Probabilidad condicionada
La probabilidad de un evento variará dependiendo de la ocurrencia o la no ocurrencia de uno o mas eventos relacionados.
Ejemplo 3 Un grupo escolar esta compuesto por 50 alumnos de los cuales 36 estudian ingeniería y el resto estudian economía. Se sabe además que del total del grupo 30 son hombres y el resto son mujeres de las cuales la mitad estudia ingeniería. Se selecciona al azar a un alumno del grupo y este resulta ser hombre.
- ¿cuál es la probabilidad de que estudie ingeniería?
- si el alumno seleccionado hubiera resultado ser estudiante de economía ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Ley multiplicativa
La probabilidad de que se den simultáneamente dos eventos (evento intersección de A y B) es igual a la probabilidad del evento A multiplicada por la probabilidad del evento B condicionada al cumplimiento del evento A.
Ejemplo 1 Estudiamos el evento A: varones mayores de 40 años casados y el evento B:varones mayores de 40 años con más de 2 hijos y obtenemos la siguiente información:
-Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. -De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (evento B condicionado al evento A).
- Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos.
Teorema de la probabilidad total
Es la probabilidad de que ocurra el evento B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este evento con los diferentes eventos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada evento A.
Ejemplo 1 En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:
- Amarilla: probabilidad del 50%.
- Verde: probabilidad del 30%
- Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:
- Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
- Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
- Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?
Ejemplo 2 Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
- Carlos, con una probabilidad del 60%
- Juan, con una probabilidad del 30%
- Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
- Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
- Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
- Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del evento A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del evento B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el evento B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del evento A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
Ejemplo 1 El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
- A1:Que llueva: probabilidad del 50% =P(A1).
- A2:Que nieve: probabilidad del 30% = P(A2)
- A3:Que haya niebla: probabilidad del 20% = P(A3).
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
- Si llueve: probabilidad de accidente del 10% = P(B/A1)
- Si nieva: probabilidad de accidente del 20% = P(B/A2)
- Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5% = P(B/A3)
Suponga que el evento B es que suceda un accidente.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
