Objetivo

identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

Fundamento teórico

Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.

En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.

En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x).

Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de f(x) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo(Anderson et al., 2008).

Distribución de probabilidad uniforme

Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente (Anderson et al., 2008).

Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme:

f(x)={1b−a0,para a≤x≤b,,en cualquier otro caso

Valor Esperado:

E(x)=(a+b)2

Varianza:

Var(x)=(b−a)212

Desviación:

α=Var(x)−−−−−−√

Proceso

Cargar libbretas.

library(ggplot2)
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

2. Solución de ejercicios

Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 160 minutos.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

a.min <- 120
b.max <- 140
altura <- 1 / (b.max -a.min)

(x)={1140−120=1200,para 120≤x≤140,,en cualquier otro caso ### ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? #### ¿cuál es P(120≤x≤130)?

La P(120≤x≤130)=0.50

Solución aritmética

a <- 120
b <- 130

p.x <- altura * (b-a)
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  120  y  130  minutos es del: 50 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x

## [1] 0.5

## [1] 0.5

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

¿cuál es P(128≤x≤136)?

La P(128≤x≤138)=0.40

a <- 128
b <- 136

p.x <- altura * (b-a)
p.x

## [1] 0.4

## [1] 0.4

paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", p.x * 100, "%")

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre  128  y  136  minutos es del: 40 %"

Solución por medio de la función de densidad dunif()

p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 

p.x

## [1] 0.4

## [1] 0.4

Valor esperado

E(x)=(120+140)2=130

VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)

## [1] "El valor esperado es de:  130"

## [1] "El valor esperado es de:  130"

El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

Varianza

Var(x)=(140−120)/212=33.33

varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12

paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))

## [1] "La varianza es:  33.33"

## [1] "La varianza es:  33.33"

Desviación

α=Var(x)−−−−−−√=33.33−−−−√=5.77

ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)

## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

## [1] "La desviación estándard es igual a :  5.77  que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de  130"

Interpretración del ejercicio

Referencias bibliográficas

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,

(Ya supe como hacer la letra grande :D)

Ejercico 1:

La diabetes es una enfermedad que afecta a un porcentaje considerable de la población. Diferentes estudios han determinado que en las personas que padecen esta enfermedad, el nivel de glucosa en sangre en ayunas tiene una distribución aproximadamente normal, con media de 106 mg%ml y desviación típica de 8 mg%ml.

A partir de la información otorgada calcule 1.1 la probabilidad de encontrar niveles de glucosa en sangre menores a 120 mg ml 1.2 la probabilidad de que el nivel de glucosa en sangre se encuentre entre 106 y 110 mgml 1.3 el porcentaje de diabéticos que tienen niveles comprendidos entre 90 y120 mg ml

1.1 Utilizo la función de distribución acumulada

pnorm(120,106,8)

## [1] 0.9599408

## [1] 0.9599408

1.2

pnorm(110,106,8)-pnorm(106,106,8)

## [1] 0.1914625

## [1] 0.1914625

1.3

pnorm(120,106,8)-pnorm(90,106,8)

## [1] 0.9371907

## [1] 0.9371907

EJERCICIO 2

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

(pnorm(27,23,5)-pnorm(21,23,5))*30

## [1] 13.30699

## [1] 13.30699

Caso 16

Sahid Alejandro De La Torre Galarza. 20040381

13/11/2020

Objetivo

identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad con la distribución de probabilidad uniforme.

Descripción

Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la disribución de probabilidad uniforme.

Fundamento teórico

Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.

En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.

En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x).

Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

Distribución de probabilidad uniforme

Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente (Anderson et al., 2008).

Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme:

Valor Esperado:

Varianza:

Desviación:

Proceso

Cargar libbretas.

2. Solución de ejercicios

Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.

2.1. Ejercicio 1. Vuelo de un avión

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 160 minutos (Anderson et al., 2008).

Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.

Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme (Anderson et al., 2008).

La P(120≤x≤130)=0.50

Solución aritmética

Solución por medio de la función de densidad dunif()

¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

¿cuál es P(128≤x≤136)?

La P(128≤x≤138)=0.40

Solución por medio de la función de densidad dunif()

Valor esperado

El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.

Varianza

Desviación

Interpretración del ejercicio

Referencias bibliográficas

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,

(Ya supe como hacer la letra grande :D)

Ejercico 1:

1.1 Utilizo la función de distribución acumulada

1.2

1.3

EJERCICIO 2

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°