## EJERCICIO 3. DISEÑO DE BLOQUE COMPLETAMENTE AL AZAR

Una empresa de alimentos está estudiando el efecto de 4 temperaturas sobre el rendimiento del almidón de yuca (en gramos). Cada evaluación tarda aproximadamente una hora y media, por lo que solamente se pueden realizar 4 evaluaciones por día

La idea general consiste en realizar una repetición completa del experimento en cada uno de los niveles del factor de control (factor bloque) y se realiza la aleatorización de los tratamientos dentro de cada bloque.

Temperatura (ºC) Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 30 14 14.1 14.5 14 35 13.9 13.8 14.2 14 40 14.1 14.2 14.4 13.9 45 13 13.1 13.5 13.2

A=30ºC, B=35ºC, C=40ºC, D=45ºC

Determine la unidad experimental, factores, tratamientos y variable de respuesta.

Unidad experimental = Yuca

variable de respuesta= rendimiento del almidón de yuca

Factores= Temperatura

Tratamientos= 30ºC (A), 35ºC (B), 40ºC (C), 45ºC (D)

Estadísticas descriptivas - Diagrama de cajas

Interpretación de gráficas del tratamiento

Al observar el rendimiento del almidón de la yuca según las temperaturas a la que se ha expuesto, se puede indagar que las temperaturas de 30ºC, 35ºC y 40ºC presenta mejores resultados en cuanto a rendimiento, mientras que la que se expuso a temperatura de 45ºC tiene menor rendimiento, pero su consistencia es mayor que los demás, se recomienda realizar análisis de normalidad y ANOVA.

library(ggplot2)
ggplot(almidon, aes(x = TEMPERATURA, y = RENDIMIENTO)) +
  geom_boxplot(fill = "grey80", colour = "blue") +
  scale_x_discrete() + xlab("TEMPERATURA") +
  ylab("RENDIMIENTO")

Interpretación de gráficas del bloque

Las cajas del día 1 y 4 presenta distribución de datos similares, además las dos presentan datos atípicos, además presentan una clara asimetría negativa. las cajas de los días 2 y 4 presentan distribución de datos similares, también presentan asimetría negativa pero menos pronunciada que en las cajas anteriores.

En los resultados sobre la resistencia del almidón de la yuca, se puede observar que los días 1, 2 y 4 presentan resultados muy distintos al día 3.

library(ggplot2)
ggplot(almidon, aes(x = DIA, y = RENDIMIENTO)) +
  geom_boxplot(fill = "grey80", colour = "blue") +
  scale_x_discrete() + xlab("Muestra de almidon") +
  ylab("RENDIMIENTO")

Modelo Estadístico

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗 ; 𝑖 = 1;2,3,4 ; 𝑗 = 1,2,3,4

• 𝑌𝑖𝑗: Es la observación de la variable respuesta debido al i-ésimo dìa y j-ésimo temperatura • 𝜇: es la media global • 𝜏𝑖 : Es el efecto del i-ésimo dia sobre el rendimiento del almidón de yuca • 𝛽𝑗 : Es el efecto del j-ésimo temperatura sobre el rendimiento del almidón de yuca • 𝜀𝑖𝑗: Es el error aleatorio debido al i-ésimo día y j-ésimo temperaura.

Hipótesis

H0= Ninguna temperatura influye en los rendimientos del almidón de yuca

H1= Las diferentes temperaturas si influyen en el rendimiento de almidón de yuca.

anova.almidon = aov(RENDIMIENTO ~ TEMPERATURA+DIA,
                 data=almidon)
summary(anova.almidon)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## TEMPERATURA  3 2.4669  0.8223   73.55 1.19e-06 ***
## DIA          3 0.4269  0.1423   12.73  0.00137 ** 
## Residuals    9 0.1006  0.0112                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
e<-anova.almidon$residuals

La ANOVA es válido si cumplen los supuestos.

Interpretación del suspuesto de Normalidad

𝐻𝑜: Los residuales son normales
𝐻1: Los residuales tienen otra distribución Normal

Se realiza una gráfica para observar si el comportamiento de los residuales del modelo si tienen una distribución normal, donde se puede observar que el histograma se articula bien con la curva, de igual manera se realiza la prueba Shapiro-Wilk obteniendo un valor -p de 0.6848, por lo tanto, la evidencia estadística muestra que los residuales del modelo cumplen con el supuesto de normalidad.

shapiro.test(e)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  e
## W = 0.96126, p-value = 0.6848
boxplot(e) 

hist(e, freq=FALSE)
curve(dnorm(x,mean(e), sd(e)), xlim=c(-20,20), add=TRUE, col=2)

Interpretación del suspuesto de Homogeneidad

𝐻𝑜: Las varianzas de los tratamientos son iguales
𝐻1: Hay diferencias en las varianzas de los tratamientos.

