Problema 1 [Ver directo el Script]

En muchos países se ha consumido a las ranas como alimento, convirtiéndose, sobre todo las ancas, en un platillo costoso. Debido a su alta demanda, y riesgo de disminución de sus números por exceso de caza, para su comercialización se acostumbra a criarlas en cautiverio. Uno de los puntos claves del proceso es ajustar el ritmo de crecimiento de las ranas, lo cual se cree que se podría lograr a través de la temperatura del medio en el cual están siendo criadas. En ese sentido, se realizó un estudio embriológico para analizar la relación entre la temperatura del agua y un indicador de su ritmo de crecimiento, la concentración de oxígeno en sangre, en la rana común (Rana pipiens). Se eligieron 37 ejemplares al azar y a cada uno se le registró la concentración de oxígeno en sangre después de exponerlo a una dada temperatura del agua. Los resultados obtenidos se encuentran en el archivo BD_ranas.txt.

1.1. - Representar los datos mediante un diagrama de dispersión y analizar la información que brinda. Rotular cada eje con el nombre de la variable correspondiente. ¿Cuál es la variable respuesta y cuál la explicatoria o regresora? ¿Se observa algún patrón? ¿Cuál es el modelo que mejor parece describir los datos?
sión. ??

1.2. - Estudiar la relación funcional entre la concentración de oxígeno en sangre y la temperatura:
Escriban el comando de R y analícenlo (¿Qué significa “lm”? ¿Qué indica el símbolo ~?)

  1. Analizar los resultados de la regresión utilizando el comando summary() en RStudio. ¿Cuál de los estimadores (Coefficients) corresponde a la pendiente y cuál a la ordenada al origen?

  2. Plantear la ecuación de la recta estimada por la regresión que describe la relación funcional entre la concentración de O2 en sangre y la temperatura. ¿Cuál es el significado biológico de la pendiente en este contexto?
    \[y=\alpha+\beta x\] \[y=round(7.3696,3) +1.2155x\] Por cada unidad de x que aumenta la temperatura del agua, aumenta 1.2155 la concentración de oxígeno en sangre de las ranas.

1.3.- Construyan un intervalo de confianza para estimar la pendiente, utilizando el comando confint() en RStudio. ¿Cuál de los dos intervalos que muestra la salida es el que corresponde a la pendiente? el segundo

¿Con qué nivel de confianza lo construyó? ¿Cuál es su significado biológico? ¿Qué significa en términos matemáticos el otro IC? ¿Tiene una interpretación biológica en este caso? ¿Por qué?
1.4.- Analizar los supuestos del modelo para poder validarlo.

Los supuestos se ponen a prueba utilizando los residuos. Así que antes de evaluarlos, comprendamos qué son los residuos:

Extraigan la observación n° 5: ¿A qué temperatura fue sometida la rana a la que se le tomó ese dato? ¿Qué concentración de \(O_2\) que se le registró (\(y_i\))? ¿Cuál es el valor predicho para esa temperatura del agua (\(y_i\)sombrero)?

Exploración gráfica de los supuestos:

  1. Construyan un QQ-plot con los residuos y analicen la distribución de los mismos. ¿Qué conclusión pueden sacar?

  2. Construyan un gráfico de residuos vs predichos. ¿Qué es cada punto en el gráfico? ¿Encuentran algún patrón? ¿Qué sugiere este resultado?

Prueba analítica de los supuestos: Usaremos la prueba de Shapiro-Wilks. Completen:

¿Qué resultado esperan obtener si es válido el modelo de regresión planteado? Corran la prueba en RStudio sobre los residuos utilizando el comando shapiro.test(). ¿Qué se puede concluir? ¿Qué error se puede estar cometiendo? ¿Qué otros supuestos debemos asumir para poder poner a prueba el modelo?

1.5.- Estudiar la significancia de la regresión.

