Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 y publicada póstumamente en 1763, que expresa:
la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.
Bayes
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Fórmula de Bayes
Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:
Bayes
- Visualización del teorema de bayes
Bayes
Análisis Bayesianos
Los análisis Bayesianos son similares a los que vimos en en el sentido que dependen explícitamente de modelos probabilísticos para los datos.
Es decir, tenemos que definir un modelo de datos. La gran diferencia es que con Bayes, podemos obtener distribuciones de probabilidades para todas las cantidades no observadas, incluyendo parámetros, valores perdidos o nuevas observaciones que todavía no hemos hecho. De esta manera, los análisis Bayesianos nos permiten cuantificar incertidumbre y armar modelos realistas que tienen en cuenta por ejemplo observaciones imperfectas.
Como vimos en la teórica, la regla de Bayes planteada en términos de datos y parámetros es:
\[ p(\boldsymbol{\theta} \lvert \boldsymbol{y}) = \frac{p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta}) p(\boldsymbol{\theta)}}{\int p(\boldsymbol{y} \lvert \boldsymbol{\theta)} p(\boldsymbol{\theta)} d \boldsymbol{\theta} } \]
Es decir que la probabilidad posterior de los parámetros θ dado que observamos los datos y es igual al likelihood multiplicado por las previas y dividido por la probabilidad total de los datos. La función de likelihood nos da la probabilidad de observar los datos condicional al valor de los parámetros p(y|θ). La previa de los parámetros p(θ)
refleja los posibles valores de los parámetros de acuerdo con nuestras “creencias” previas, o los resultados de estudios anteriores, o lo que nos parece que tiene sentido para el sistema de estudio (en definitiva, en base a información previa). Finalmente, la probabilidad total de los datos se obtiene integrando la función de lilkelihood sobre los posibles valores de los parámetros que define la previa. Como veremos más adelante, los análisis Bayesianos combinados con métodos numéricos permiten analizar modelos con muchos parámetros, niveles de variabilidad y variables “ocultas”, pero primero vamos a empezar por casos simples donde podemos calcular las posteriores directamente.
Para entender bien cómo es todo el proceso, vamos a simular los datos.
Imaginen que queremos estudiar la remoción de frutos en 30 plantas. En cada una de las plantas marcamos 20 frutos y contamos cuántos son removidos por dispersores luego de un tiempo fijo. Si suponemos que un buen modelo para este tipo de datos es una distribución Binomial con una probabilidad de éxito fija hacemos:
set.seed(1234)
nobs <- 30 #número de observaciones (plantas)
frutos <- rep(20,nobs)
p_rem <- 0.2 #Probabilidad de remoción por fruto previa (a priori)
removidos <- rbinom(nobs, size = frutos, prob=p_rem)
removidos## [1] 2 4 4 4 6 5 0 3 5 4 5 4 3 7 3 6 3 3 2 3 3 3 2 1 3 6 4 7 6 1El modelo de datos (cuántos frutos son removidos) es una Binomial con número de pruebas (la cantidad de frutos disponibles) conocido. Para hacer un análisis Bayesiano de estos datos, tenemos que definir una previa para la probabilidad de éxito (p_rem). Esa previa tiene que tomar valores continuos entre 0 y 1. Una opción sería una distribución uniforme con esos límites, pero si usamos una distribución Beta, es posible obtener un resultado analítico para la posterior. En este caso, la posterior es otra distribución Beta pero con sus parámetros actualizados en base a las observaciones. Se dice entonces que la distribución Beta es la conjugada de la Binomial. Si la previa de la tasa de remoción por fruto es una distribución Beta con parámetros α y β, actualizamos los valores de α y β en base a la cantidad de éxitos y fracasos obervados.
La posterior de la tasa de remoción por fruto es entonces una Beta con α=∑y, β=∑(n−y) donde y representa a los frutos removidos de los n disponibles. Veamos como hacer esto en R.
