Distribución normal
Distribución Normal Estandarizada
Una curva de densidad normal (o de Gauss) describe la densidad de probabilidades en la distribución de valores de observaciones (muestra) de una variable aleatoria, cuando el número de observaciones es bastante grande. Se aplica a muchas de las variables usualmente medidas en biología, aunque hay otras curvas de distribución de densidad, con formas parecidas a la normal (tipo campana), por ejemplo la t de Student.
Su forma general para una población, con la fórmula correspondiente, es la siguiente:
Distribución normal
La densidad de probabilidad para un valor x, en una población inmensamente grande (X), es 0, pues la probabilidad de un valor único, entre un número infinito de valores posibles de la variable, tiende a 0.
Debemos pensar en la densidad de probabilidad como la frecuencia de ocurrencia de un valor en un intervalo de valores de la variable continua $X, [x y x+dx] $
Si el valor de dx es infinitamente pequeño, entonces la función \(f_X(x)\) es la probabilidad de X en ese intervalo.
La curva de distribución de valores con μ=0 y σ=1 se conoce como la curva normal estandarizada, y su función de densidad de probabilidades es:
\[ Y_i = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.e^\frac{-X_i{^2}}{2}\qquad(1) \]
Tamaño de muestra y distribución normal
La curva normal estandarizada describe exactamente la densidad de probabilidades para un infinito número de valores de la variable; sin embargo usualmente nuestra muestra (o la población completa) contiene un número finito de valores, y esto produce desviaciones de los valores esperados según la curva normal estandarizada.
Vamos a visualizar cómo compara la curva normal, con histogramas de la frecuencia de valores de una variable aleatoria, con 30, 300, 3000, 30000, y 300000 valores.
#valores al azar de la distribución normal
randNorm <- rnorm(3000)
#calculo de su densidad
randDensity <- dnorm(randNorm)
#gráfica
library(ggplot2)
ggplot(data.frame(x = randNorm, y = randDensity)) +
aes(x = x, y = y) +
geom_point() +
labs(x = "Random Normal Variable", y = "Densidad")
ggplot(data.frame(x = randNorm), aes(x = x)) +
geom_histogram(binwidth = 0.1) +
labs(x = "Random Normal Variable", y = "Frecuencia")
Probabilidad a partir de una distrubución normal
Utilizando los valores acumulados de la curva normal (integral) podemos calcular la proporción (o probabilidad) de observaciones que se encuentran antes o después de la medida de una observación.
Usando tabla de Z para distribución normal
Pero antes debemos estandarizar la escala de las mediciones a la curva normal estándar (μ=0 y σ=1); para esto usamos el valor Z: (Ecuación 2)
\[ Z = \frac{X_i - \mu}{\sigma}\qquad(2) \]
Tabla de probabilidades: https://drive.google.com/file/d/15JejXWAuKlln8Or5oSdYE6QqWC6m4jNo/view
Función pnorm para predecir probabilidades en R
La función pnorm nos permite calcular la proporción (probabilidad) de valores de una muestra que se encuentran antes o después de un valor Xi, siempre que conozcamos la media y desviación estándar de la muestra (¡asumiendo que los valores se distribuyen normalmente!). La función tiene la siguiente sintáxis:
pnorm(xi, mean = Xbarra, sd = s, lower.tail = TRUE o FALSE) xi: valor (cuantil) que divide los datos Xbarra: media de la muestra s: desviación estándar de la muestra lower.tail TRUE o FALSE: si queremos proporción antes o después del valor xi
#Calcular la proporción (o probabilidad) de valores menores de 6.6 mm en una distribución normal de tamaños de semillas, con media = 6.0 mm y desviación estándar = 1.1 mm:
pnorm(6.6, mean=6, sd=1.1, lower.tail = TRUE)## [1] 0.7072795## [1] 0.7072795#también podemos calcular la proporción de valores entre dos valores (o fuera de esos dos valores)
props <- pnorm( c(5.4,6.6), mean=6.0, sd=1.1, lower.tail = TRUE )
props## [1] 0.2927205 0.7072795## [1] 0.4145591Asignación:
- ¿Cuáles son las principales aplicaciones (en su carrera) de la distribución normal?
La distribución normal en la ingeniería en electromecánica se aplica en caso de estudios donde los datos siguen el modelo de la norma. Al realizar cualquier producto electrónico, mecánico o la combinación de ambos, puede pasar que aparezacan errores de medidas de magnitudes o que al momento de la producción haya más-menos datos, representando las piezas de los productos, entre otras cosas, es ahí donde entra la herramienta de este ánalisis.
- Realice un caso de estudio aplicado (con datos) en el cual se requiera del cálculo de probabilidad con distribución normal.
## Parsed with column specification:
## cols(
## PH = col_double(),
## TEMP = col_double()
## )- Estos datos son: Datos de pH y Temperatura de pozos de agua subterránea, tomados de la primera evalución de la materia.
Media y Moda
## [1] 6.890444## [1] 7Los valores son casi iguales, esto afirma que es un comportamiento de distribución normal.
Desviación estándar y varianza
## [1] 0.04908645## [1] 0.2215546Los datos se encuentran poco dispersos.
- Calcule la probabilidad de que un pozo tenga mayor ph que 6.5, con una media de 6.890444 y desviacion estándar de = 0.2215546.
## [1] 0.9609901- Calcule la probabilidad de que un pozo tenga menor ph de 6.5, con una media de 6.890444 y desviacion estándar de = 0.2215546.
## [1] 0.03900995Conclusion
La distribución de estos datos es casi normal, puesto que la mediana y la moda varian en lo mínimo, siendo el comportamiento de campana (como casi nunca ocurre), se puede determinar exactamente qué porcentaje de los valores está dentro de cualquier rango específico. Sin embargo, se puede decir que también si el valor se encuentra cercano a la media tendrá una alta probabilidad porque solo varía pequeños decimales con respecto a la moda y si la desviación estándar tan baja, como es el caso.