Objetivo

Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial

Descripción

Identificar dos casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y realizar cálculos de probabilidades utilizando la fórmula y las funciones dbinom() y pbinom(), identificar el valor medio, la varianza y la desviación.

Fundamento teórico

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall et al., 2006)

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:

El experimento consiste en n intentos idénticos. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a q=(1−p). Los intentos son independientes. El interés es el valor de x, o sea, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x=0,1,2,…,n. (Mendenhall et al., 2006). Un experimiento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1−p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxito en n ensayos independientes (Walpole et al., 2012):

Fórmula:

prob(x=k)=(nk)⋅pk⋅q(n−k) Para x=0,1,2,3…n y recordando las combinacones (nk)=n!k!⋅(n−k)!

El valor esperado está dado por: μ=n⋅p

La varianza y la desviación estándard se determinan mediante: σ2=n⋅p⋅(1−p) y σ=σ2−−√

1. Cargar librerías

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")

# o

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

2. Ejercicios

2.1 Ejercicio 1

Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

a.Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada b.Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes c.Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes. d.Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos. e.Determinar el valor esperado y su significado f.Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado g.Interpretar

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada

Inicializar valores

x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

Identificar la probabildiad cuando P(x=2) de la tabla Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

Identificar la probabildiad cuando P(x=3) de la tabla Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

Ahora usar la función acumulada por la pregunta P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973
paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )
## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

e) Determinar el valor esperado y su significado

El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p * Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)
## [1] "El valor esperado es:  0.9"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado

La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  0.63"

La desviación σ=σ2−−√

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  0.79"

##g) Interpretar el ejercicio

2.2 Ejercicio 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

a.Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad b.Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4) c.Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6) d.Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3) e.Determinar el valor esperado VE f.Determinar la varianza y su desviación estándard g.Interpretar el ejercicio

a.Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

Inicializar valores

x <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- 6
exito <- 0.55

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1
##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2
##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

b.Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

Identificar la probabildiad cuando P(x=4) de la tabla Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 4
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 4 0.2779502 0.8281288
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  4  es igual a :  0.277950234375"

c.Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

Identificar la probabildiad cuando P(x=6) de la tabla Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 6
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 6 0.02768064 0.9916962
paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )
## [1] "La probabilidad cuando x es  6  es igual a :  0.027680640625"

d.Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

Ahora usar la función acumulada por la pregunta P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad
##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.5501786
paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )
## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  3  es igual a :  0.550178578125"

e.Determinar el valor esperado VE

El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p * Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)
## [1] "El valor esperado es:  3.3"

f.Determinar la varianza y su desviación estándard

La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))
## [1] "La varianza es:  1.48"

La desviación σ=σ2−−√

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))
## [1] "La desviación std es:  1.22"

g.Interpretar el ejercicio

3. Interpretación de los dos ejercicios identificando al menos los siguientes puntos: 180 a 200 palabras. Distribución binomial.

3.1. ¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en el contexto?

en el ejercicio 2.1 la variable aleatoria es la compra que realiza un cliente que es 0,1,2,3, este es el valor de las veces que el cliente realizo compras en una tienda son los valores que se ven reflejados en este ejercicio, en el ejercicio 2.2 la variable aleatoria es que un jugador realiza varios tiros tratando de encestar los tiros que realizo fueron 1,2,3,4,5,6, esto se puede dar a conocer como la variable ya que es la accion que esta haciendo o de otra forma se puede dar a conocer porque es los datos que nos esta dando el mismo ejercicio.

3.2. ¿Qué valores puede tomar la variable aleatoria?

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio, los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de una medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad. las variables aleatorias del ejercicio 2.1 son 0,1,2,3, las variables del ejercicio 2.2 son 1,2,3,4,5,6

3.3. ¿Cuál es el espacio muestral?, todos los elementos

el espacio muestral en el ejercicio 2.1 es las veces que un cliente realiza compras en una tienda, en el ejercicio 2.2 el espacio es las veces que un jugador realiza tiros y encesta

3.4. ¿Cuántos elementos hay en espacio muestral (S)?

en el ejercicio 2.1 los elementos son (0,1,2,3) que viene siendo las veces que un cliente realizo compras, en el ejercicio 2.2 los elementos son (1,2,3,4,5,6) que viene siendo los tiros que realizo un jugador en una cesta de basquetboll

3.5. ¿Cuántos casos hay de cada valor de cada variable aleatoria?

de casos en el ejercicio 2.1 se puede representar como las veces que el cliente realizo sus compras que son (0,1,2,3), los casos en el ejercicio 2.2 se puede representar como los tiros que realizo un jugador que son (1,2,3,4,5,6)

3.6. ¿Cuáles son las probabilidades más altas de cada variable aleatoria?

la variable mas alta en el ejercicio 2.1 es 0,441, la variable mas alta en el ejercicio 2.2 es 0.30321844.

3.8. ¿Qué significado tiene el gráfico de barra?

Un gráfico de barras es una forma de representar la información más importante de la cotización en un determinado periodo de tiempo.

El gráfico de barras es una de las formas de graficar la cotización de un activo más famosas. La mayoría de los gráficos de series económicas se hacen en forma de línea. No es este el caso en las cotizaciones bursátiles. Los gráficos básicos de líneas tan solo marcan unen puntos.

3.9. ¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado?

El gráfico lineal (gráfico de líneas o diagrama lineal) se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.

El diagrama lineal se suele utilizar con variables cuantitativas, para ver su comportamiento en el transcurso del tiempo. Por ejemplo, en las series temporales mensuales, anuales, trimestrales, etc.

Referencias bibliográficas

*Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,

*La distribución binomial o de bernoulli. (n.d.). https://www.profesor10demates.com/2014/04/la-distribucion-binomial-o-de-bernoulli_3.html

*Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2006). Introducción a la probabilidad y estadística (13a Edición).

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.