  1. Planteen la/las hipótesis sobre los parámetros del modelo
  2. Realicen la prueba. Tienen 2 opciones de análisis:
    • Prueba t => con el comando summary() de R.
    • Tabla de Anova.=> con el comando anova() de R
  3. En base a la evidencia muestral, ¿Podemos rechazar la hipótesis nula de la regresión?
  4. Escriban la conclusión a la que se llega.

1.6.- Calcular el valor del coeficiente de determinación R2 a partir del anova del modelo. ¿Qué indica en este caso dicho coeficiente? ¿Qué se puede concluir a partir del valor obtenido? Identificar el valor de R2 en el summary del modelo.

1.7.- Pronosticar (95%) la concentración de oxígeno en sangre de un individuo sometido a una temperatura del agua de 5°C. Graficar e interpretar la banda de confianza y la banda de predicción (Seguir los pasos indicados en el archivo Script_TP8_Ranas.R).

Problema 2 [Ver script]

El hierro y el zinc, entre otros nutrientes, son esenciales para el ser humano. La deficiencia de estos nutrientes produce enfermedades nutricionales de alta prevalencia y suelen ser, por ejemplo, la causa más común de anemia en todo el mundo. Si bien se cree que la causa fundamental es el bajo nivel de estos nutrientes en la dieta, no se descarta que también se pueda producir por deficiencias en la absorción de los nutrientes que aporta la dieta. Para analizarlo, en una primera etapa se llevó a cabo un estudio de la capacidad corporal para absorber hierro y zinc, por medio de detectores radioactivos. Participaron en el estudio 10 personas. A cada una se le dio una dosis oral idéntica de hierro y zinc, y después de 12 días se midió la cantidad de cada componente retenida en el sistema corporal. A partir de esta información se determinó el porcentaje absorbido por el cuerpo, obteniéndose los datos contenidos en “BD_nutrientes.txt”. Se desea saber si la absorción de los dos nutrientes se encuentra relacionada.

2.1.- ¿Con qué información se cuenta (n° de observaciones, n° y tipo de variables, etc.)? ¿Qué prueba se puede aplicar? ¿Por qué?

2.2.- Construyan un gráfico que les permita pensar si es posible que las dos variables estén relacionadas, y de estarlo, de qué tipo sería la relación (lineal, no lineal, directa, inversa, …).

2.3.- Evalúen la normalidad de cada variable y concluyan si pueden seguir suponiéndola. ¿Les parece necesario plantear alguna hipótesis?

Problema 3 [resuelto en campus]

Las emisiones de gases y partículas tóxicas de los automotores son la principal causa de polución del aire, causando efectos adversos sobre la salud y el medio ambiente. Se sospecha que la emisión de monóxido de carbono de los caños de escape de los automóviles se incrementa con el kilometraje. A fin de verificar dicha hipótesis se registraron las emisiones de monóxido de carbono* (en gramos) de 9 autos de la misma marca y modelo, pero de distinto kilometraje (BD_emisiones.txt).
3.1.- Indique cuál es la variable independiente y la dependiente. Represente los datos mediante un diagrama de dispersión.

datos <- read.table("BD_emisiones.txt", header = T)
plot(Emision~Kilometraje, datos)

3.2.- Ponga a prueba la hipótesis planteada en el enunciado (asuma un riesgo del 5%). Halle la ecuación de la recta e interprete la ordenada al origen y la pendiente en términos del problema.

modelo <- lm(Emision~Kilometraje, datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = Emision ~ Kilometraje, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.65396 -1.19462  0.03743  1.36135  1.72882 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 4.773e+01  7.462e-01   63.96  6.0e-11 ***
## Kilometraje 4.923e-03  1.935e-04   25.45  3.7e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.399 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9893, Adjusted R-squared:  0.9878 
## F-statistic: 647.4 on 1 and 7 DF,  p-value: 3.699e-08
3.7e-08 < 0.05
## [1] TRUE

3.3.- ¿Cuál será con una confianza del 95% la emisión esperada de un auto con 5000 km? ¿Y cuál la de un auto con 12000 km?

