Examen PyE 2

Examen de la segunda unidad de la materia de probabilidad y estadística (ingenierías) ITSON Agosto-Diciembre 2020

Este examen consta de 2 partes que se subirán a su carpeta personal en 2 archivos de word:

1. Archivo de word del examen digital generado en R Markdown con nombre: U2E1

2. Archivo de R MARKDOEN del examen Escrito a mano con nombre: U2E1.rmd

• El límite de entrega es a las 23:00 Horas del miércoles 18 de noviembre 2020

Examen Digital E2U2D

1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

• Calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a 43. \(P(\leq 43)\)

pnorm (43, 40, sqrt(20))

## [1] 0.7488325

La probabilidad es del 74.88%

• Calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[ P(36\leq X < 44) \]

pnorm(44, 40, sqrt (20)) - pnorm(36, 40, sqrt (20) )

## [1] 0.6289066

La probabilidad es del 62.89%

• ¿Cuál es el valor de \(X\) que deja un 80% por debajo de él?

qnorm (0.80, 40, sqrt(20))

## [1] 43.76384

• Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20

set.seed(8)
datos1 <- rnorm(50, 40, sqrt(20))
datos1

##  [1] 39.62172 43.75838 37.92724 37.53659 43.29167 39.51754 39.23844 35.13283
##  [9] 26.53417 37.34724 36.60210 41.30609 41.88455 34.21087 40.30985 36.36398
## [17] 46.75674 38.78533 46.96872 38.93854 45.73830 39.95756 38.21078 40.09832
## [25] 47.79389 35.04857 35.25735 48.72586 42.69539 30.96356 46.73806 44.30985
## [33] 33.05079 36.54017 45.63837 41.91611 43.77709 36.87330 39.70993 42.10630
## [41] 41.62562 37.25162 41.02389 38.82805 42.73943 31.24529 37.03270 41.26914
## [49] 41.20174 37.13736

• Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique

hist(datos1)

Se puede observar que la mayoria de los datos se encuentran al rededor de la media y en los limites de de la desviación estandar. Esto es porque “rnorm” genera un conjunto de datos aleatorios, pero al establecer la media y su desviacion estandar, la mayoria de estos datos estaran dentro de estos parametros, es decir, se encuentran en una distribucion normal. Esto sirve para determinar con que frequencia suceden los posibles eventos.

• Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique

boxplot(datos1)

Como se puede observar en este grafico de caja y bogote existe un valor atípico, pero fuera de ello, demuestra una comportación normal.

• Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población

hist(datos1, freq = FALSE) #freq=false, para que el area del histograma sea 1

curve(dnorm(x, 40,sqrt(20)), xlim = c(25,50), xlab="Valores de x", ylab= "Densidad de X", add = TRUE)

2. Distribución binomial

Hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

• Calcular la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas (si se responde completamente al azar)

sum(dbinom(x = 0:6, size = 14, prob = (1/7)))

## [1] 0.9983519

La probabilidad es del 99.83%

• Elaborar gráfica de barrascorrespondiente a la probabilidad

barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = (1/7)), names.arg = 0:14)

3. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos.

• Encuentre la probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos (λ=2).

pexp(2, rate = 4)

## [1] 0.9996645

La probabilidad es del 99.96%

• Gráfique la función de densidad de probabilidad exponencial correspondiente

curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,10), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

4. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

• calcule:

\[ P(X\geq 15)=1-P(X<17) \]

1-ppois(14, lambda = 11)

## [1] 0.145956

5. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

• ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres?

\[\frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}}\]

dhyper(4,7,10,6)

## [1] 0.1272624

La probabilidad es del 12.72%

6. Pregunta de rescate (opcional, solo suma y no resta si no se contesta)

Elabore un ensayo de máximo 1 cuartilla en el cual conteste a los siguientes cuestionamientos

• ¿Puede un sistema entenderse a sí mismo?, ¿Un robot ‘sabe’ que es un robot?

Examen Escrito a mano E2U2E

1. Calcular la probabilidad de acertar los 7 números (de 50 disponibles, en el cual el orden de selección no importa) al comprar un boleto de sorteo ‘lotto’

2. De un lote de 30 cafeteras de los que 4 son defectuosos se eligen 2. Calcular la probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos.

3. Para una carrera de 20 automóviles fórmula 1

• 1. Calcular la probabilidad acertar los 3 que llegan en los primeros lugares
• 2. Calcular la probabilidad de acertar no solo los 3 automóviles que ganan sino el orden de su llegada a la meta.

4. Probabilidad condicional. Un grupo escolar está compuesto por 60 estudiantes de los cuales 36 estudian ingeniería y el resto estudian economía. Se sabe además que del total del grupo 40 son hombres y el resto son mujeres de las cuales la mitad estudia ingeniería.

Se selecciona al azar a un alumno del grupo y este resulta ser hombre

• 1. ¿cuál es la probabilidad de que estudie ingeniería?
• 2. si el alumno seleccionado hubiera resultado ser estudiante de economía
• 3. elabore una tabla con estos eventos

5. Eventos relacionados. En un estudio de salud pública se ha llegado a la conclusión de que

• La probabilidad de que una persona tenga daño pulmonar permanente al padecer COVID-19 (evento B) es de 0.11

• La probabilidad de que un paciente tenga comorbilidad (evento A) es el 0.30 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de comorbilidad y daño pulmonar permanente (evento intersección de A y B) es del 0.06.

• Calcular la probabilidad de que una persona sufra daño pulmonar permanente si está presenta comorbilidad (probabilidad condicionada P(B/A)).