Monte Carlo

1 Tentang

Pada lab ini kita akan fokus pada analisis sensitivitas dan simulasi Monte Carlo.

Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana ketidakpastian dalam keluaran model atau sistem matematika (numerik atau lainnya) dapat dibagi ke berbagai sumber ketidakpastian dalam masukannya. Kami akan menggunakan paket R lpSolveAPI seperti yang dilakukan di lab sebelumnya.

Simulasi Monte Carlo menggunakan pengambilan sampel acak berulang dari alam semesta atau populasi tertentu untuk mendapatkan hasil tertentu. Jenis simulasi ini dikenal sebagai simulasi probabilistik, bukan simulasi deterministik.

Contoh simulasi Monte Carlo adalah yang diterapkan untuk memperkirakan nilai pi. Simulasi ini didasarkan pada menghasilkan titik-titik acak di dalam persegi satuan dan melihat berapa banyak titik yang berada dalam lingkaran yang dikelilingi oleh persegi satuan (ditandai dengan warna merah). Semakin tinggi jumlah titik sampel, semakin dekat hasilnya dengan hasil sebenarnya. Setelah memilih 30.000 titik acak, perkiraan untuk pi jauh lebih dekat dengan nilai sebenarnya dalam ketelitian empat titik desimal

Di lab ini, kita akan mempelajari cara membuat sampel acak dengan berbagai simulasi dan cara menjalankan analisis sensitivitas pada kasus penggunaan pemasaran yang dibahas sejauh ini.

Pengaturan

Ingatlah untuk selalu mengatur direktori kerja Anda ke lokasi file sumber. Pergi ke ‘Session’, scroll ke bawah ke ‘Set Working Directory’, dan klik ‘To Source File Location’. Bacalah dengan seksama di bawah ini dan ikuti instruksi untuk menyelesaikan tugas dan menjawab pertanyaan apa pun. Kirimkan pekerjaan Anda ke RPubs seperti yang dijelaskan di catatan sebelumnya.

Catatan

Untuk tugas Anda, Anda mungkin menggunakan kumpulan data yang berbeda dari yang disertakan di sini. Selalu baca dengan seksama instruksi di Sakai. Tugas / pertanyaan yang harus diselesaikan / dijawab ditandai dengan huruf tebal yang lebih besar dan diberi nomor sesuai dengan penempatannya di bagian tugas.

2 BAGIAN A: ANALISIS SENSITIVITAS

Untuk melakukan analisis sensitivitas, kamu perlu mengunduh lagi paket lpSolveAPI kecuali Anda sudah menginstalnya di program R Anda

# Require akan memuat paket hanya jika tidak diinstal
# Dependencies = TRUE memastikan bahwa dependensi sudah diinstal
if(!require("lpSolveAPI",quietly = TRUE))
  install.packages("lpSolveAPI",dependencies = TRUE, repos = "https://cloud.r-project.org")

## Warning: package 'lpSolveAPI' was built under R version 3.6.3

Kita akan meninjau kembali dan menyelesaikan lagi kasus pemasaran yang dibahas di kelas (juga bagian dari lab sebelumnya).

# Kita mulai dengan variabel `0` batasan dan` 2`. Nama objek `lpmark` adalah pilihan.
lpmark2 = make.lp(0, 2)

# Tentukan jenis pengoptimalan sebagai maksimum dan buang keluaran layar ke dalam variabel `dummy`
dummy = lp.control(lpmark2, sense="max") 

# Tetapkan koefisien fungsi tujuan
set.objfn(lpmark2, c(275.691, 48.341))

# Tambahkan semua batasan ke model
add.constraint(lpmark2, c(1, 1), "<=", 350001)
add.constraint(lpmark2, c(1, 0), ">=", 15000)
add.constraint(lpmark2, c(0, 1), ">=", 75000)
add.constraint(lpmark2, c(2, -1), "=", 1)
add.constraint(lpmark2, c(1, 0), ">=", 0)
add.constraint(lpmark2, c(0, 1), ">=", 0)

