Fórmula de Bayes

Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:

Bayes

• Visualización del teorema de bayes

Bayes

Análisis Bayesianos

Los análisis Bayesianos son similares a los que vimos en en el sentido que dependen explícitamente de modelos probabilísticos para los datos.

Es decir, tenemos que definir un modelo de datos. La gran diferencia es que con Bayes, podemos obtener distribuciones de probabilidades para todas las cantidades no observadas, incluyendo parámetros, valores perdidos o nuevas observaciones que todavía no hemos hecho. De esta manera, los análisis Bayesianos nos permiten cuantificar incertidumbre y armar modelos realistas que tienen en cuenta por ejemplo observaciones imperfectas.

Como vimos en la teórica, la regla de Bayes planteada en términos de datos y parámetros es:

\[ p(\boldsymbol{\theta} \lvert \boldsymbol{y}) = \frac{p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta}) p(\boldsymbol{\theta)}}{\int p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta)} p(\boldsymbol{\theta)} d \boldsymbol{\theta} } \] Es decir que la probabilidad de los parámetros θ dado que observamos los datos y es igual al likelihood multiplicado por las previas y dividido por la probabilidad total de los datos. La función de likelihood nos da la probabilidad de observar los datos condicional al valor de los parámetros p(y|θ). La previa de los parámetros p(θ) refleja los posibles valores de los parámetros de acuerdo con nuestras “creencias” previas, o los resultados de estudios anteriores, o lo que nos parece que tiene sentido para el sistema de estudio (en definitiva, en base a información previa). Finalmente, la probabilidad total de los datos se obtiene integrando la función de lilkelihood sobre los posibles valores de los parámetros que define la previa. Como veremos más adelante, los análisis Bayesianos combinados con métodos numéricos permiten analizar modelos con muchos parámetros, niveles de variabilidad y variables “ocultas”, pero primero vamos a empezar por casos simples donde podemos calcular las posteriores directamente.

Para entender bien cómo es todo el proceso, vamos a simular los datos.

Imaginen que queremos estudiar la remoción de frutos en 30 plantas. En cada una de las plantas marcamos 20 frutos y contamos cuántos son removidos por dispersores luego de un tiempo fijo. Si suponemos que un buen modelo para este tipo de datos es una distribución Binomial con una probabilidad de éxito fija hacemos:

set.seed(1234)
nobs <- 30 #número de obserbaciones (plantas)
frutos <- rep(20,nobs)
p_rem <- 0.2 #Probabilidad de remoción por fruto Previa (a priori)
removidos <- rbinom(nobs, size = frutos, prob=p_rem)
removidos

##  [1] 2 4 4 4 6 5 0 3 5 4 5 4 3 7 3 6 3 3 2 3 3 3 2 1 3 6 4 7 6 1

El modelo de datos (cuántos frutos son removidos) es una Binomial con número de pruebas (la cantidad de frutos disponibles) conocido. Para hacer un análisis Bayesiano de estos datos, tenemos que definir una previa para la probabilidad de éxito (p_rem). Esa previa tiene que tomar valores continuos entre 0 y 1. Una opción sería una distribución uniforme con esos límites, pero si usamos una distribución Beta, es posible obtener un resultado analítico para la posterior. En este caso, la posterior es otra distribución Beta pero con sus parámetros actualizados en base a las observaciones. Se dice entonces que la distribución Beta es la conjugada de la Binomial. Si la previa de la tasa de remoción por fruto es una distribución Beta con parámetros α y β, actualizamos los valores de α y β en base a la cantidad de éxitos y fracasos obervados.

La posterior de la tasa de remoción por fruto es entonces una Beta con α=∑y, β=∑(n−y) donde y representa a los frutos removidos de los n disponibles. Veamos como hacer esto en R.

#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(removidos)
beta_p <- alpha + sum(frutos-removidos)

Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacemos

alpha_p/(alpha_p + beta_p)

## [1] 0.1877076

Eso nos da un estimador puntual de la probabilidad de remoción por fruto p_rem. Para tener una medida de incertidumbre alrededor de este valor, podemos ver los cuantiles de la posterior

qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_p, beta_p)

## [1] 0.1575462 0.2198340

También podemos graficar la distribución posterior y compararla con la previa para ver cuánto aprendimos haciendo el análisis.

op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(removidos), beta + sum(frutos - removidos)), lwd = 2, 
    ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.6, 2.5, "previa")
text(0.35, 12, "posterior")

¿Cómo sabemos si estas estimaciones tienen sentido para nuestros datos? En este caso, la pregunta es trivial porque conocemos cómo se generaron los datos, pero cuando trabajamos con datos de verdad, el modelo de datos es un supuesto y tenemos que ver si ese supuesto tiene sentido.

