U2A12

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 y publicada póstumamente en 1763, que expresa:

la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.

Bayes

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Fórmula de Bayes

Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:

Bayes

• Visualización del teorema de bayes

Bayes

Análisis Bayesianos

Los análisis Bayesianos son similares a los que vimos en en el sentido que dependen explícitamente de modelos probabilísticos para los datos.

Es decir, tenemos que definir un modelo de datos. La gran diferencia es que con Bayes, podemos obtener distribuciones de probabilidades para todas las cantidades no observadas, incluyendo parámetros, valores perdidos o nuevas observaciones que todavía no hemos hecho. De esta manera, los análisis Bayesianos nos permiten cuantificar incertidumbre y armar modelos realistas que tienen en cuenta por ejemplo observaciones imperfectas.

Como vimos en la teórica, la regla de Bayes planteada en términos de datos y parámetros es:

\[ p(\boldsymbol{\theta} \lvert \boldsymbol{y}) = \frac{p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta}) p(\boldsymbol{\theta)}}{\int p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta)} p(\boldsymbol{\theta)} d \boldsymbol{\theta} } \]

Es decir que la probabilidad posterior de los parámetros θ dado que observamos los datos y es igual al likelihood multiplicado por las previas y dividido por la probabilidad total de los datos. La función de likelihood nos da la probabilidad de observar los datos condicional al valor de los parámetros p(y|θ). La previa de los parámetros p(θ)

refleja los posibles valores de los parámetros de acuerdo con nuestras “creencias” previas, o los resultados de estudios anteriores, o lo que nos parece que tiene sentido para el sistema de estudio (en definitiva, en base a información previa). Finalmente, la probabilidad total de los datos se obtiene integrando la función de lilkelihood sobre los posibles valores de los parámetros que define la previa. Como veremos más adelante, los análisis Bayesianos combinados con métodos numéricos permiten analizar modelos con muchos parámetros, niveles de variabilidad y variables “ocultas”, pero primero vamos a empezar por casos simples donde podemos calcular las posteriores directamente.

Para entender bien cómo es todo el proceso, vamos a simular los datos.

Imaginen que queremos estudiar la remoción de frutos en 30 plantas. En cada una de las plantas marcamos 20 frutos y contamos cuántos son removidos por dispersores luego de un tiempo fijo. Si suponemos que un buen modelo para este tipo de datos es una distribución Binomial con una probabilidad de éxito fija hacemos:

set.seed(1234)
nobs <- 30 #número de obserbaciones (plantas)
frutos <- rep(20,nobs)
p_rem <- 0.2 #Probabilidad de remoción por fruto Previa (a priori)
removidos <- rbinom(nobs, size = frutos, prob=p_rem)
removidos

##  [1] 2 4 4 4 6 5 0 3 5 4 5 4 3 7 3 6 3 3 2 3 3 3 2 1 3 6 4 7 6 1

El modelo de datos (cuántos frutos son removidos) es una Binomial con número de pruebas (la cantidad de frutos disponibles) conocido. Para hacer un análisis Bayesiano de estos datos, tenemos que definir una previa para la probabilidad de éxito (p_rem). Esa previa tiene que tomar valores continuos entre 0 y 1. Una opción sería una distribución uniforme con esos límites, pero si usamos una distribución Beta, es posible obtener un resultado analítico para la posterior. En este caso, la posterior es otra distribución Beta pero con sus parámetros actualizados en base a las observaciones. Se dice entonces que la distribución Beta es la conjugada de la Binomial. Si la previa de la tasa de remoción por fruto es una distribución Beta con parámetros α y β, actualizamos los valores de α y β en base a la cantidad de éxitos y fracasos obervados.

La posterior de la tasa de remoción por fruto es entonces una Beta con α=∑y, β=∑(n−y) donde y representa a los frutos removidos de los n disponibles. Veamos como hacer esto en R.

#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(removidos)
beta_p <- alpha + sum(frutos-removidos)

Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacermos

alpha_p/(alpha_p + beta_p)

## [1] 0.1877076

Eso nos da un estimador puntual de la probabilidad de remoción por fruto p_rem. Para tener una medida de incertidumbre alrededor de este valor, podemos ver los cuantiles de la posterior

qbeta (c(0.025, 0.975), alpha_p, beta_p)

## [1] 0.1575462 0.2198340

También podemos graficar la distribución posterior y compararla con la previa para ver cuánto aprendimos haciendo el análisis.

op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(removidos), beta + sum(frutos - removidos)), lwd = 2, 
    ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.6, 2.5, "previa")
text(0.35, 12, "posterior")

¿Cómo sabemos si estas estimaciones tienen sentido para nuestros datos? En este caso, la pregunta es trivial porque conocemos cómo se generaron los datos, pero cuando trabajamos con datos de verdad, el modelo de datos es un supuesto y tenemos que ver si ese supuesto tiene sentido.

Una opción para contestar esa pregunta es hacer simulaciones a partir de la posterior y compararlas con los datos.

library(coda)

nreps <- 10000
vals <- 0:20  # posibles valores de remoción
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1)  # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p)  # muestra aleatoria de la posterior

for (i in 1:nreps) {
    tmp <- rbinom(nobs, frutos, p_sim[i])
    res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}

plot(table(removidos)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), ylab = "frecuencia", 
    type = "p", pch = 19)

ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:19, ci[, 2])
lines(0:19, ci[, 1])

Ahora, según lo aprendido hasta ahora y lo que puedan investigar.

Haga 2 ejercicios del teorema de bayes aplicado a su área de estuido.

Asignación

En el campo de la ingenieria se utiliza la estadistica ya que para cualquier proyecto o experimento ,se debe calcular las probabilidades que los resultados sean fiables o se presente algun error no obstante a esto las situciones que se presenten ocurren dado que surgieron otras las cuales se deben solucionar .

1. Un ingeniero biomedico dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Ejemplo

2. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

1. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
2. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
3. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Sea D= la pieza es defectuosa y N= la pieza no es defectuosa. La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

Diagrama de árbol

1. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa,P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

2. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes.

Bayes

3. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

Bayes

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Conclusión

Mediante diversos ejercicios pudimos comprender en que consiste el teorema de Bayes y sus aplicaciones, el cual es de suma importancia en la estadística, ya que permitetomar una serie de decisiones en base a múltiples variables y con información desconocida.