new.dat <- data.frame(Kilometraje=5000)
predict(modelo, newdata = new.dat, interval = 'predict')
##        fit      lwr      upr
## 1 72.34774 68.74471 75.95076
new.dat <- data.frame(Kilometraje=4100)
predict(modelo, newdata = new.dat, interval = 'confidence')
##        fit      lwr      upr
## 1 67.91664 66.70685 69.12643

Problema 4 [corregido]

Un técnico desea poner a punto un enzimoinmunoensayo a fin de determinar la concentración de cierta toxina en alimentos. Para ello, diseña una curva de calibración con cantidades conocidas de toxina. Luego de la reacción específica, obtiene los siguientes valores de absorbancia (Datos en BD_endotoxina.txt):

datos <- read.table("BD_endotoxina.txt",header = T)

4.1.- Representar gráficamente los datos.

plot(datos)

4.2.- Hallar la relación funcional entre la concentración de toxina y la absorbancia. Plantear la/s hipótesis correspondiente/s y estudiar la significación de dicha relación. Concluir en términos estadísticos y biológicos.

modelo <- lm(Absorbancia~Endotoxina, data=datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = Absorbancia ~ Endotoxina, data = datos)
## 
## Residuals:
##     1     2     3     4     5 
## -29.8 -46.3 106.2  45.7 -75.8 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  74.8000    66.5497   1.124  0.34285   
## Endotoxina    1.0060     0.1087   9.257  0.00267 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 85.92 on 3 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9662, Adjusted R-squared:  0.9549 
## F-statistic: 85.69 on 1 and 3 DF,  p-value: 0.002668
p.valor <- 0.00267 
p.valor<0.05 # rechazo H_o
## [1] TRUE

Ecuación de la recta: \(\hat{y}_i=-74.8000+1.0060 \cdot x_i\)
Verificación de los supuestos:

residuo <- modelo$residuals
predicho <- modelo$fitted.values
plot(predicho, residuo)

test <- shapiro.test(residuo)
test$p.value<0.05 # no rechazo H_o 
## [1] FALSE

4.4.- Analizar el ajuste del modelo.

r2 <- 0.9662
plot(datos)
abline(modelo,lwd=2, col="red")

4.5.- Con un 95% de confianza, estimar la absorbancia promedio si la concentración de toxina es de 800 ng/ml.
duda en respuesta dice que hay que usar confidence, pero por qué puedo usar esto si 800 no es un valor que consideré.

new.dat <- data.frame(Endotoxina=800)
predict(modelo, newdata = new.dat, interval = 'confidence')
##     fit      lwr      upr
## 1 879.6 719.2346 1039.965

CI: 719.2346 y 1039.965

Problema 5 [corregido]

Algunos analistas aseguran que en unas pocas generaciones las mujeres podrán superar a los hombres en rapidez en competencias mundiales. En efecto, un análisis de récords mundiales demuestra que para numerosas distancias las mujeres han mejorado su velocidad mucho más rápido que los hombres. Y si esto continúa, las mujeres igualarán a los hombres en los próximos años. Sin embargo, otros investigadores dudan de estas proyecciones ya que aseguran que en el futuro la velocidad de las mujeres mejorará más lentamente. A continuación, se dan los tiempos (en seg.) de los ganadores de los 200 m llanos en carreras olímpicas (Datos en BD_rapidez.txt):

5.1.- Observar la base de datos e identifique y clasifique cada una de las variables. ¿Cuál/es es/son fija/s y cuál/es aleatoria/s?

datos <- read.table("BD_rapidez.txt",header = T)
mujeres <- subset(datos, Sexo=="Mujeres")
hombres <- subset(datos, Sexo=="Hombres")

5.2.- Representar gráficamente las marcas para los 200 m llanos en función del año, para los datos de los hombres y las mujeres por separado.

plot(Tiempo~Anio,data=mujeres, main="Marca para 200m de mujeres")

plot(Tiempo~Anio,data=hombres, main="Marca para 200m de hombres")

5.3.- Verificar los supuestos de la regresión para hombres y mujeres.