Una opción para contestar esa pregunta es hacer simulaciones a partir de la posterior y compararlas con los datos.

nreps <- 10000
vals <- 0:20  # posibles valores de remoción
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1)  # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p)  # muestra aleatoria de la posterior

for (i in 1:nreps) 
{
    tmp <- rbinom(nobs, frutos, p_sim[i])
    res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}

plot(table(removidos)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), ylab = "frecuencia", 
    type = "p", pch = 19)
library(coda)
ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:19, ci[, 2])
lines(0:19, ci[, 1])

Ahora, según lo aprendido hasta ahora y lo que puedan investigar.

Haga 2 ejercicios del teorema de bayes aplicado a su área de estudio.

Ejercicio 1

En redes de computadoras, al momento algo conocido como señal Cross Talking, que se refiere al ruido ocasionado entre los pares de un mismo cable de par trenzado (UTP), que dependiendo de en que parte del cable se produzca y en que parte se mida, se le conoce como NEXT o FEXT, aunque generalmente, la última de estas no suele ser un problema muy grande, al referirse al ruido lejano.

Imagen de cables de par trenzado

Por poner un ejemplo, Se tiene que la probabilidad de que un cable presente ruido es del 5%, pero se sabe que esto solo se produce en el 1% de los casos que corresponde a los cables dañados que pueden presentar ese error, por especificaciones del cable proporcionadas por el fabricante.

Imagen ejemplo de señales de ruido

set.seed(1234)
nobs <- 100 #número de experimentos realizados
cables <- rep(20,nobs) #Número de cables probados
p_rem <- 0.01 #Probabilidad de encontrar un cable que produzca ruido
ruido <- rbinom(nobs, size = cables, prob=p_rem)
ruido

##   [1] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
##  [38] 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
##  [75] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

El modelo de datos (cuántos frutos son removidos) es una Binomial con número de pruebas (la cantidad de frutos disponibles) conocido. Para hacer un análisis Bayesiano de estos datos, tenemos que definir una previa para la probabilidad de éxito (p_rem). Esa previa tiene que tomar valores continuos entre 0 y 1. Una opción sería una distribución uniforme con esos límites, pero si usamos una distribución Beta, es posible obtener un resultado analítico para la posterior. En este caso, la posterior es otra distribución Beta pero con sus parámetros actualizados en base a las observaciones. Se dice entonces que la distribución Beta es la conjugada de la Binomial. Si la previa de la tasa de remoción por fruto es una distribución Beta con parámetros α y β, actualizamos los valores de α y β en base a la cantidad de éxitos y fracasos obervados.

La posterior de la tasa de remoción por fruto es entonces una Beta con α=∑y, β=∑(n−y) donde y representa a los frutos removidos de los n disponibles. Veamos como hacer esto en R.

#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(ruido)
beta_p <- alpha + sum(cables-ruido)

Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacemos

alpha_p/(alpha_p + beta_p)

## [1] 0.007492507

Esto nos da la probabilidad de tener un error por ruido o interferencia en los cables. Para tener una medida de incertidumbre alrededor de este valor, podemos ver los cuantiles de la posterior:

qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_p, beta_p)

## [1] 0.004201488 0.011711104

También podemos graficar la distribución posterior y compararla con la previa para ver cuánto aprendimos haciendo el análisis.

op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(ruido), beta + sum(cables - ruido)), lwd = 2, 
    ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.6, 2.5, "previa")
text(0.35, 12, "posterior")

Al haberse generado los datos de manera virtual o más bien, haberse seleccionado de manera arbitraria, es de esperarse que las estimaciones realizadas de probabilidad se encuentren dentro de los rangos esperados, por lo cual para obtener resultados más viables, es necesario realizar un número determinado de repeticiones o mejor aún, utilizar datos verídicos, que igualmente, se compongan por grandes muestras,

Una opción para contestar esa pregunta es hacer simulaciones a partir de la posterior y compararlas con los datos.

nreps <- 10000
vals <- 0:20  # posibles valores de ruido
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1)  # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p)  # muestra aleatoria de la posterior

for (i in 1:nreps) 
{
    tmp <- rbinom(nobs, cables, p_sim[i])
    res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}

plot(table(ruido)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), ylab = "frecuencia", 
    type = "p", pch = 19)
library(coda)
ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:19, ci[, 2])
lines(0:19, ci[, 1])

## Redacción personal

Con este tipo de análisis, es posible predecir el comportamiento de ciertas muestras de datos, de una manera diferente a como se veía anteriormente con las rectas de mínimos cuadrados, que ajustan los valores al modelo generado. Este análisis, indica cierta probabilidad con base en los datos con los que ya se cuentan, por lo cual, mientras más datos se tengan, mejores serán los resultados, de ahí que en la probabilidad Bayesiana, el número de repeticiones y muestras con las que cuenta un experimento es fundamental para tener una mayor certeza de la veracidad de las conclusiones a las que se llegan.