Sumário

Nesta nota técnica resolvemos, teoricamente e por simulação Monte Carlo, o problema de encontrar a média teórica ou esperança do número de gols em uma partida a partir de premissas sobre a ocorrência de gols.

Problema

Considere que numa partida de futebol com 90 minutos, a probabilidade de observarmos um gol dentro de cada intervalo de 1 minuto, a partir do início do jogo, é \(p\) (só um gol é possível dentro de cada intervalo de 1 minuto). Se considerarmos que a ocorrência de gols entre dois intervalos quaisquer de 1 minuto quaisquer são eventos independentes, responda:

  1. Qual e a média teórica de gols numa partida em que p = 0, 02.
  2. Se p = 0,03, qual é a probabilidade de observarmos 5 gols ou mais nessa partida?

Solução técnica

Assuma que \(x_i\) é uma variável aleatória de Bernoulli,\(x\in(0,1\)}\) com \(P(X=1)=p\) e \(P(X=0)=1-p\). Nesse problema \(x_i\) representa a ocorrência ou não de gol no minuto \(i\). Logo, se \(T\) representa o total de gols na partida, temos:

Como \(E(x_i)=p\) e \(V(x_i)=p(1-p)\) chegamos a

\(E(T)=E(\sum_(i-1)^{90} x_i=\sum_{i=1}^{90} E(x_i)=np\) \(V(T)=E(\sum_(i-1)^{90} x_i=\sum_{i=1}^{90} V(x_i)=np(1-p)\)

Logo, a titulo de exemplo, se \(n=90\) e \(p=0,02\), temos:

## E(T)= 1.8
## V(T)= 1.764

Solução por Simulação Monte Carlo

simgols<-function(min, p, n){
  total<-0
  for(i in 1:n){
    total<-total+sum(rbinom(min,1,p))
  }
  cat("Média de gols = ", total/n,"\n")
  }
## Testando a função com n=50000

simgols(90,0.02,50000)
## Média de gols =  1.794
simgols2<-function(min, p, n){
  total<-0
  gols_partida<-rep(0,n)
  for(i in 1:n){
   gols_partida[i]<-sum(rbinom(min,1,p))
  }
  cat("Média aritmética de gols = ", mean(gols_partida),"\n")
  cat("Variância amostral de gols = ", var(gols_partida),"\n")
  cat("Desvio padrão amostral de gols = ", sd(gols_partida),"\n")
  }
## Testando a função com n=50000

simgols2(90,0.02,50000)
## Média aritmética de gols =  1.81366 
## Variância amostral de gols =  1.798733 
## Desvio padrão amostral de gols =  1.341169