 Rojo Azul Azul Verde
## 68 Azul Azul Azul Verde
## 69 Verde Azul Azul Verde
## 70 Rojo Verde Azul Verde
## 71 Azul Verde Azul Verde
## 72 Verde Verde Azul Verde
## 73 Rojo Rojo Verde Verde
## 74 Azul Rojo Verde Verde
## 75 Verde Rojo Verde Verde
## 76 Rojo Azul Verde Verde
## 77 Azul Azul Verde Verde
## 78 Verde Azul Verde Verde
## 79 Rojo Verde Verde Verde
## 80 Azul Verde Verde Verde
## 81 Verde Verde Verde VerdeEjemplo 2: Diagrama Circular
El objetivo con este ejemplo es realizar gráficos circulares de una muestra aleatoria. En una urna hay bolas de colores rojas, azules, verdes, amarillas y celestes. Extraer una muestra de 50 bolas, calcular las frecuencias y realizar un gráfico circular. Establecer los colores:
Obtener la muestra aleatoria de 50 bolas de colores:
## [1] "Verde" "Celeste" "Azul" "Amarillo" "Celeste" "Azul"
## [7] "Celeste" "Amarillo" "Verde" "Rojo" "Amarillo" "Amarillo"
## [13] "Verde" "Rojo" "Azul" "Amarillo" "Rojo" "Celeste"
## [19] "Azul" "Rojo" "Rojo" "Azul" "Amarillo" "Verde"
## [25] "Azul" "Rojo" "Amarillo" "Verde" "Azul" "Azul"
## [31] "Rojo" "Amarillo" "Rojo" "Celeste" "Rojo" "Rojo"
## [37] "Rojo" "Rojo" "Celeste" "Amarillo" "Azul" "Amarillo"
## [43] "Amarillo" "Azul" "Amarillo" "Amarillo" "Rojo" "Verde"
## [49] "Amarillo" "Celeste"Reaizar el cálculo de frecuencias:
## muestra
## Amarillo Azul Celeste Rojo Verde
## 14 10 7 13 6Elaborar el gráfico circular
Ejemplo 3: Función CARDS
El objetivo con este ejemplo es aprender sobre las probabilidades de extraer un naipe de una baraja, usando 𝑅.Usando la función cards, realizar lo siguiente:
- Mostrar el espacio muestral de una baraja de naipes y sus probabilidades.
- Mostrar el espacio muestral de una baraja de naipes incluidos los comodines (jokers) y sus probabilidades.
Usando el siguiente código, se obtendrá el espacio muestral de una baraja de naipes:
## Warning: package 'prob' was built under R version 4.0.3## Loading required package: combinat##
## Attaching package: 'combinat'## The following object is masked from 'package:utils':
##
## combn## Loading required package: fAsianOptions## Warning: package 'fAsianOptions' was built under R version 4.0.3## Loading required package: timeDate## Loading required package: timeSeries## Warning: package 'timeSeries' was built under R version 4.0.3## Loading required package: fBasics## Warning: package 'fBasics' was built under R version 4.0.3## Loading required package: fOptions## Warning: package 'fOptions' was built under R version 4.0.3##
## Attaching package: 'prob'## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, union## rank suit
## 1 2 Club
## 2 3 Club
## 3 4 Club
## 4 5 Club
## 5 6 Club
## 6 7 Club
## 7 8 Club
## 8 9 Club
## 9 10 Club
## 10 J Club
## 11 Q Club
## 12 K Club
## 13 A Club
## 14 2 Diamond
## 15 3 Diamond
## 16 4 Diamond
## 17 5 Diamond
## 18 6 Diamond
## 19 7 Diamond
## 20 8 Diamond
## 21 9 Diamond
## 22 10 Diamond
## 23 J Diamond
## 24 Q Diamond
## 25 K Diamond
## 26 A Diamond
## 27 2 Heart
## 28 3 Heart
## 29 4 Heart
## 30 5 Heart
## 31 6 Heart
## 32 7 Heart
## 33 8 Heart
## 34 9 Heart
## 35 10 Heart
## 36 J Heart
## 37 Q Heart
## 38 K Heart
## 39 A Heart
## 40 2 Spade
## 41 3 Spade
## 42 4 Spade
## 43 5 Spade
## 44 6 Spade
## 45 7 Spade
## 46 8 Spade
## 47 9 Spade
## 48 10 Spade
## 49 J Spade
## 50 Q