Realizar cálculo de probabilidades implementanto Teorema de Bayes
#Descripción Caso: personas que trabajan en sectores y sean mujeres y hombres
Las personas de cualquier género trabajan en algún sector, en función del género determinado de manera inicial se trata de encontrar la probabilidad del sector en donde laboran.
Al elegir aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.
library(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.3Se trata de encontrar las probabilidades condicionales usando el Teorema de Bayes para personas que trabajan en algún sector (‘Servicios’, ‘Salud’ u ‘Otros’) y sean o que estén en función de algún género (‘Hombre’ o ‘Mujer’).
Evento sectores Existen tres sectores en donde trabajan las personas Hay una probabilidad de que en el sector servicios trabaje 40%(0.40) de las personas Hay una probabilidad de que en el sector salud trabaje 35%(0.35) de las personas Hay una probabilidad de que en el sector otros trabaje 25%(0.25) de las personas La suma debe dar 100% o 1 Las variables en R Prob.Servi =0.40 Prob.Salud =0.35 Prob.Otros =0.25
Prob.Servi <- 0.40
Prob.Salud <- 0.35
Prob.Otros <- 0.25
cat("Las probabilidades por cada servicio")## Las probabilidades por cada servicioProb.Servi; Prob.Salud; Prob.Otros ## [1] 0.4## [1] 0.35## [1] 0.25Se dan las probabilidades de que sea de algún género en función del servicio.
En el sector Servicios la probabilidad de que sea Mujer es del 0.30 En el sector Servicios la probabilidad de que sea Hombre es del 0.70 PServ.Mujer PServ.Hombre
PServ.Mujer <- 0.30
PServ.Hombre <- 0.70Sector Salud En el sector Salud la probabilidad de que sea Mujer es del 0.60 En el sector Salud la probabilidad de que sea Hombre es del 0.40 PSalud.Mujer =0.60 PSalud.Hombre =0.40
PSalud.Mujer <- 0.60
PSalud.Hombre <- 0.40
PSalud.Mujer; PSalud.Hombre## [1] 0.6## [1] 0.4Sector Otros En el sector Otros la probabilidad de que sea Mujer es del 0.45 En el sector Otros la probabilidad de que sea Hombre es del 0.55 POtros.Mujer = 0.45 POtros.Hombre = 0.55
POtros.Mujer <- 0.45
POtros.Hombre <- 0.55
POtros.Mujer; POtros.Hombre## [1] 0.45## [1] 0.55Arbol de Probabilidades
#include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres.jpg")Se muestran las probabilidades condicionales del género en función del sector
#include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres con calculo de probabilidades condicionales - 1.jpg")Con línea verde se indica el primer cálculo multiplcando las probabilidades conforme y de acuerdo a la fórmula de la Ley Multipicación para el cálculo de probabilidad condicional para eventos independientes.
#include_graphics("../imagenes/ley de multiplicacion para eventos independientes.jpg")Ley de Multiplicación La Ley de la Multiplicación es útil para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos.
La ley de la multiplicación se basa en la definición de probabilidad condicional.
Se multiplican las probabilidades, y en este caso tendiendo las probabilidades identificadas en el árbol se determinan fácilmente.
ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre
ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer
ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre
ProbServ.I.Mujer ; ProbServ.I.Hombre## [1] 0.12## [1] 0.28ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre
ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer
ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre
ProbSalud.I.Mujer ; ProbSalud.I.Hombre## [1] 0.21## [1] 0.14ProbOtros.I.Mujer=Prob.Otros∗POtros.Mujer ProbOtros.I.Hombre=Prob.Otros∗POtros.Hombre
ProbOtros.I.Mujer <- Prob.Otros * POtros.Mujer
ProbOtros.I.Hombre <- Prob.Otros * POtros.Hombre
ProbOtros.I.Mujer ; ProbOtros.I.Hombre## [1] 0.1125## [1] 0.1375Ya se encontró en el apartado anterior las probabilidades condicionales de que una persona siendo de algun sector sea posteriormente hombre o mujer y eso se determinó conforme a la Ley Multiplicativa para eventos Independientes.
Ahora se elige aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.
Se pide encontrar las probabilidades siguientes:
Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer Notar que en el árbol siguiente el orden de la probabilidad es invertido en relación a la magen del árbol anterior, por lo que es necesario usar la Fórmula de Bayes.
#include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres con pregunta prob.jpg")Con el siguiente árbol se identifica con línea verde la probabilidad a encontrar la respuesta a la pregunta uno: 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre
Con línea roja en el árbol se identifica las distintas probabilidades de que sea de cualquier sector dado que sea Hombre
#include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres con calculo de probabilidades condicionales.jpg")#include_graphics("../imagenes/Formula Bayes limpia.jpg")$$ p(Ai|B)= \[10pt] ∴ \[10pt]
$$ Se muestra la Fórmula de Bayes y se sustituyen valores para dar respuesta a la preguna uno: 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre
Ya se tiene el numerador con la probabilidad condicional de que sea Hombre dado que sea del sector Salud: ProbSalud.I.Hombre. Camino verde en el árbol.
Ahora se suman las probabilidades en donde aparezca Hombre dado cualquier sector y se tiene el denominador. Todas los contornos rojos en el árbol.
La probabilidad de que una persona sea del sector Salud dado que se Hombre es:
TBResult <- ProbSalud.I.Hombre / (ProbServ.I.Hombre + ProbSalud.I.Hombre + ProbOtros.I.Hombre)
TBResult## [1] 0.2511211cat ("1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es: ", TBResult)## 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es: 0.2511211Se concluye que en el experimento de elegir a una persona al azar y que ya se conoce que ‘Hombre’, entonces se determina mediante el Teorema y la Fórmula de Bayes la probababilidad de que una persona sea del sector ‘Salud’ dado que sea apriori ‘Hombre’
La probabilidad es de 0.2511 o sea del 25.11% que significa que si se elige a una persona y es ‘Hombre’ hay una probabilidad del 25.11% de que sea del sector ‘Salud’
Encontrar las respuestas a las preguntas de probabildiad siguientes: Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer *Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer
SMResult <- ProbSalud.I.Mujer / (ProbServ.I.Mujer + ProbSalud.I.Mujer + ProbOtros.I.Mujer)
cat ("Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea mujer es: ", SMResult)## Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea mujer es: 0.4745763Aun que diga en la pregunta “3 Prob(Servicios | Hombre):”
En el sector Servicios la probabilidad de que sea Hombre es del 0.70
En el sector Servicios la probabilidad de que sea Mujer es del 0.30