#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(removidos)
beta_p <- alpha + sum(frutos-removidos)Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacemos
## [1] 0.1877076Eso nos da un estimador puntual de la probabilidad de remoción por fruto p_rem. Para tener una medida de incertidumbre alrededor de este valor, podemos ver los cuantiles de la posterior
## [1] 0.1575462 0.2198340También podemos graficar la distribución posterior y compararla con la previa para ver cuánto aprendimos haciendo el análisis.
op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(removidos), beta + sum(frutos - removidos)), lwd = 2,
ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.6, 2.5, "previa")
text(0.35, 12, "posterior")
¿Cómo sabemos si estas estimaciones tienen sentido para nuestros datos? En este caso, la pregunta es trivial porque conocemos cómo se generaron los datos, pero cuando trabajamos con datos de verdad, el modelo de datos es un supuesto y tenemos que ver si ese supuesto tiene sentido.
Una opción para contestar esa pregunta es hacer simulaciones a partir de la posterior y compararlas con los datos.
nreps <- 10000
vals <- 0:20 # posibles valores de remoción
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1) # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p) # muestra aleatoria de la posterior
for (i in 1:nreps) {
tmp <- rbinom(nobs, frutos, p_sim[i])
res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}
plot(table(removidos)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), ylab = "frecuencia",
type = "p", pch = 19)
library(coda)
ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:19, ci[, 2])
lines(0:19, ci[, 1])
Asignación
Ahora, según lo aprendido hasta ahora y lo que puedan investigar.
Haga 2 ejercicios del teorema de bayes aplicado a su área de estudio. Ingeniería mecatrónica.
- En una determinada fábrica de automóviles, se está produciendo un nuevo modelo de motor eléctrico. Mediante un análisis se ha llegado a la conclusión de que 1 de cada 100 motores manufacturados tienen algún defecto. Si en la fábrica existen 2 líneas de producción iguales, 50 unidades por día, ¿cuál es la probabilidad real de que en un día se produzca un motor defectuoso en la línea A?.
Motor Eléctrico
set.seed(1234)
nobs <- 100 #número de observaciones (motores)
r <- rep(50,nobs) #De 50 motores que analicemos
p_rem <- 0.01 #es la probabilidad de que salga un motor defectuoso
defectuosas <- rbinom(nobs, size = r, prob=p_rem)
defectuosas## [1] 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0
## [38] 0 3 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
## [75] 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(defectuosas)
beta_p <- alpha + sum(r - defectuosas)
#PROBABILIDAD REAL OBTENIDA EN UN EXPERIMENTO ALEATORIO
#Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacemos
alpha_p/(alpha_p + beta_p)## [1] 0.007596961## [1] 0.005382586 0.010183600#GRÁFICAS
op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(defectuosas), beta + sum(r - defectuosas)), lwd = 2,
ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.1, 2.5, "previa")
text(0.1, 15, "posterior")
nreps <- 10000
vals <- 0:50
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1) # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p) # muestra aleatoria de la posterior
for (i in 1:nreps) {
tmp <- rbinom(nobs, r, p_sim[i])
res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}
plot(table(defectuosas)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), xlab="defectuoso", ylab = "frecuencia",
type = "p", pch = 19)
library(coda)
ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:49, ci[, 2])
lines(0:49, ci[, 1])
- Una pequeña línea de producción de manufactura necesita mantenimiento periódico cada aproximadamente 1000 días, se sabe que durante ese periodo de tiempo existe una probabilidad del 3% de presentar algún fallo. ¿Cuál es la probabilidad real de fallo si se analizan 100 días?
