Sumário

Nessa nota resolvemos por simulação monte carlo, o promblema de encontrar a média teórica ou esperança do num de gols em uma partida a partir de premissas sobre a ocorrencia de gols.

Enunciado

Encontre a esperança matematica e a variancia teorica do número de gols em uma partida de futebol com 90 min, assumindo que a ocorrencia de 1 gol num intervalo de 1 minuto tem probabilidade \(p\). Assuma de a ocorrencia de gols em intervalos distintos sao eventos independentes.

Solução teórica

Assuma que \(x_i\) é uma variável alétoria Bernoulli, \(x\in \{0,1\}\) com \(P(X=1)=p\) e \(P(X=0)=1-p\). Nesse problema \(x_i\) representa a ocorrencia ou não de gol no minuto \(i\). Logo, se \(T\) representa o total de gols na partida, temos:

*\(T=\sum_{i=1}^{90} X_i\)

Como \(E(x_i=p)\) e \(V(x_i)=p(1-p)\) chegamos a

Logo, a título de exemplo, se \(n=90\) e \(p=0,02\), temos

n<-90
p<-0.02
cat("E(T)=",n*p,"\n")
## E(T)= 1.8
cat("V(T)=",n*p*(1-p),"\n")
## V(T)= 1.764

Solução por simulção Monte Carlo

simgols<-function(min,p,n){
  total<-0
  for(i in 1:n){
    total<-total+sum(rbinom(min,1,p))
  }
  cat("Média de gols=", total/n, "\n")
}

## testando a função com n=50000

simgols(90,0.02,50000)
## Média de gols= 1.81286
simgols<-function(min,p,n,alfa){
  total<-0
  gols_partida<-rep(0,n)
  for(i in 1:n){
    gols_partida[i]<-sum(rbinom(min,1,p))
  }
cat("Média de gols=", mean(gols_partida), "\n")
cat("VariÂNCIA de gols=", var(gols_partida), "\n")
cat("desvio de gols=", sd(gols_partida), "\n")
 xbar<-mean(gols_partida)
dp<-sd(gols_partida)
k<-qnorm(1-alfa/2)
l1<-xbar-k*dp/sqrt(n)
l2<-xbar-k*dp/sqrt(n)
cat("Intervalo de confiança a", 1-alfa, "\n")
cat("limite inferior=", l1, "limite superior=",l2, "\n" )
}



simgols(90,0.02,50000,0.05)
## Média de gols= 1.79952 
## VariÂNCIA de gols= 1.746283 
## desvio de gols= 1.32147 
## Intervalo de confiança a 0.95 
## limite inferior= 1.787937 limite superior= 1.787937