Se verifica supuestos mediante análisis de residuos

modelo_m <- lm(Tiempo~Anio, data=mujeres)
modelo_h <- lm(Tiempo~Anio, data=hombres)
res_m <- modelo_m$residuals
# gráfico
pre_m <- modelo_m$fitted.values
res_h <-modelo_h$residuals
pre_h <- modelo_h$fitted.values
plot(pre_m, res_m, main= "Mujeres") ## no sigue homocedasticidad

plot(pre_h, res_h, main="Hombres")

# normalidad
shapiro.test(res_h)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res_h
## W = 0.97913, p-value = 0.8792
0.8792<0.05 #no rechazo H_o
## [1] FALSE

5.4.- Si los supuestos lo permiten, estimar las rectas de regresión y evaluar su significación.

# solo para hombres
summary(modelo_h)
## 
## Call:
## lm(formula = Tiempo ~ Anio, data = hombres)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.54258 -0.16358 -0.08075  0.19881  0.67837 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 71.181521   3.966514   17.95 1.27e-14 ***
## Anio        -0.025818   0.002029  -12.72 1.28e-11 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3181 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8803, Adjusted R-squared:  0.8749 
## F-statistic: 161.9 on 1 and 22 DF,  p-value: 1.284e-11
1.28e-11 < 0.05 #se rechaza Ho. Hay evidencias para sostener beta != de 0. 
## [1] TRUE

5.5.- Interpretar el significado biológico de la pendiente.

Por cada año, el tiempo que tarda los maratonistas del sexo masculino en recorrer 200m disminuye en un 0.025818 sg.

5.6.- ¿Consideran que el ajuste de los tiempos a la recta estimada es bueno? Justificar.

Sí, es buenno pues el \(r^2=0.8803\) y es cercano a 0.

plot(hombres$Anio, hombres$Tiempo, main="Hombres")
abline(modelo_h, col="blue")

5.7.- Utilizando la recta de regresión, predecir la marca en los 200 m llanos para los Juegos Olímpicos de 2000. Compare con el valor obtenido ese año. ¿Qué nombre recibe esa diferencia?

new.x <- data.frame(Anio=2000)
predict(modelo_h, newdata =new.x, interval = 'prediction')
##        fit      lwr      upr
## 1 19.54642 18.84619 20.24664
hombres[hombres$Anio==2000,]
##    Anio    Sexo Tiempo
## 23 2000 Hombres  20.09

La predicción dio entre 18.84619 y 20.24664 segundos. La diferencia es el error.
corrección \(\hat{y}\) = 19.54642 s. Dice, use la recta. e = -0.5435849 s

5.8.- ¿Le parece razonable, en base a los resultados obtenidos, predecir la marca que se logrará en los Juegos Olímpicos de Tokio 2021? ¿Por qué?
No se puede predecir para 2021, pues ese año no está en mi rango.

Problema 6 [corregido]

En un laboratorio químico se quiere estudiar la influencia de un nutriente sobre el crecimiento de un cultivo microbiano en tubos de ensayo. Para ello, en cada tubo se vierte un volumen constante de cultivo y se le adiciona una de las tres dosis disponibles del nutriente (0,2, 0,4 y 0,6 unidades). Se utilizan seis tubos para cada nivel de dosis. Después de cuatro horas de cultivo se mide la densidad óptica de cada tubo mediante un espectrofotómetro. Los resultados fueron (Datos en BD_cultivo_microbiano.txt):

6.1.- Representar gráficamente los datos.

datos <- read.table("BD_cultivo_microbiano.txt", header=T)
plot(datos)

plot(log(datos$dosis,10), datos$densidad_optica)

6.2.- Estudiar el ajuste del modelo \(y = β_0+ β_1x + ε\). Analizar el valor p de la prueba y su coeficiente de determinación.