Línea de producción de laminados
set.seed(1234)
nobs <- 1000 #días, periodo de mantenimiento
d <- rep(100,nobs) #periodo de tiempo analizado
p_rem <- 0.03 #es la probabilidad de presentarse algún error
defecto <- rbinom(nobs, size = d, prob=p_rem)
defecto## [1] 1 3 3 3 5 3 0 2 4 3 4 3 2 6 2 5 2 2 1 2 2 2 1 0
## [25] 2 4 3 5 5 0 3 2 2 3 1 4 2 2 8 4 3 3 2 3 2 3 4 3
## [49] 2 4 1 2 4 3 1 3 3 4 1 5 5 0 2 0 2 4 2 3 1 3 1 5
## [73] 0 4 1 3 2 1 2 4 6 3 1 3 2 5 2 2 1 5 1 5 1 1 1 3
## [97] 2 0 2 4 0 3 2 2 1 2 1 1 3 0 4 1 6 1 2 5 6 2 1 4
## [121] 4 5 8 6 3 2 2 3 3 2 6 3 1 3 5 3 5 3 3 5 3 7 2 3
## [145] 2 3 4 3 7 3 3 2 1 5 2 7 3 9 2 3 3 3 3 2 1 3 3 1
## [169] 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 1 2 3 2 3 1 6 0 5 3 2 4 3 8
## [193] 1 5 4 5 5 4 7 3 4 3 2 4 3 4 2 2 2 7 3 2 1 4 3 6
## [217] 3 4 3 5 3 0 2 2 1 3 4 2 3 3 4 3 1 4 3 2 4 2 3 8
## [241] 3 2 2 4 7 3 4 3 6 4 3 3 2 2 1 3 2 0 3 3 5 0 3 2
## [265] 1 1 4 0 1 4 2 4 2 4 0 3 5 3 2 2 2 3 5 4 4 2 3 2
## [289] 4 5 4 2 6 2 3 4 4 1 3 2 2 7 3 3 6 3 1 8 3 4 5 4
## [313] 2 2 1 2 1 2 2 5 2 5 2 1 2 2 3 1 4 6 4 5 6 2 3 2
## [337] 2 0 6 2 6 2 3 7 2 2 0 4 6 0 2 4 1 4 9 6 3 4 3 4
## [361] 0 3 3 2 5 7 4 2 5 4 7 2 5 3 2 2 4 1 3 4 2 2 0 1
## [385] 2 1 4 1 7 6 4 4 4 4 1 6 3 3 0 2 4 2 4 4 3 1 4 1
## [409] 3 2 4 4 6 2 5 2 3 4 1 2 4 5 2 1 6 2 1 3 2 2 4 4
## [433] 3 6 2 4 2 6 4 3 4 5 4 3 7 3 5 3 3 0 2 4 9 6 4 4
## [457] 2 3 3 1 2 5 2 3 1 1 3 2 3 3 1 2 0 6 2 7 3 3 4 1
## [481] 3 3 4 2 1 1 4 4 4 1 3 4 5 2 4 2 3 1 3 3 4 4 5 1
## [505] 4 5 4 5 1 4 2 6 6 3 1 4 3 1 4 2 5 2 2 6 3 4 0 0
## [529] 3 2 2 3 2 4 1 8 4 4 4 3 2 3 6 2 4 3 5 5 7 5 2 2
## [553] 4 1 5 7 3 0 3 5 1 8 4 5 2 5 4 3 2 1 3 4 2 4 2 2
## [577] 1 3 3 4 5 0 3 2 0 2 2 7 6 3 6 5 1 3 2 4 3 4 3 1
## [601] 2 1 1 3 3 2 5 2 3 2 2 4 2 1 6 2 2 4 4 3 6 1 4 5
## [625] 2 6 3 6 2 3 5 3 3 3 6 5 2 5 2 2 3 1 3 6 2 2 1 5
## [649] 3 4 2 4 5 3 1 3 5 0 2 6 3 6 4 1 2 3 4 2 3 4 1 6
## [673] 2 2 6 5 2 5 2 6 3 1 3 2 5 2 5 0 3 3 5 3 2 3 0 1
## [697] 2 3 2 4 0 3 4 3 2 1 2 3 1 3 4 7 7 1 1 1 3 2 7 1
## [721] 5 1 7 0 3 7 3 2 2 7 6 0 1 3 3 4 3 4 7 6 2 1 1 1
## [745] 3 0 3 4 2 4 3 4 2 5 2 5 4 5 2 3 0 4 0 3 2 3 6 3
## [769] 4 2 5 5 5 1 3 3 1 2 3 2 6 1 0 2 2 4 5 0 4 1 4 1
## [793] 4 3 4 2 3 5 1 5 1 5 3 2 2 3 1 3 4 3 3 2 