Spade
## 51 K Spade
## 52 A SpadeAplicar el siguiente código para obtener el espacio muestral de una baraja de naipes y sus probabilidades:
## rank suit probs
## 1 2 Club 0.01923077
## 2 3 Club 0.01923077
## 3 4 Club 0.01923077
## 4 5 Club 0.01923077
## 5 6 Club 0.01923077
## 6 7 Club 0.01923077
## 7 8 Club 0.01923077
## 8 9 Club 0.01923077
## 9 10 Club 0.01923077
## 10 J Club 0.01923077
## 11 Q Club 0.01923077
## 12 K Club 0.01923077
## 13 A Club 0.01923077
## 14 2 Diamond 0.01923077
## 15 3 Diamond 0.01923077
## 16 4 Diamond 0.01923077
## 17 5 Diamond 0.01923077
## 18 6 Diamond 0.01923077
## 19 7 Diamond 0.01923077
## 20 8 Diamond 0.01923077
## 21 9 Diamond 0.01923077
## 22 10 Diamond 0.01923077
## 23 J Diamond 0.01923077
## 24 Q Diamond 0.01923077
## 25 K Diamond 0.01923077
## 26 A Diamond 0.01923077
## 27 2 Heart 0.01923077
## 28 3 Heart 0.01923077
## 29 4 Heart 0.01923077
## 30 5 Heart 0.01923077
## 31 6 Heart 0.01923077
## 32 7 Heart 0.01923077
## 33 8 Heart 0.01923077
## 34 9 Heart 0.01923077
## 35 10 Heart 0.01923077
## 36 J Heart 0.01923077
## 37 Q Heart 0.01923077
## 38 K Heart 0.01923077
## 39 A Heart 0.01923077
## 40 2 Spade 0.01923077
## 41 3 Spade 0.01923077
## 42 4 Spade 0.01923077
## 43 5 Spade 0.01923077
## 44 6 Spade 0.01923077
## 45 7 Spade 0.01923077
## 46 8 Spade 0.01923077
## 47 9 Spade 0.01923077
## 48 10 Spade 0.01923077
## 49 J Spade 0.01923077
## 50 Q Spade 0.01923077
## 51 K Spade 0.01923077
## 52 A Spade 0.01923077Con el código siguiente se obtendrá el espacio muestral de una baraja de naipes, incluidos los comodines (jokers):
## rank suit
## 1 2 Club
## 2 3 Club
## 3 4 Club
## 4 5 Club
## 5 6 Club
## 6 7 Club
## 7 8 Club
## 8 9 Club
## 9 10 Club
## 10 J Club
## 11 Q Club
## 12 K Club
## 13 A Club
## 14 2 Diamond
## 15 3 Diamond
## 16 4 Diamond
## 17 5 Diamond
## 18 6 Diamond
## 19 7 Diamond
## 20 8 Diamond
## 21 9 Diamond
## 22 10 Diamond
## 23 J Diamond
## 24 Q Diamond
## 25 K Diamond
## 26 A Diamond
## 27 2 Heart
## 28 3 Heart
## 29 4 Heart
## 30 5 Heart
## 31 6 Heart
## 32 7 Heart
## 33 8 Heart
## 34 9 Heart
## 35 10 Heart
## 36 J Heart
## 37 Q Heart
## 38 K Heart
## 39 A Heart
## 40 2 Spade
## 41 3 Spade
## 42 4 Spade
## 43 5 Spade
## 44 6 Spade
## 45 7 Spade
## 46 8 Spade
## 47 9 Spade
## 48 10 Spade
## 49 J Spade
## 50 Q Spade
## 51 K Spade
## 52 A Spade
## 53 Joker <NA>
## 54 Joker <NA>Utilizando el siguiente código, se obtendrá el espacio muestral de una baraja de naipes que incluya los comodines (jokers) y sus probabilidades:
## rank suit probs
## 1 2 Club 0.01851852
## 2 3 Club 0.01851852
## 3 4 Club 0.01851852
## 4 5 Club 0.01851852
## 5 6 Club 0.01851852
## 6 7 Club 0.01851852
## 7 8 Club 0.01851852
## 8 9 Club 0.01851852
## 9 10 Club 0.01851852
## 10 J Club 0.01851852
## 11 Q Club 0.01851852
## 12 K Club 0.01851852
## 13 A Club 0.01851852
## 14 2 Diamond 0.01851852
## 15 3 Diamond 0.01851852
## 16 4 Diamond 0.01851852
## 17 5 Diamond 0.01851852
## 18 6 Diamond 0.01851852
## 19 7 Diamond 0.01851852
## 20 8 Diamond 0.01851852
## 21 9 Diamond 0.01851852
## 22 10 Diamond 0.01851852
## 23 J Diamond 0.01851852
## 24 Q Diamond 0.01851852
## 25 K Diamond 0.01851852
## 26 A Diamond 0.01851852
## 27 2 Heart 0.01851852
## 28 3 Heart 0.01851852
## 29 4 Heart 0.01851852
## 30 5 Heart 0.01851852
## 31 6 Heart 0.01851852
## 32 7 