Examen de la segunda unidad de la materia de probabilidad y estadística (ingenierías) ITSON Agosto-Diciembre 2020

Este examen consta de 2 partes que se subirán a su carpeta personal en 2 archivos de word:

  1. Archivo de word del examen digital generado en R Markdown con nombre: U2E1

  2. Archivo de R MARKDOWN del examen Escrito a mano con nombre: U2E1.rmd

Examen Digital E2U2D

  1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

  • calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a 43. \(P(\leq 43)\)
pnorm(44, mean = 40, sd = sqrt(20), lower.tail = TRUE)
## [1] 0.8144533

Se crea la probabilidad normal de que un valor X sea menor o igual a 43, es por eso que coloco 44 en el código, con la media de 40 y desviación estandar, que es lo mismo que la raíz de la varianza.

  • Calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[ P(36\leq X < 44) \]

ren <- pnorm(c(35, 44), mean = 40, sd = sqrt(20), lower.tail = FALSE)
ren
## [1] 0.8682238 0.1855467
ren[1] - ren[2]
## [1] 0.6826771
  • ¿Cuál es el valor de \(X\) que deja un 80% por debajo de él?
qnorm (0.80, mean = 40, sd = sqrt(20))
## [1] 43.76384
  • Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20
set.seed(123)
x <- rnorm(50, mean = 40, sd = sqrt(20))
x
##  [1] 37.49348 38.97061 46.97076 40.31532 40.57819 47.67000 42.06128 34.34247
##  [9] 36.92830 38.00694 45.47426 41.60914 41.79230 40.49499 37.51420 47.99132
## [17] 42.22646 31.20502 43.13656 37.88561 35.22455 39.02519 35.41157 36.74030
## [25] 37.20474 32.45688 43.74670 40.68591 34.91010 45.60723 41.90721 38.68040
## [33] 44.00312 43.92713 43.67422 43.07969 42.47720 39.72312 38.63169 38.29848
## [41] 36.89318 39.07017 34.34098 49.69987 45.40217 34.97731 38.19824 37.91305
## [49] 43.48811 39.62716
  • Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique
curve(dnorm(x, mean = 40, sd = sqrt(20)), xlim = c(30,50), xlab="Valores de x", ylab= "Densidad de X")

hist(x)

Lo que representa este histograma son los valores obtenidos por la generación aleatoria de una muestra con datos normales, y esto se dice así porque la mayoría de los datos tienden a acercarse a la media, y tienen una desvaición estandar con un comportamiento también normal. Es por eso que los datos están agrupados todos hacia el medio, donde se encuentra el 40, que es la media para esta muestra.

  • Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique
boxplot(x)

Este gráfico de caja y bijote es una representación de como se comporta la muestra, teniendo los límites de valores en lo que pareciera las puntas del bigote, y en la caja se encuentran la mayoría de los valores de la muestra, y la línea en la caja es donde más frecuentemente rondan los datos, el cual al ser una distribución normal están muy cercanos a la media, en este caso el 40.

  • Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población
hist(x, freq = FALSE)
curve(dnorm(x, mean = 40, sd = sqrt(20)), from = 30, to = 50, add = TRUE)

En este histograma se pone encima una línea curva, la cual representa la normalidad de los datos, el pico máximo en lo que es la media, 40 para esta ocasión, y la mayoría de los datos agrupados ahí, con lo cual entre más alejados de la media nos encontremos la curva cae.

  1. Distribución binomial

hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

  • Calcular la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas (si se responde completamente al azar)
pbinom(6, size = 14, prob = 0.1666666667)
## [1] 0.9958913

El seis en el código es la probabilidad de obtener 6 respuestas correctas, en un examen de 14 reactivos, y la prob de 0.1666 es la probabilidad de cada evento por separado, es decir la probabilidad simple de tener correcta una pregunta, las cuales son de 6 alternativas y 1 correcta cada una, con lo cual se suman las 6 probabilidades de las 6 respuestas.

  • Elaborar gráfica de barras correspondiente a la probabilidad
barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = 0.1666666667), names.arg = 0:14)

Esta gráfica de barras representa la probabilidad de obtener X cantidad de respuestas correctas en este examen dado.

  1. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos.

  • Encuentre la probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos (λ=2).
x <- pexp(2, rate=2)
x
## [1] 0.9816844

Se genera la probabilidad de que un cliete sea atendido en menos de dos minutos, lo cual resulta ser muy probable.

