Objetivo

Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

Fundamento teórico

Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.

En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.

En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x).

Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de f(x) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo(Anderson et al., 2008).

Proceso

1. Cargar librerías

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.3
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

2. Solución de ejercicios

2.1. Ejercicio 1.

Arturo realiza un recorrido en bicicleta en el cual pasa por dos destinos y vicervesa entre ellos los destinos son de la escuela(b) a la bibliteca(f) el tiempo que genera es de 15 a 30 minutos, determinar tanto como la densidad y la probabilidad que ahi dentro de estos dos destinos. ### Funcion de Densidad

p.b<- 15
p.f <- 35
p.t <- 1 / (p.f - p.b)

Solucion Aritmetica

¿Cual es la probabilidad de que Arturo pase por los dos puntos?

b <- 15
f <- 35

p.T.x <- p.t * (f-b)
paste("La probabilidad de que Arturo pase entre ", b , " y ", f," es de: ", p.T.x, "%")
## [1] "La probabilidad de que Arturo pase entre  15  y  35  es de:  1 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.T.x <- (f - b) * dunif(x = b, min = p.b, max = p.f) 

p.T.x
## [1] 1

¿Cual es la maxima y minima posibilidad de que Arturo pase por los dos destinos si los minutos que se generan son de 25 a 45 min?

b <- 25
f <- 45

t.ma <- p.t * (f-b)
paste("La maxima posibilidad seria de: ", t.ma ,"%")
## [1] "La maxima posibilidad seria de:  1 %"
t.mi <- t.ma / (f-b)
paste("La minima posibilidad seria de: ", t.mi ,"%")
## [1] "La minima posibilidad seria de:  0.05 %"

Con la función de densidad dunif()

b <- 25 
f <- 45

bic <- dunif(x=b, min = p.b, max = p.f) + 
        dunif(x=b+1, min = p.b, max = p.f)
bic
## [1] 0.1

Valor Esperado

VE <- (p.b + p.f) / 2

paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  25"

Varianza

VA <- (p.f - p.b)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(VA,1))
## [1] "La varianza es:  33.3"

Desviacion estandar

DE <- sqrt(VA)

paste("La desviacion estandar es igual a: ", round(DE, 1), " Que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de: ", VE)
## [1] "La desviacion estandar es igual a:  5.8  Que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de:  25"

2.2. Ejercicio 2.

Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de un mismo microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho microorganismo. Se observa que, en general, 4 de cada 10 mueren antes de que el compuesto haya surtido efecto. Calcula la probabilidad

Funcion de Densidad

a.min <- 4
b.max <- 10
ejemplares <- 1 / (b.max - a.min)

Solucion Aritmetica

¿Cuál es la probabilidad de que mueran entre 6 y 9 ejemplares?

a <- 6
b <- 9

p.x <- ejemplares * (b-a)
paste("La probabilidad de que mueran ejemplares esta entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que mueran ejemplares esta entre  6  y  9  es del: 50 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.5

Valor Esperado

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  7"

Varianza

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  3"

Desviacion Estandar

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  1.73  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  7"

3.Interpretacion del Caso

En la elaboracion del caso 16 se trabajo con 2 ejercicios:

Ejercicio 2.1 se trabajo con el recorrido que realizo Arturo en su bicicleta entre dos destinos de lo cual, se obtuvieron varios resultados, la probabilidad de que Arturo pase entre los dos puntos o destinos es del 1% lo que quiere decir esque esta dificil de que pueda pasar por los dos destinos,la función de densidad dunifnos dice que es de 0.1, la maxima posibildad de que pase por los dos destinos es 1%, y la minima probabilidad es del 0.05%, su valor esperado es del 25, su varianza es de 33.3 y su desviacion estandar es de 5.8.

Ejercicio 2.2 en este ejercicio se trabajo con 120 ejemplares de los cual 4 de cada 10 mueren, los ejemplares son de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de un mismo microorganismo, de lo cual se obtuvo su solucion aritmetica esto quiere decir que la probabilidad de que mueran ejemplares esta entre 6 y 9 es del: 50 %,la función de densidad dunif nos dice que es de 0.5, el valor esperado es de 7, la varianza es de 3, la desviacion estandar es igual a 1.73.