modelo_prueba <- lm(densidad_optica~dosis, data=datos)
res_prueba <- modelo_prueba$residuals
shapiro.test(res_prueba)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res_prueba
## W = 0.8864, p-value = 0.0335
0.0335<0.05 # rechazo H_o. Uso una transformación. 
## [1] TRUE
modelo <- lm(densidad_optica~log(dosis,10), data=datos)
res <- modelo$residuals
shapiro.test(res)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res
## W = 0.95013, p-value = 0.4271
0.4271<0.05 #no rechazo H_o
## [1] FALSE
plot(modelo)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = densidad_optica ~ log(dosis, 10), data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.8598 -1.6098 -0.0971  1.4155  3.5276 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     129.468      1.158  111.84   <2e-16 ***
## log(dosis, 10)  167.383      2.403   69.65   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.009 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9967, Adjusted R-squared:  0.9965 
## F-statistic:  4851 on 1 and 16 DF,  p-value: < 2.2e-16

Como p valor es menor que el nivel de signficación, la pendiente es significativa. Luego estimo la recta de regresión como: \(\hat{y} = 129.468+ 167.383~x\)
Con un \(R^2\) de 0.9967, considerado bastante bueno.

plot(log(datos$dosis, 10), datos$densidad_optica)
abline(modelo)

Problema 7 [Clase]

La riboflavina (vitamina B2) es un nutriente esencial que mantiene las funciones del metabolismo energético en condiciones normales. En regiones donde la desnutrición es alta, se ha observado deficiencia de riboflavina, contribuyendo a la alteración del crecimiento y desarrollo humano. Los estudios sobre los efectos de la deficiencia de riboflavina se llevan a cabo en modelos animales en diferentes etapas del desarrollo. Un grupo de investigación del Departamento de Salud Pública de la Facultad de Medicina de la UBA quiere estudiar las curvas de respuesta a los logaritmos de las dosis: 2,5, 5, 10 y 20 μg/día de vitamina B2 en ratas albinas destetadas. Para ello, a cada una de las ratas se le inyecta diariamente la dosis correspondiente y se le determina la tasa de crecimiento (en mg/semana) durante las cuatro semanas que dura la experiencia. Los resultados obtenidos son (Datos en BD_vitamina_hembras.txt y BD_vitamina_machos.txt):

BD_hembras <- read.table("BD_vitamina_hembras.txt",header = T)
BD_machos <- read.table("BD_vitamina_machos.txt",header = T)

7.1.- Graficar los datos para cada sexo. Hembras

plot(tasa_crecimiento~log(dosis, 10), xlab="dosis de B2 en ln [μg/día]", ylab="tasa de  crecimiento [mg/semana]",main="Hembras",data=BD_hembras)

#abline(modelo_hembra)
plot(log(BD_machos$dosis, 10), BD_machos$crecimiento, xlab="dosis de B2 en ln [μg/día]", ylab="tasa de  crecimiento [mg/semana]",main="Machos")

7.2.- Evaluar el ajuste del modelo para cada sexo.
Hembras

modelo_hembra <- lm(tasa_crecimiento~log(dosis, base=10), data=BD_hembras)
plot(modelo_hembra)

res_h <- modelo_hembra$residuals
shapiro.test(res_h)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res_h
## W = 0.92077, p-value = 0.1334
0.1334<0.05 #no rechazo H_o
## [1] FALSE

Machos

modelo_macho <- lm(crecimiento~log(dosis, base=10), data=BD_machos)
# ver clase

Problema 8

El hongo micorrizogénico Glomus fasciculatum ha mostrado en algunos cultivos, especialmente frutales anuales, tener un efecto positivo sobre el rendimiento y calidad de la fruta. Esto se debe porque en la simbiosis con el hongo la micorriza absorbe, acumula y transfiere los nutrientes y el agua a la planta más rápidamente, además de ofrecer protección contra patógenos del suelo. Se desea llevar a cabo un ensayo con el objetivo de evaluar el efecto de distintas dosis del hongo micorrizogénico G. fasciculatum sobre el rendimiento de sandía. Para ello, en la finca La Arboleda, San Juan, se sembraron 2 parcelas con cada una de las siguientes dosis: 0, 30, 50, 70 y 90 gramos de G. fasciculatum inoculados por kg de semilla de sandía previo a la siembra. Al momento de la cosecha se registró la cantidad de toneladas/ha de sandía cosechada. Datos en BD_hongo.txt