  • Gráfique la función de densidad de probabilidad exponencial correspondiente
curve(dexp(x, rate = 2), xlim = c(0,10), xlab="valores de x", y= "Densidad de probabilidad")

La línea que describe que tan densa es la probabilidad de que en X minutos sea atendido un cliente, es decir que tan relativa se supone es esa probabilidad.

  1. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

  • calcule:

\[ P(X\geq 15)=1-P(X<15) \]

ppois(15, lambda = 11, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.09260391
  1. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

  • ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres?

\[\frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}}\]

choose(7, 4) * choose(10,2) / choose (17,6)
## [1] 0.1272624
  1. Pregunta de rescate (opcional, solo suma y no resta si no se contesta)

Elabore un ensayo de máximo 1 cuartilla en el cual conteste a los siguientes cuestionamientos

  • ¿Puede un sistema entenderse a sí mismo?, ¿Un robot ‘sabe’ que es un robot?

Un sistema, por ejemplo con vida como la de este planeta, por sí solo puede adaptarse para funcionar como si entendiera lo que es y para qué está hecho, pero realmente no es así, no tiene uso de la razón para saber que eso es así. Puede aprender con cada hecho que sucede y retroalimentarse para permanecer adaptado, pero no entenderse en sí mismo al cien porciento.

Es curioso analizar eso porque un robot, por ejemplo, puede estar programado con inteligencia artificial que lo haga saber lo que él es, pero sin ser esto absoluto, la programación y su memoria (el sistema con el que este trabaja en sí) es la que sabe lo que él es, o sease, que el sistema mismo sabe que el robot es un robot, pero el robot no lo puede pensar por sí solo aunque se le enseñe, pues no puede racionalizarlo y sacar la conclusión de “Soy un robot, por esta razón”, podría sacar este tipo de conclusiones para muchas otras cosas, pero no para esa cuestión específica, porque manipulando el sistema podemos hacerlo pensar para que se identifique a el mismo como cualquier otra cosa, y él no podría dudar de esto ni aunque tuviera los archivos de la definición de un robot en su memoria, como si lo podríamos hacer nosotros, dudar de lo que nos enseñan y así razonar con el entorno y darnos cuenta de lo que somos o no somos.

Y en mi opinión está correcto que permanezca así por mucho tiempo, sin una respuesta absoluta para esta cuestión, hasta que por fin podamos entenderla, sino se volvería algo caótico y aburrido, que todo sistema supiera que es, y para qué es en todo momento. Justo ahora entre más precisión tengan esos datos o esta respuesta más inútil es pues pocos la entenderían y poco provecho tendría en el futuro inmediato, pues no sería una respuesta definitiva.

Examen Escrito a mano E2U2E

  1. Calcular la probabilidad de acertar los 7 números (de 50 disponibles, en el cual el orden de selección no importa) al comprar un boleto de sorteo ‘lotto’

  1. De un lote de 30 cafeteras de los que 4 son defectuosos se eligen 2. Calcular la probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos.

  1. Para una carrera de 20 automóviles fórmula 1
    1. Calcular la probabilidad acertar los 3 que llegan en los primeros lugares
    1. Calcular la probabilidad de acertar no solo los 3 automóviles que ganan sino el orden de su llegada a la meta.

  1. Probabilidad condicional. Un grupo escolar está compuesto por 60 estudiantes de los cuales 36 estudian ingeniería y el resto estudian economía. Se sabe además que del total del grupo 40 son hombres y el resto son mujeres de las cuales la mitad estudia ingeniería.

Se selecciona al azar a un alumno del grupo y este resulta ser hombre

    1. ¿cuál es la probabilidad de que estudie ingeniería?
    1. si el alumno seleccionado hubiera resultado ser estudiante de economía
    1. elabore una tabla con estos eventos

  1. Eventos relacionados. En un estudio de salud pública se ha llegado a la conclusión de que

  • La probabilidad de que una persona tenga daño pulmonar permanente al padecer COVID-19 (evento B) es de 0.11

  • La probabilidad de que un paciente tenga comorbilidad (evento A) es el 0.30 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de comorbilidad y daño pulmonar permanente (evento intersección de A y B) es del 0.06.

  • Calcular la probabilidad de que una persona sufra daño pulmonar permanente si está presenta comorbilidad (probabilidad condicionada P(B/A)).