HTH or HTT?

Εκφώνηση

Σε μια διαδοχή ρίψεων ενός νομίσματος, ποια τριάδα είναι πιθανότερο να εμφανιστεί πρώτη:

• ΚΕΦΑΛΗ - ΓΡΑΜΜΑΤΑ - ΚΕΦΑΛΗ ή
• ΚΕΦΑΛΗ - ΓΡΑΜΜΑΤΑ - ΓΡΑΜΜΑΤΑ ;

Για μια παρουσίαση του προβλήματος και της ερμηνείας του αποτελέσματος, δείτε εδώ: https://mikesmathpage.wordpress.com/2015/03/22/which-sequence-is-more-likely-to-appear-first-hht-or-hth/

Προσομοίωση

Για όποιον νομίζει ότι και οι δυο είναι το ίδιο πιθανές, μια προσομοίωση θα δείξει ότι κατά μέσο όρο μια από αυτές εμφανίζεται μετά από 8 ρίψεις ενώ η άλλη μετά από 10.

suppressPackageStartupMessages(library(stringr))
suppressPackageStartupMessages(library(ggplot2))
suppressPackageStartupMessages(library(scales))


coin_seq <- function(seq){
    res <- ""
    i <- 0
    while (TRUE){
        i <- i+1
        res <- paste0(res,sample(c("H","T"),1))
        if (str_sub(res,str_length(res)-2) == seq){
            return(i)
        }
    }
}

resHTT <- replicate(10000, coin_seq("HTT"))
resHTH <- replicate(10000, coin_seq("HTH"))

Από τα παραπάνω προκύπτει μέση τιμή ίση μέ: 7.939 για την HTT και 10.0702 για την ΗΤΗ.

Σύγκριση κατανομών της θέσης πρώτης εμφάνισης

res <- data.frame(res = c(resHTT,resHTH), seq=rep(c("HTT","HTH"),each=10000))

lab <- paste("mean HTH = ", mean(resHTH), ", mean HTT = ", mean(resHTT))

ggplot() +
    scale_fill_brewer(guide = guide_legend(),name = 'Sequence: ',palette = 'Dark2') +
    geom_density(aes(x = res,y = ..count..,fill = seq),data=res,alpha = 0.85) +
    scale_y_continuous(name = 'Πυκνότητα',labels = comma_format()) +
    scale_x_continuous(name = 'Θέση Εμφάνισης') + 
    ggtitle("Εξομαλυμένες πυκνότητες θέσης πρώτης εμφάνισης, ανά διαδοχή") +
    annotate("text", label = lab, x = 40, y = 1000, size = 3.5, colour = "#E7298A") +
    theme_bw() +
    theme(axis.title.y = element_text(vjust = 1.0),
          axis.title.x = element_text(vjust = -0.7)
    )