Resolver aspectos de casos de probabilidad en variables aleatorias continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme. Determinar, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas
Identificar casos relacionados con variables continuas y distribuciones de probabilidad uniforme para elaborar mediante programación R y markdown. Se incluye en el caso, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas. Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias continuas y distribución de probabilidad uniforme. Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 16 encontrados en la literatura.
Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme: f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,,en cualquier otro caso
Valor Esperado: E(x)=(a+b)2
Varianza: Var(x)=(b−a)212
Desviación: α=Var(x)−−−−−−√
library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
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## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(knitr)
options(scipen = 999) # Notación normalSe identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.
Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).
Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.
Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.
Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).
Función de densidad
a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? ¿cuál es P(120≤x≤130)?
La P(120≤x≤130)=0.50
Solución aritmética
a <- 120
b <- 130
p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos es del: 50 %"Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.5¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? ¿cuál es P(128≤x≤136)? La P(128≤x≤138)=0.40
a <- 128
b <- 136
p.x <- altura * (b-a)
p.x## [1] 0.4paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 128 y 136 minutos es del: 40 %"Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.4Valor esperado
E(x)=(120+140)2=130
VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 130"Varianza Var(x)=(140−120)212=33.33
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 33.33"Desviación α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 5.77 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 130"En una práctica de presión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una línea de un kilometro de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una distancia menor que 75m del centro. Calcule la probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea.
Este problema se obtuvo de:: https://es.slideshare.net/monicamantillahidalgo/distribucion-uniforme-continua
Km.blanco <- 0
Km.destruccion <- 0.5
Bomba <- 1 / (Km.destruccion - Km.blanco)Cual es la probabilidad de que la bomba destruya al blanco a 75m del centro?
a <- 0
b <- 0.75
p.x <- Bomba * (b-a)
paste("La Probabilidad de que la nomba destruya es ", a , " y ", b, " km del centro del blanco: ", round(p.x * 100,2), "%")## [1] "La Probabilidad de que la nomba destruya es 0 y 0.75 km del centro del blanco: 150 %"Solución por medio de la función de densidad dunif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = Km.blanco, max = Km.destruccion)
p.x## [1] 1.5Valor que se espera
Resul <- (Km.blanco + Km.destruccion) / 2
paste("El valor esperado es de: ", Resul)## [1] "El valor esperado es de: 0.25"Varianza
varianza.x <- (Km.destruccion - Km.blanco)^2 / 75
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 0"Desviación
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", Resul)## [1] "La desviación estándard es igual a : 0.06 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 0.25"En este caso se realizaron dos ejercicios aserca de la distribucion uniforme la cual nos describe las vaiables continuas que tienen una probabilidad constante, esta distribucion modela un rango de valores con igual probabilidad y se especifica mediante cotas inferior y superior. Se dio el ejemplo de dos ejerciocios los cuales nos dieron a profundizar el tema el cual se dio uso a las formulas empleadas para este tema ademas de la varianza y la desviacion las cuales se obtuvieron de los datos que se fuero obteniendo dados los resultados para comprobarlos, el primer ejercicio nos dio a explicar mas a fondo este tema el cual se trata sobre el vuelo de un avion y su tiempo en realizarlo para lo cual se interpreto de forma que se dio respuesta a las probabilidades y cuestiones que se querian conocer y en el caso del 2 es mas basico acerca de como una bomba va a caer en tantos km del centro del blanco de forma que fue ms sencillo pero igual se dio uso de los razonamientos empleados para llegar a el resultado que se queria obtener mediante a las formulas empleadas.