Heart 0.01851852
## 33 8 Heart 0.01851852
## 34 9 Heart 0.01851852
## 35 10 Heart 0.01851852
## 36 J Heart 0.01851852
## 37 Q Heart 0.01851852
## 38 K Heart 0.01851852
## 39 A Heart 0.01851852
## 40 2 Spade 0.01851852
## 41 3 Spade 0.01851852
## 42 4 Spade 0.01851852
## 43 5 Spade 0.01851852
## 44 6 Spade 0.01851852
## 45 7 Spade 0.01851852
## 46 8 Spade 0.01851852
## 47 9 Spade 0.01851852
## 48 10 Spade 0.01851852
## 49 J Spade 0.01851852
## 50 Q Spade 0.01851852
## 51 K Spade 0.01851852
## 52 A Spade 0.01851852
## 53 Joker <NA> 0.01851852
## 54 Joker <NA> 0.01851852Ejemplo 4: Probabilidad Condicional
El objetivo con este ejemplo es situaciones referentes a la probabilidad condicional. Se usará la función Prob con tres ejemplos aplicativos de probabilidad condicional en el lanzamiento de dados. Luego visualizar el espacio muestral del lanzamiento de dos dados:
## X1 X2 probs
## 1 1 1 0.02777778
## 2 2 1 0.02777778
## 3 3 1 0.02777778
## 4 4 1 0.02777778
## 5 5 1 0.02777778
## 6 6 1 0.02777778
## 7 1 2 0.02777778
## 8 2 2 0.02777778
## 9 3 2 0.02777778
## 10 4 2 0.02777778
## 11 5 2 0.02777778
## 12 6 2 0.02777778
## 13 1 3 0.02777778
## 14 2 3 0.02777778
## 15 3 3 0.02777778
## 16 4 3 0.02777778
## 17 5 3 0.02777778
## 18 6 3 0.02777778
## 19 1 4 0.02777778
## 20 2 4 0.02777778
## 21 3 4 0.02777778
## 22 4 4 0.02777778
## 23 5 4 0.02777778
## 24 6 4 0.02777778
## 25 1 5 0.02777778
## 26 2 5 0.02777778
## 27 3 5 0.02777778
## 28 4 5 0.02777778
## 29 5 5 0.02777778
## 30 6 5 0.02777778
## 31 1 6 0.02777778
## 32 2 6 0.02777778
## 33 3 6 0.02777778
## 34 4 6 0.02777778
## 35 5 6 0.02777778
## 36 6 6 0.02777778La probabilidad de que al lanzar dos dados los valores resultantes sumen 4 será: \[ Ω = {(1,1); (1,2); … ; (1,6); … ; (6,1); (6,2); … ; (6,6)} 𝑛(Ω) = 36 𝐸 = {(1,3); (2,2); (3,1)} 𝑛(E) = 3 \] De esta forma se obtendrá que la probabilidad es de 3/16 = 1/12 ≈ 0.08333333. Comprobando en R:
## [1] 0.08333333La probabilidad de que al lanzar dos dados los valores resultantes sumen 4, sabiendo que el primer dado arroja un número par: \[ 𝐴 = {(2,2)} 𝑛(A) = 1 Ω = {(2,1); (2,2); … ; (2,6); (4,1); (4,2); … ; (4,6); (6,1); (6,2); … ; (6,6)} 𝑛(Ω) = 18 \] Así, se determina que la probabilidad será de 1/18 ≈ 0.0555556
## [1] 0.05555556La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga 5, sabiendo que el valor resultante será impar: \[ Ω = {1,3,5} 𝑛(Ω) = 3 𝐴 = {5} 𝑛(A) = 1 \] La probabilidad quedará definida como 1/3 ≈ 0.33333333 Comprobando en R:
## X1 probs
## 1 1 0.1666667
## 2 2 0.1666667
## 3 3 0.1666667
## 4 4 0.1666667
## 5 5 0.1666667
## 6 6 0.1666667#Biblografía
- Caiza, W. (2015). Estadística y probabilidad con R. Universidad Politécnica Salesiana.
- Contreras, J., Molina, E. y Arteaga, P. (2007). Introducción a la Programación Estadística con R para Profesores. Recuperado de https://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/libroR.pdf
- Dave Tang’s Blog. (2013). Combinations and permutations in R. Recuperado de https://davetang.org/muse/2013/09/09/combinationsand- permutations-in-r/
- Kerns, G. (2010). Introduction to Probability and Statistics Using R. Recuperado de https://gis-lab.info/docs/books/kerns10_ipsur.pdf
- Wilhelmi, M. (2004). Combinatoria y probabilidad. Granada, España: Grupo de Educación Estadística Universidad de Granada.