# Tunjukkan setting masalah ke dalam bentuk tabel / matriks. Ini berguna untuk melihat apakah batasan Anda telah disetel dengan benar.
lpmark2

## Model name: 
##                C1       C2            
## Maximize  275.691   48.341            
## R1              1        1  <=  350001
## R2              1        0  >=   15000
## R3              0        1  >=   75000
## R4              2       -1   =       1
## R5              1        0  >=       0
## R6              0        1  >=       0
## Kind          Std      Std            
## Type         Real     Real            
## Upper         Inf      Inf            
## Lower           0        0

# Menyelesaikan masalah pemrograman linier
solve(lpmark2)

## [1] 0

# Dua baris kode berikutnya akan menunjukkan hasil yang optimal..
# Pertama: Menampilkan nilai optimal fungsi tujuan, yaitu nilai penjualan optimal.
get.objective(lpmark2)

## [1] 43443717

#Kedua: Menampilkan nilai optimum variabel keputusan yaitu nilai optimum untuk iklan radio dan tv.
get.variables(lpmark2) 

## [1] 116667.3 233333.7

Untuk bagian sensitivitas kita akan menambahkan dua bagian kode baru untuk mendapatkan hasilnya.

#Menampilkan kepekaan terhadap koefisien fungsi tujuan.
get.sensitivity.obj(lpmark2)

## $objfrom
## [1]  -96.6820 -137.8455
## 
## $objtill
## [1] 1e+30 1e+30

3 TUGAS 1:

Hasil penelitian memiliki dua bagian yaitu: keluaran berlabel objfrom menunjukkan batas bawah koefisien sedangkan keluaran berlabel objtill menunjukkan batas atas. Jelaskan secara bersamaan apa yang diwakili oleh hasil sensitivitas dengan mengacu pada model pemasaran.

4 JAWABAN TUGAS 1:

Objfrom menunjukkan berapa angka terendah dari setiap varibale agar dari persamaan dapat dipenuhi tanpa perlu dioptimalkan dan objtill adalah adalah angka infiniti yang sangat besar.

#Tampilan Sensitivitas ke CONSTRAINTS (atau nilai sisi kanan). 
#Akan ada total nilai m + n dimana m adalah jumlah batasan dan n adalah jumlah variabel keputusan
get.sensitivity.rhs(lpmark2) 

## $duals
## [1] 124.12433   0.00000   0.00000  75.78333   0.00000   0.00000   0.00000
## [8]   0.00000
## 
## $dualsfrom
## [1]  1.125005e+05 -1.000000e+30 -1.000000e+30 -3.050010e+05 -1.000000e+30
## [6] -1.000000e+30 -1.000000e+30 -1.000000e+30
## 
## $dualstill
## [1] 1.00000e+30 1.00000e+30 1.00000e+30 4.75002e+05 1.00000e+30 1.00000e+30
## [7] 1.00000e+30 1.00000e+30

5 TUGAS 2:

Untuk latihan ini kami hanya tertarik pada bagian pertama dari keluaran yang diberi label duals. Jelaskan secara bersamaan apa yang diwakili oleh dua hasil sensitivitas bukan nol. Dalam jawaban Anda, bedakan antara batasan yang mengikat dan tidak mengikat, dan sertakan penjelasan tentang kelebihan / kekurangan, dan nilai-nilai marjinal.

6 JAWABAN TUGAS 2:

hasil bukan nol mewakili kendala yang tidak mengikat yang berarti bahwa saat varibale meningkat, solusi optimal tidak terpengaruh. dengan kata lain, ia memiliki kelonggaran untuk “bergerak” sementara batasan pengikatan terbatas dan akan mempengaruhi solusi optimal jika ditingkatkan. ini juga berarti bahwa ada nilai marjinal jika terikat dan oleh karena itu dipengaruhi oleh perubahan tersebut

Untuk memperdalam pemahaman yang lebih lagi tentang hasil sensitivitas, dan untuk memastikan integritas kalkulasi, uji independen dapat dilakukan.

