Examen de la segunda unidad de la materia de probabilidad y estadística (ingenierías) ITSON Agosto-Diciembre 2020

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Examen Digital E2U2D

  1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

  • Calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a 43. \(P(\leq 43)\)
pnorm(43, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 0.7488325

La probabilidad es de 74.88%

  • Calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[ P(36\leq X < 44) \]

pnorm(44, mean=40, sd=sqrt(20)) - pnorm(36, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 0.6289066

La probabilidad es de 62.89%

  • ¿Cuál es el valor de \(X\) que deja un 80% por debajo de él?
qnorm(0.80, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 43.76384

El valor es 43.76384

  • Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20
muestra <- rnorm(50, mean=40, sd=sqrt(20))
muestra
##  [1] 34.26860 43.09776 39.56043 34.31677 37.74405 34.25058 37.87311 45.77705
##  [9] 45.49536 50.03970 35.70454 37.49202 40.84450 46.84295 34.28959 39.60926
## [17] 41.23945 34.12236 34.02679 43.25951 37.17639 43.10983 39.97921 39.54832
## [25] 44.57326 36.55902 45.35319 44.57433 42.56048 41.10967 39.49618 43.85270
## [33] 41.37583 42.82629 38.87593 39.64221 40.79552 31.51326 39.16381 39.70795
## [41] 38.80651 42.05440 39.25106 35.52029 44.86066 39.58287 42.71200 41.71130
## [49] 39.02606 44.37651
  • Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique
hist(muestra)

En este caso, este histograma es una representación gráfica de la distribución de frecuencias absolutas de nuestro conjunto de datos (muestra). El ancho de las barras verticales representa el ancho (o límites) de la clase o los intervalos, y el alto, representa el número de datos (frecuencia) en dicho intervalo o clase. Los intervalos se ordenan de menor a mayor, y como puede apreciarse, los intervalos de mayor frecuencia se agrupan cerca de la media aritmética (40). Como las medidas de tendencia central, moda, media y mediana son muy cercanas entre sí, el histograma forma una distribución normal y se dice que los datos son normales.

summary(muestra)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   31.51   37.78   39.68   40.19   43.03   50.04
  • Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique
boxplot(muestra)

El diagrama de caja y bigote es otra herramienta gráfica para representar frecuencias absolutas. Desde el centro hasta los extremos: la línea gruesa negra representa la mediana de los datos (o cuartil 2) (punto hasta el cual se ubican el 50% de los datos), y los límites de la caja representan los cuartiles 1 y 3, inferior y superior (puntos hasta los cuales se ubican el 25% y 75% de los datos respectivamente). La caja en su totalidad comprende el 50% de los datos. Y los “bigotes” el otro 50%, cuyos extremos representan el valor mínimo y máximo del conjunto de datos. Y los valores o puntos fuera de estos límites, son considerados valores atípicos.

  • Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población
hist(muestra, freq = FALSE) #freq=false, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(20)), xlim = c(25,55), xlab="Valores de x", ylab= "Densidad de X", add = TRUE)

  1. Distribución binomial

Hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

  • Calcular la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas (si se responde completamente al azar)
sum(dbinom( x=0:6, size=14, prob=(1/6)))
## [1] 0.9958913
#ó
pbinom(6, size=14, prob=1/6)
## [1] 0.9958913

La probabilidad es de 99.58%

  • Elaborar gráfica de barras correspondiente a la probabilidad
barplot(dbinom( x=0:14, size=14, prob=(1/6)), names.arg = 0:14)

  1. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos.

  • Encuentre la probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos (λ=2).
pexp(2, rate=4)
## [1] 0.9996645

La probabilidad es de 99.96%

  • Gráfique la función de densidad de probabilidad exponencial correspondiente
curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,10), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

  1. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente. Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

  • Calcule:

\[ P(X\geq 15)=1-P(X<17) \]

#cola izquierda
1-ppois(14, lambda = 11)
## [1] 0.145956
#cola derecha
ppois(14, lambda = 11, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.145956
barplot(dpois(x=0:30, 11), names.arg=0:30)

La probabilidad es de 14.59%

  1. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

  • ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres?

\[ \frac{\dbinom{7}{4}\dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}} \]

choose(7,4) * choose(10,2) / choose(17,6)
## [1] 0.1272624
#ó
dhyper(4,7,10,6)
## [1] 0.1272624

La probabilidad es de 12.72%

  1. Pregunta de rescate (opcional, solo suma y no resta si no se contesta)

Elabore un ensayo de máximo 1 cuartilla en el cual conteste a los siguientes cuestionamientos

  • ¿Puede un sistema entenderse a sí mismo?, ¿Un robot ‘sabe’ que es un robot?