datos <- read.table("BD_hongo.txt", header = T)
modelo <- lm(datos$rendimiento~datos$dosis, datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = datos$rendimiento ~ datos$dosis, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9717 -1.0964  0.1336  1.0059  1.6176 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 22.53443    0.79172  28.463 2.51e-09 ***
## datos$dosis  0.09053    0.01382   6.549 0.000179 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.366 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8428, Adjusted R-squared:  0.8231 
## F-statistic: 42.89 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.0001787
plot(modelo)

shapiro.test(modelo$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.91118, p-value = 0.2892
0.6353<0.05 # rechazo H_o
## [1] FALSE

8.1. El modelo (en contexto) es: \(\hat{y}= 22.53443+0.09053 \cdot x_i\).

La estimación de la ordenada al origen es: 22.53443 Kg de semilla y se interpreta (en contexto) como rendimiento cuando la dosis aplicada es 0.
La estimación de la pendiente es: 0.09053 y se interpreta (en contexto) como aumento del rendimiento por unidad de dosis

8.2. Puedo suponer homocedasticidad y normalidad por método gráfico y analítico respectivamente.

8.3. El R2 vale 0.8428 y se interpreta (en contexto) como la intensidad del ajuste, cuán bien se aproxima mi modelo a los datos observados (?).

8.4. Se pusieron a prueba las siguientes hipótesis (en parámetros y en contexto; asuma un riesgo del 5%):
Ho: beta=0 H1: beta!=0 Y se concluye que beta!= 0 pues el (p-valor ) 0.000179 es menor al nivel de significación.

8.5. Discuta los resultados de la prueba en relación a los objetivos. ¿Cómo se los explicaría a un productor de sandía de la zona? Indique qué tipo de error podría estar cometiendo.
Dado que se rechaza H_o, se comete error tipo I (digo que hay relación cuando en realidad no hay.)

Problema 9

Con el fin de estudiar cuál es la relaciónexistente entre el peso de las branquias del cangrejo ermitaño Pagurus comptus que habita los fondos rocosos de Monte León y el peso de su cuerpo, se extrajo una muestra aleatoria de 12 animales. Para cada ejemplar se obtuvo el peso de las branquias (X) y el peso total del cuerpo (Y) con los siguientes resultados (Datos en BD_cangrejos.txt):

9.1. Informar la hipótesis planteada y concluir acerca de cómo se relacionan ambas variables (α= 0.01).

Notar que las dos variables son aleatorias, luego se usa una prueba de rho para correlación.

datos <- read.table("BD_cangrejos.txt",header = T)
plot(datos)

library("car")
## Loading required package: carData
par(mfrow=c(1,2))
qqPlot(datos$Peso_branquias, main = "Branquias")
## [1] 8 9
qqPlot(datos$Peso_cuerpo,main = "cuerpo")

## [1] 8 6
# H_o : rho = 0
cor.test(datos$Peso_branquias, datos$Peso_cuerpo, conf.level = 0.99)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  datos$Peso_branquias and datos$Peso_cuerpo
## t = 5.4561, df = 10, p-value = 0.0002785
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
##  0.4259996 0.9743750
## sample estimates:
##       cor 
## 0.8651857
0.0002785<0.01 # Rechazo H_o. Están correlacionadas las dos var. 
## [1] TRUE

9.2. Confeccionar un intervalo de confianza para el coeficiente de correlación.

cor.test(datos$Peso_branquias, datos$Peso_cuerpo)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  datos$Peso_branquias and datos$Peso_cuerpo
## t = 5.4561, df = 10, p-value = 0.0002785
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.5785547 0.9616151
## sample estimates:
##       cor 
## 0.8651857