Objetivo.

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción.

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme:

f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,

en cualquier otro caso

Valor Esperado: E(x)=(a+b)2

Varianza: Var(x)=(b−a)212

Desviación: α=Var(x)−−−−−−√

1. Cargar librerías.

library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)
options(scipen = 999)

2. Solución de ejercicios Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión.

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

Función de densidad

a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? ¿cuál es P(120≤x≤130)?

La P(120≤x≤130)=0.50

Solución aritmética

a <- 120
b <- 130
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

Solución por medio de la funsión de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)

p.x
## [1] 0.5

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? ¿cuál es P(128≤x≤136)? La P(128≤x≤138)=0.40

a <- 128
b <- 136

p.x <- altura * (b-a)
p.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4

Valor esperado.

E(x)=(120+140)2=130

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor es de: ", VE)
## [1] "El valor es de:  130"
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

2.2 Ejercicio 2

Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto. Intervalo: [0-60] f(x) = P(x) = P(0 ≤ x ≤ 25)

Problema Obtenido de: https://es.slideshare.net/monicamantillahidalgo/distribucion-uniforme-continua

reloj.min <- 0
reloj.max <- 60
manecillas <- 1 / (reloj.max - reloj.min)

Cual es la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos P(0 ≤ x ≤ 25)

a <- 0
b <- 25

p.x <- manecillas * (b-a)
paste("La Probabilidad de que el reloj se detenga entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", round(p.x * 100,2), "%")
## [1] "La Probabilidad de que el reloj se detenga entre  0  y  25  minutos es del: 41.67 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = reloj.min, max = reloj.max)

p.x
## [1] 0.4166667

Valor esperado.

VE <- (reloj.min + reloj.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  30"
varianza.x <- (reloj.max - reloj.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  300"

Desviación.

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  17.32  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  30"

Interpretación del caso.

El caso 16 trata sobre las variables aleatorias continuas, distribución y varianza. velor esperado y la desviación de cada ejercicio.

Ejercicio 1: Trata sobre un vuelo de avión de chicago a new york, se supone que el tiempo que se tardó el avión es cualquier valor en el intervalo de entre 120 a 160 minutos, La variable x toma cualquier valor en el intervalo ya mencionado localizamos la función de la densidad, la fórmula es 1/(Valor Máximo-Valor Mínimo), las variables que tomamos como valor mínimo fue a.min que es igual a 120 minutos y b.max que es igual a 140 minutos después realizamos la operación de la formula, la primer pregunta es ¿Cuál es la Probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Y el resultado es el 50%, la siguiente es ¿Cuál es la Probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? Y es: 40%, el valor esperado se saca sumando el valor mínimo y el valor máximo y elevarlo al cuadrado que dio 130, la varianza fue igual a: 33.33, y la desviación estándar es igual a 5.77.

Ejercicio 2: El siguiente ejercicio es sobre un reloj que se detuvo en x minutos y se quiere determinar la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos, en el intervalo de 0 hasta 60 que es lo que equivale una hora, en este ejercicio la variable mínima fue la de reloj.min que es igual a 0 y reloj.max que es igual a 60, la pregunta es, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos? Como a es igual a 0 y b es igual a 25, el 25 se resta al 0 y se multiplica por el resultado de la fórmula de densidad y la probabilidad es del: 41.67%, el valor esperado fue de 30, la varianza es de 300, y la desviación estándar es de 17.32 que este es el valor que se dispersa conforme al valor esperado que es de 30.