Tarea 5

\[P(x)=\frac{e^{-λ}.λ^x}{x!}\] \[E(X)=\displaystyle\sum_{x=0}^{∞} x . P(x) \] \[E(X)=\displaystyle \sum_{x=0}^{∞} x \frac{e^{-λ}.λ^x}{x!}\] Como \(\frac {x}{x!}=\frac {1}{(x-1)!}\)

\[E(X)=\displaystyle \sum_{x=0}^{∞} \frac{e^{-λ}.λ^x}{(x-1)!}\]

\[E(X)=\displaystyle λ \sum_{x=0}^{∞} \frac{e^{-λ}.λ^x}{(x-1)!}\] Cambiando la variable \({(x-1)}=y\)

\[E(X)=\displaystyle λ \sum_{y=0}^{∞} \frac{e^{-λ}.λ^y}{y!}\] \(\frac{e^{-λ}.λ^y}{y!}\) corresponde a una funcion de Poisson para P(y). De este modo:

\[E(X)=\displaystyle λ \sum_{y=0}^{∞} P(y)\] Dado que la suma de todas estas probabilidades converge a 1, tenemos que: \[E(X)= λ\]

Para hacer el ejemplo, utiliaremos unos datos basados en el numero de pasajeros diarios de una aerolinea comercial.

x=c(450,243,190,160,393,401,425,401,434,400,580,393,201,525,501)

Para hallar lambda.

calc_verosimil=function(l){
verosimiltud=prod(dpois(x,lambda = l))
return(verosimiltud)
}

lambdas=seq(0,450,0.1)
probas=sapply(lambdas, calc_verosimil)

plot(lambdas,probas,type="l")

resultados_c=data.frame(lambdas,probas)
head(resultados_c)
##   lambdas probas
## 1     0.0      0
## 2     0.1      0
## 3     0.2      0
## 4     0.3      0
## 5     0.4      0
## 6     0.5      0
which.max(resultados_c$probas)
## [1] 3799

El lambda que máxima la probabilidad es 379.1

mean(x)
## [1] 379.8