Si hay diferencia significativa, obteniendo un valor-p de 0.3475, por lo tanto, la evidencia estadística muestra que los residuales del modelo cumplen con el supuesto de homogeneidad.

library(carData)
library(car)
leveneTest(e ~ as.factor(TEMPERATURA),
           data = almidon, center = "median")
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = "median")
##       Df F value Pr(>F)
## group  3  1.2121 0.3475
##       12

Interpretación del suspuesto de Independencia

𝐻𝑜: Si hay independencia 𝐻1: No hay independencia

Si hay diferencia significativa, el p-value 0.6048 es mayor que 0.05, por tanto, si hay independencia.

library(randtests)
runs.test(e)
## 
##  Runs Test
## 
## data:  e
## statistic = -0.51755, runs = 8, n1 = 8, n2 = 8, n = 16, p-value =
## 0.6048
## alternative hypothesis: nonrandomness

Interpretación del suspuesto de Linealidad

Si hay diferencia significativa, el p-value es mayor que el 5%, por tanto, si hay linealidad.

t.test(e, mu=0)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  e
## t = -2.0121e-16, df = 15, p-value = 1
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.04364378  0.04364378
## sample estimates:
##     mean of x 
## -4.119968e-18

Interpretación de ANOVA

En el resultado de la prueba anova, se puede observar que el valor p asociado al factor de temperatura es muy pequeño, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se concluye que alguna de las temperaturas influye en el rendimeinto de la yuca.

anova.almidon = aov(RENDIMIENTO ~ TEMPERATURA+DIA, data=almidon)
summary(anova.almidon)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## TEMPERATURA  3 2.4669  0.8223   73.55 1.19e-06 ***
## DIA          3 0.4269  0.1423   12.73  0.00137 ** 
## Residuals    9 0.1006  0.0112                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Post Anova

Interpretación LSD

El rendimiento de la temperatura de 30ºC y 40ºC no existe diferencia en los rendimientos y presentaron mayor rendimiento, mientas que la temperatura de 35ºC y 45ºC son diferentes sus rendimientos a las demás temperaturas. La temperatura de 45ºC presentó menos rendimiento de almidón.

library(agricolae)
Prueba.lds<-LSD.test(anova.almidon, "TEMPERATURA",console=TRUE)
## 
## Study: anova.almidon ~ "TEMPERATURA"
## 
## LSD t Test for RENDIMIENTO 
## 
## Mean Square Error:  0.01118056 
## 
## TEMPERATURA,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##   RENDIMIENTO       std r     LCL     UCL  Min  Max
## A      14.150 0.2380476 4 14.0304 14.2696 14.0 14.5
## B      13.975 0.1707825 4 13.8554 14.0946 13.8 14.2
## C      14.150 0.2081666 4 14.0304 14.2696 13.9 14.4
## D      13.200 0.2160247 4 13.0804 13.3196 13.0 13.5
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 9
## Critical Value of t: 2.262157 
## 
## least Significant Difference: 0.1691373 
## 
## Treatments with the same letter are not significantly different.
## 
##   RENDIMIENTO groups
## A      14.150      a
## C      14.150      a
## B      13.975      b
## D      13.200      c

Interpretación TUKEY

Existen diferencias mayores significativamente de las temperaturas de 30ºC, 35ºC, 40ºC respecto a la temperatura de 45ºC, en cuanto al rendimiento del almidón de yuca. Las demás temperaturas no hay diferencia significativa, es decir tienen el mismo rendimiento de almidón de yuca.

HSD.test(anova.almidon,"TEMPERATURA", alpha=0.05,
         console=TRUE, group=FALSE)
## 
## Study: anova.almidon ~ "TEMPERATURA"
## 
## HSD Test for RENDIMIENTO 
## 
## Mean Square Error:  0.01118056 
## 
## TEMPERATURA,  means
## 
##   RENDIMIENTO       std r  Min  Max
## A      14.150 0.2380476 4 14.0 14.5
## B      13.975 0.1707825 4 13.8 14.2
## C      14.150 0.2081666 4 13.9 14.4
## D      13.200 0.2160247 4 13.0 13.5
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 9 
## Critical Value of Studentized Range: 4.41489 
## 
## Comparison between treatments means
## 
##       difference pvalue signif.         LCL        UCL
## A - B      0.175 0.1596         -0.05841115 0.40841115
## A - C      0.000 1.0000         -0.23341115 0.23341115
## A - D      0.950 0.0000     ***  0.71658885 1.18341115
## B - C     -0.175 0.1596         -0.40841115 0.05841115
## B - D      0.775 0.0000     ***  0.54158885 1.00841115
## C - D      0.950 0.0000     ***  0.71658885 1.18341115

Conclusiones

Se cumplieron los supuestos para realizar la prueba ANOVA, por lo que se realizó la prueba y los resultados mostraron que si existe diferencia significativa por lo que se recomendó realizar el POST ANOVA para ver cuál era la diferencia entre las temperaturas.

Se concluye que la temperatura de 45ºC presentó menos rendimiento de almidón.Además los rendimientos de la temperatura de 30ºC y 40ºC son iguales y fueron los que presentaron mayor rendimiento.

Finalmente existen diferencias en las temperaturas de 30ºC, 35ºC, 40ºC con la temperatura de 45ºC, respecto al rendimiento del almidón de yuca.