No. Es la respuesta corta a la situación actual de nuestra cosmovisión.

Nosotros, como seres humanos, somos un sistema regido por nuestro cerebro, el órgano director de nuestras acciones y pensamientos. Desde tiempos inmemorables, nosotros, nuestro cerebro, se ha cuestionado todo aquello que percibe, con el fin de conocer, experimentar, pensar y razonar para llevar a cabo aquellas actividades que le permiten sobrevivir y reproducirse (alimentarse, descansar, entre otras, y cómo hacerlas eficientemente; este proceso ha ido mejorando con el pasar del tiempo, a medida que el cerebro se enriquece de experiencias).

Como nuestros razonamientos son en base a lo que percibimos, estos se encuentran ampliamente limitados por su propia naturaleza. Todo aquello fuera de nuestra percepción escapa a nuestra lógica, y para comprenderlo será necesario reducirlo a esta. “Nuestro cerebro es tan complejo que no podemos entenderlo y si pudiera ser más sencillo, seríamos tan tontos que no lo podríamos comprender tampoco, ergo un sistema no puede comprenderse a sí mismo.” (Acero, 2017).

Entendiendo a la mente a humana como un cerebro, y no como un ente inmaterial, nos encontramos ante una paradoja: el cerebro intenta explicarse a sí mismo. (Vilarroya, 2002). Pero no lograr entender el límite de sus capacidades, la naturaleza de estas o el porqué de estas.

La declaración de que el cerebro no pueda entenderse a sí mismo no lo limita ni lo detiene a seguir intentándolo. “Ese esfuerzo infinito que nunca se verá culminado es en realidad el motor de la evolución humana” (Acero, 2017). El cerebro tiene impedimentos tecnológicos, metodológicos, epistemológicos, y metafísicos para conseguir explicarse a sí mismo. Pero al igual que los robots o inteligencias artificiales, es capaz de analizar el entorno, analizarse a sí mismo, y llegar a la conclusión de que es un cerebro (identificarse), sin saber explicar o entender realmente qué es un cerebro (entenderse).

-Victor Carvajal

Examen Escrito a mano E2U2E

  1. Calcular la probabilidad de acertar los 7 números (de 50 disponibles, en el cual el orden de selección no importa) al comprar un boleto de sorteo ‘lotto’

  1. De un lote de 30 cafeteras de los que 4 son defectuosos se eligen 2. Calcular la probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos.

  1. Para una carrera de 20 automóviles fórmula 1
    1. Calcular la probabilidad acertar los 3 que llegan en los primeros lugares
    1. Calcular la probabilidad de acertar no solo los 3 automóviles que ganan sino el orden de su llegada a la meta.

  1. Probabilidad condicional. Un grupo escolar está compuesto por 60 estudiantes de los cuales 36 estudian ingeniería y el resto estudian economía. Se sabe además que del total del grupo 40 son hombres y el resto son mujeres de las cuales la mitad estudia ingeniería.

Se selecciona al azar a un alumno del grupo y este resulta ser hombre

    1. ¿cuál es la probabilidad de que estudie ingeniería?
    1. si el alumno seleccionado hubiera resultado ser estudiante de economía
    1. elabore una tabla con estos eventos

  1. Eventos relacionados. En un estudio de salud pública se ha llegado a la conclusión de que

  • La probabilidad de que una persona tenga daño pulmonar permanente al padecer COVID-19 (evento B) es de 0.11

  • La probabilidad de que un paciente tenga comorbilidad (evento A) es el 0.30 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de comorbilidad y daño pulmonar permanente (evento intersección de A y B) es del 0.06.

  • Calcular la probabilidad de que una persona sufra daño pulmonar permanente si está presenta comorbilidad (probabilidad condicionada P(B/A)).