Media, varianza y desviacion de distribucion de variables discretas
Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.
Descripción
Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.
Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.
Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 15 encontrados en la literatura, se pueden apoyar de los mismos ejercicios del caso 14.
Marco de referencia
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento (Anderson et al., 2008).
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma. (Anderson et al., 2008). Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreto.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variabl aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado(Lind et al., 2015)
En su libro (Walpole et al., 2012) define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
- Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que 0.
f(x)≥0
- La suma de las probabilidad de todas las variables x debe ser igual a 1 o la suma de los valores de cada función de probabildiad con respecto a x debe ser 1
∑xf(x)=1
- La probabilidad de cada variable x es igual a la función de probabilidad con respeto a x
P(X=x)=f(x)
(Walpole et al., 2012)
#Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) está dada por la suma de sus probabilidades de t siendo t menor o igual a x. Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicia de x. El valor final con respecto a valor final de x debe ser igual a 1.
F(x)=P(X≤x)=∑t≤xf(t)
(Walpole et al., 2012)
La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia (Lind et al., 2015)
La fórmula para el valor esperado es:
μ=∑xP(x)
La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución (Lind et al., 2015)
Su fórmula es:
α2=∑(x−μ)2P(x)
- La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.
- Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
- Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.
1. Cargarlas librerías
Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(stringr) # String
library(stringi) # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)
options(scipen = 999) # Notación normal
2. Ejercicios
- Para cada ejercicio, se describe y define el contexo
- Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
- Se determina el valor esperado de cada ejercicio
- Se determina la varianzay la descviación estándar de la distribución de las vaiables discretas
2.1. Ejercicio 1
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Hero, n.d.)
Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000
casos <- c(4997,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")
Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
| 0 |
4997 |
0.9994 |
0.9994 |
0.00 |
| 1 |
50 |
0.0100 |
1.0094 |
0.01 |
Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula:
μ=∑xP(x)
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE
## [1] 0.01
El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01
Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
| 0 |
4997 |
0.9994 |
0.9994 |
0.00 |
0.01 |
0.0000999 |
| 1 |
50 |
0.0100 |
1.0094 |
0.01 |
0.01 |
0.0098010 |
α2=∑(x−μ)2P(x)
- var = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza
## [1] 0.00990094
Desviación estándard de una distribución discreta
- La raiz cuadrada de la varianza
α=α2−−√
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std
## [1] 0.09950347
2.2 Ejercicio 2
Las ventas de automóviles de una empresa
Durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo
54 días en los que no se vendió ningún automóvil,
117 días en los que se vendió 1 automóvil,
72 días en los que se vendieron 2 automóviles,
42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y
3 días en los que se vendieron 5 automóviles.
¿Cuál es la probabilida de que se venda exactamente un automoviles?
¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos 2 automóviles?
Tabla de probabilidad o Contingencia
discretas <- 0:5 # c(0,1,2,3,4,5)
n <- 300
casos <- c(54, 117, 72, 42, 12, 3)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x= (discretas*probabilidades))
kable(tabla)
| 0 |
54 |
0.18 |
0.18 |
0.00 |
| 1 |
117 |
0.39 |
0.57 |
0.39 |
| 2 |
72 |
0.24 |
0.81 |
0.48 |
| 3 |
42 |
0.14 |
0.95 |
0.42 |
| 4 |
12 |
0.04 |
0.99 |
0.16 |
| 5 |
3 |
0.01 |
1.00 |
0.05 |
Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: μ=∑xP(x)
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE
## [1] 1.5
Varianza
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
| 0 |
54 |
0.18 |
0.18 |
0.00 |
1.5 |
0.4050 |
| 1 |
117 |
0.39 |
0.57 |
0.39 |
1.5 |
0.0975 |
| 2 |
72 |
0.24 |
0.81 |
0.48 |
1.5 |
0.0600 |
| 3 |
42 |
0.14 |
0.95 |
0.42 |
1.5 |
0.3150 |
| 4 |
12 |
0.04 |
0.99 |
0.16 |
1.5 |
0.2500 |
| 5 |
3 |
0.01 |
1.00 |
0.05 |
1.5 |
0.1225 |
- var = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza
## [1] 1.25
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std
## [1] 1.118034
2.3 Ejercicio 3
En Estados Unidos un porcentaje de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad. La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las edades de entre 6 y 14 años, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado.(Anderson et al., 2008)
- ¿Cuál es la probabilida de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años?
- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos por de 11 años o menos? Tabla de probabilidad o Contingencia
discretas <- 6:14
#n <- '?'
casos <- c(37369, 87436, 160840,239719,286719,306533,310787,302604,289168)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x= (discretas*probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
| 6 |
37369 |
0.0184888 |
0.0184888 |
0.1109325 |
| 7 |
87436 |
0.0432600 |
0.0617487 |
0.3028199 |
| 8 |
160840 |
0.0795775 |
0.1413262 |
0.6366198 |
| 9 |
239719 |
0.1186038 |
0.2599300 |
1.0674340 |
| 10 |
286719 |
0.1418576 |
0.4017876 |
1.4185758 |
| 11 |
306533 |
0.1516608 |
0.5534484 |
1.6682687 |
| 12 |
310787 |
0.1537655 |
0.7072139 |
1.8451861 |
| 13 |
302604 |
0.1497169 |
0.8569307 |
1.9463193 |
| 14 |
289168 |
0.1430693 |
1.0000000 |
2.0029696 |
Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: μ=∑xP(x)
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE
## [1] 10.99913
Varianza
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")
Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
| 6 |
37369 |
0.0184888 |
0.0184888 |
0.1109325 |
10.99913 |
0.4620571 |
| 7 |
87436 |
0.0432600 |
0.0617487 |
0.3028199 |
10.99913 |
0.6918572 |
| 8 |
160840 |
0.0795775 |
0.1413262 |
0.6366198 |
10.99913 |
0.7157799 |
| 9 |
239719 |
0.1186038 |
0.2599300 |
1.0674340 |
10.99913 |
0.4740005 |
| 10 |
286719 |
0.1418576 |
0.4017876 |
1.4185758 |
10.99913 |
0.1416097 |
| 11 |
306533 |
0.1516608 |
0.5534484 |
1.6682687 |
10.99913 |
0.0000001 |
| 12 |
310787 |
0.1537655 |
0.7072139 |
1.8451861 |
10.99913 |
0.1540345 |
| 13 |
302604 |
0.1497169 |
0.8569307 |
1.9463193 |
10.99913 |
0.5993912 |
| 14 |
289168 |
0.1430693 |
1.0000000 |
2.0029696 |
10.99913 |
1.2883739 |
- var = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza
## [1] 4.527104
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std
## [1] 2.127699
3.-INTERPRETACION CASO 15
En este caso se plantea aserca de las variables aleatorias discretas la cual nos dice que es discreta cuando su campo e variacion esta construido por un conjunto finito o infinito numerable de valores posibles, e esta manera tambien se da uso de la varianza que se refiere a una medida de dispersion que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a du media. Otra medida de dispersion que se utilizo fue la desviacion estandar la cual es la mas comun ya que indica que tan dispersos estan los datos obtenidos con respecto a la media que se esta obteniendo, este caso fue muy practico ya que se dio uso de diferentes temas que se aplicarom de forma continua y correcta para poder conocer mas a fondo estos conceptos para que se utilizen para resolver problemas matematicos o hasta de la vida personal.