Objetivo Resolver aspectos de casos de probabilidad en variables aleatorias continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme. Determinar, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas

Descripción Identificar casos relacionados con variables continuas y distribuciones de probabilidad uniforme para elaborar mediante programación R y markdown. Se incluye en el caso, media o valor esperado, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables continuas. Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias continuas y distribución de probabilidad uniforme. Se deben elaborar dos ejercicios en este caso 16 encontrados en la literatura.

Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme: f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,,en cualquier otro caso

Valor Esperado: E(x)=(a+b)2

Varianza: Var(x)=(b−a)212

Desviación: α=Var(x)−−−−−−√

1. Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

2. Solución de ejercicios Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

Función de densidad

a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? ¿cuál es P(120≤x≤130)?

La P(120≤x≤130)=0.50

Solución aritmética

a <- 120
b <- 130

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.5

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? ¿cuál es P(128≤x≤136)? La P(128≤x≤138)=0.40

a <- 128
b <- 136

p.x <- altura * (b-a)
p.x
## [1] 0.4
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")
## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x
## [1] 0.4

Valor esperado

E(x)=(120+140)2=130

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  130"

Varianza Var(x)=(140−120)212=33.33

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

2.2 Ejercicio 2

Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto. Intervalo: [0-60] f(x) = P(x) = P(0 ≤ x ≤ 25)

Problema Obtenido de: https://es.slideshare.net/monicamantillahidalgo/distribucion-uniforme-continua

reloj.min <- 0
reloj.max <- 60
manecillas <- 1 / (reloj.max -reloj.min)

Cual es la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos P(0 ≤ x ≤ 25)

a <- 0
b <- 25

p.x <- manecillas * (b-a)
paste("La Probabilidad de que el reloj se detenga entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", round(p.x * 100,2), "%")
## [1] "La Probabilidad de que el reloj se detenga entre  0  y  25  minutos es del: 41.67 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = reloj.min, max = reloj.max) 

p.x
## [1] 0.4166667

Valor esperado

VE <- (reloj.min + reloj.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado es de:  30"

Varianza

varianza.x <- (reloj.max - reloj.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))
## [1] "La varianza es:  300"

Desviación

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)
## [1] "La desviación estándard es igual a :  17.32  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  30"

Interpretacion Del Caso

En el siguiente caso numero 16 que es de variables aleatorias continuas y distribución uniforme y más aparte la varianza, la desviación estándar y el valor esperado en cada ejercicio, bueno empezaremos con el primer ejercicio.

Ejercicio 1: Vuelo de un avión en este ejercicio tomamos un vuelo de chicago a new york, se supone que el tiempo que se tardó el avión es cualquier valor en el intervalo de entre 120 a 160 minutos, La variable x toma cualquier valor en el intervalo ya mencionado localizamos la función de la densidad, la fórmula es 1/(Valor Máximo-Valor Mínimo), las variables que tomamos como valor mínimo fue a.min que es igual a 120 minutos y b.max que es igual a 140 minutos después realizamos la operación de la formula, la primer pregunta es ¿Cuál es la Probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Y el resultado es el 50%, la siguiente es ¿Cuál es la Probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? Y es: 40%, el valor esperado se saca sumando el valor mínimo y el valor máximo y elevarlo al cuadrado que dio 130, la varianza fue igual a: 33.33, y la desviación estándar es igual a 5.77.

Ejercicio 2: Este ejercicio trata sobre un reloj que se detuvo en x minutos y se desea determinar la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos, en el intervalo de 0 hasta 60 que es lo que equivale una hora, en este ejercicio la variable mínima fue la de reloj.min que es igual a 0 y reloj.max que es igual a 60, la pregunta es ¿Cuál es la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos? Como a es igual a 0 y b es igual a 25, el 25 se resta al 0 y se multiplica por el resultado de la fórmula de densidad y la probabilidad es del: 41.67%, el valor esperado fue de 30, la varianza es de 300, y la desviación estándar es de 17.32 que este es el valor que se dispersa conforme al valor esperado que es de 30.