6 4 1 2
## [817] 2 4 3 3 1 2 2 2 2 4 0 2 2 3 2 4 5 6 2 4 4 2 3 3
## [841] 1 3 3 1 3 5 3 6 4 4 3 7 6 1 3 3 1 0 4 6 1 2 0 2
## [865] 2 5 2 7 2 3 6 5 6 2 4 1 1 1 3 3 4 2 3 3 3 6 1 0
## [889] 1 0 6 4 3 2 2 2 3 3 7 5 3 2 6 3 5 0 2 2 4 2 2 3
## [913] 1 2 1 1 3 7 6 4 3 3 2 2 3 2 4 3 1 1 1 8 0 3 1 3
## [937] 1 3 2 3 6 3 4 4 3 3 2 1 3 2 4 6 2 5 5 0 5 3 1 4
## [961] 2 3 5 4 0 1 4 2 3 2 10 4 0 4 2 4 4 2 6 3 4 6 1 4
## [985] 7 2 0 7 1 1 3 3 7 1 4 0 4 2 6 2#previas
alpha <- 1
beta <- 1
alpha_p <- alpha + sum(defecto)
beta_p <- alpha + sum(d - defecto)
#PROBABILIDAD REAL OBTENIDA EN UN EXPERIMENTO ALEATORIO
#Para obtener el valor esperado de una distribución Beta hacemos
alpha_p/(alpha_p + beta_p)## [1] 0.03060939## [1] 0.02955069 0.03168587#GRÁFICAS
op <- par(cex.lab = 1.5, font.lab = 2, cex.axis = 1.3, las = 1, bty = "n")
curve(dbeta(x, alpha + sum(defecto), beta + sum(d - defecto)), lwd = 2,
ylab = "Densidad de probabilidad", xlab = "Probabilidad de remoción")
curve(dbeta(x, 1, 1), lwd = 2, col = "gray", add = TRUE)
text(0.1, 30, "previa")
text(0.1, 390, "posterior")
nreps <- 10000
vals <- 0:100
res <- matrix(NA, nreps, length(vals) - 1) # matriz para resultados
p_sim <- rbeta(nreps, alpha_p, beta_p) # muestra aleatoria de la posterior
for (i in 1:nreps) {
tmp <- rbinom(nobs, r, p_sim[i])
res[i, ] <- hist(tmp, right = FALSE, breaks = vals, plot = FALSE)$density
}
plot(table(defecto)/nobs, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 0.6), ylab = "frecuencia",
type = "p", pch = 19)
library(coda)
ci <- HPDinterval(as.mcmc(res))
lines(0:99, ci[, 2])
lines(0:99, ci[, 1])
Conclusión
El teorema de Bayes es útil en el cálculo de probabilidades condicionadas o compuestas, y se apoya generalmente en un diagrama de árbol. En este ejercicio en R calculamos la probabilidad real de un evento en A, a través del análisis de variables de un experimento aleatorio AB, enfocado en el área de ingeniería mecatrónica
Anexo
Problema de probabilidad compuesta resuelto con Teorema de Bayes y Diagrama de árbol
Fórmula del Teorema de Bayes
Problema
Diagrama de árbol
Solución
Resultado: a) La probabilidad de que el celular haya sido fabricado por la máquina A sabiendo que es defectuoso es de: P(A|D) = 42.8%