CASO 17 Disribuciones binomiales

Objetivo Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas y visualización gráficas relacionados con variables discretas asociado a distribuciones binomiales

Descripción Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación asociado a distribuciones binomiales Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas y distribuciones binomiales Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 17 encontrados en la literatura

1. Cargar librerías

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/funciones.distribuciones.r")

## Warning: package 'gtools' was built under R version 4.0.3

2. Identificar ejercicios de la literatura

Ejercicio Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson et al., 2008)

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30.

1. Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada.
1. Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
1. Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
1. Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
1. Determinar el valor esperado y su significado
1. Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado

a) Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

Inicializamos los Valores Correspondientes

x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

b) Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

Identificar la probabildiad cuando P(x=2) de la tabla
Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

c) Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

Identificar la probabildiad cuando P(x=3) de la tabla
Se puede usar tabla1 o tabla2 es la misma

valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

d) Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

Ahora usar la función acumulada por la pregunta
P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

e) Determinar el valor esperado y su significado

El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p
Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  0.9"

f) Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado

La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  0.63"

La desviación
```
          σ=σ2−−√
```

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  0.79"

2. EJERCICIO 2

Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (La Distribución Binomial O de Bernoulli, n.d.):

1. Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad
1. Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)
1. Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)
1. Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)
1. Determinar el valor esperado VE
1. Determinar la varianza y su desviación estándard

a. Determinar las probabilidad de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

x <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- 6
exito <- 0.55

Determinar tabla de probabilidad usando la función creada y conforme a la fórmula

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de r dbinom()

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x   f.prob.x   f.acum.x
## 1 1 0.06089428 0.06089428
## 2 2 0.18606586 0.24696014
## 3 3 0.30321844 0.55017858
## 4 4 0.27795023 0.82812881
## 5 5 0.13588678 0.96401559
## 6 6 0.02768064 0.99169623

b. Determinr la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

valor.x <- 4
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 4 0.2779502 0.8281288

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  4  es igual a :  0.277950234375"

c. Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

valor.x <- 6
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x   f.prob.x  f.acum.x
## 1 6 0.02768064 0.9916962

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  6  es igual a :  0.027680640625"

d. Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

valorx <- 3
laprobabilidad <- filter(tabla1, x == valorx) 
laprobabilidad

##   x  f.prob.x  f.acum.x
## 1 3 0.3032184 0.5501786

paste("La probabilidad cuando x es ", valorx, " es igual a : ", laprobabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.550178578125"

e. Determinar el valor esperado VE

El valor esperado de la distribución binomial μ=n⋅p
Siendo p el éxito de la probabilidad * y n el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  3.3"

f. Determinar la varianza y su desviación estándard

La varianza en la distribución binomial σ2=n⋅p⋅(1−p)

varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  1.48"

La desviación
```
          σ=σ2−−√
```

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.22"

INTERPRETACION DEL CASO

En el caso número 17 se hablará sobre las distribuciones binomiales, la distribución binomial es el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre si. En este caso se explicarán 2 ejercicios que se explican a continuación:

Ejercicio 1: es sobre una tienda de ropa de la empresa MartinClothingStore, que explica la experiencia de compras y se dice que la probabilidad de que un cliente realice una compra es del 0.30, se pide encontrar varios incisos:

a. Identificar las probabilidades para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada.

Como vemos para identificar dicha probabilidad primero se dan a inicializar los valores que x representa la cantidad del 0,1,2,3 la n son el numero de ensayos independientes entre si y la variable de éxito es el 0.30 ya que es la probabilidad de éxito y las probabilidades son: 0 es 0.343, en 1 es: 0.441, en 2 es: 0.189, en 3 es: 0.027.

b. Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

la probabilidad de que compren nomas 2 clientes es del 18.9%.

c. Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

En los 3 clientes la probabilidad es del: 2.7%.

d. Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

La probabilidad de que sea menor o igual a 2 es del 97.3%.

e. Determinar el valor esperado y su significado

el valor esperado es del 0.9.

f. Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado

la varianza es del 0.63 y la desviación estándar es de 0.79.

Ejercicio 2: es de un jugador de baloncesto que encesta con probabilidad del 0.55 se mostraran los siguientes incisos:

a. Determinar las probabilidades de los tiros del 1 al 6 con la tabla de probabilidad

Indicamos los Mismos valores de las variables x que es igual a 1,2,3,4,5,6 que vendrían siendo los tiros a la canasta n es igual a 6 y el éxito es igual a 0.55. las probabilidades de encestar del 1 son del 0.06089, 2 es: 0.186065, 3 es: 0.3032, 4 es: 0.2779, 5 es: 0.1358, y del 6 es: 0.02768.

b. Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros P(x=4)

La probabilidad de encestar los 4 tiros es del 27.79%

c. Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis P(x=6)

La probabilidad de encestar todos los tiros es del 2.76%

d. Determinar la probabilidad de encestar al menor tres P.acum(x=3)

La probabilidad de encestar al menos tres tiros es del 55%

e. Determinar el valor esperado VE

El valor esperado es del 3.3

f. Determinar la varianza y su desviación estándar

La Varianza es de 1.48 y la desviación estándar es de 1.22