7 TUGAS 3:

Jalankan lagi program linier mulai dari awal, dengan menentukan objek model baru lpmark1. Semua dianggap sama, ubah batasan anggaran hanya dengan 1 dollar dan selesaikan. Secara spesifik, semua sama, ubah batasan pertama \(X1 + X2 <= 350000\) hanya dengan 1 dollar sehingga batasan baru akan menjadi \(X1 + X2 <= 350001\) . Catat nilai optimal untuk penjualan seperti yang diberikan oleh fungsi tujuan. 43443641

# buat model object baru bernama lpmark1
lpmark1 = make.lp(0, 2)
# Ulangi perintah lainnya dengan satu perubahan batasan untuk anggaran. pecahkan dan tampilkan nilai optimal fungsi tujuan

8 TUGAS 4:

Hitung perubahan diferensial dalam penjualan. Bagikan pengamatan Anda.

9 JAWABAN TUGAS 4:

Saya tidak melihat perubahan dalam penjualan

10 TUGAS 5:

Menjalankan program linier lagi mulai dari awal, dengan menentukan objek model baru lpmark2. Semua dianggap sama, ubah batasan keempat \(2X1 - X2 = 0\) dengan hanya 1 dollar dan selesaikan. Batasan baru akan menjadi \(2X1 - X2 = 1\) . Catat nilai optimal untuk penjualan seperti yang diberikan oleh fungsi tujuan.

# buat model object baru bernama lpmark2
lpmark2 = make.lp(0, 2)
# Ulangi perintah lainnya dengan perubahan batasan di atas. pecahkan dan tampilkan nilai optimal fungsi tujuan

11 TUGAS 6:

Hitung perubahan diferensial dalam penjualan. Bagikan pengamatan Anda.

12 JAWABAN TUGAS 6:

Perbedaan meningkat antara lpmark1 dan proses ini

13 BAGIAN B: SIMULASI MONTE CARLO

Untuk tugas ini kita akan menjalankan simulasi Monte Carlo untuk menghitung probabilitas bahwa pengembalian harian dari S&P akan \(> 5%\). Kami akan mengasumsikan bahwa laba harian S&P historis mengikuti distribusi normal dengan pengembalian harian rata-rata 0,03 (%) dan deviasi standar 0,97 (%).

Untuk memulai, kami akan menghasilkan 100 sampel acak dari distribusi normal. Untuk sampel tersebut kita akan menghitung mean, standar deviasi, dan probabilitas kejadian dimana hasil simulasi lebih besar dari \(5%\).

Untuk menghasilkan sampel acak dari distribusi normal kita akan menggunakan fungsi rnorm() di R. Dalam contoh di bawah ini kita menetapkan jumlah proses (atau sampel) menjadi 100.

# banyaknya simulasi/sampel
runs2 = 10000
# generator nomor acak per distribusi normal yang ditentukan dengan mean dan deviasi standar yang diberikan
sims2 =  rnorm(runs2,mean=0.03,sd=0.97)

# rata rata dihitung dari distribusi sampel secara acak
average2 = mean(sims2)
average2

## [1] 0.03618039

# STD dihitung dari distribusi sampel secara acak
std2 = sd(sims2) 
std2

## [1] 0.9851129

# probabilitas kejadian pada hari tertentu berdasarkan sampel akan sama dengan hitungan (atau jumlah) di mana hasil sampel lebih besar dari 5% dibagi dengan jumlah sampel.
prob2 = sum(sims2 >=0.05)/runs2
prob2

## [1] 0.494

14 TUGAS 7:

Ulangi perhitungan di atas untuk kasus di mana jumlah simulasi / sampel sama dengan 1000. catat mean, deviasi standar, dan probabilitas. Beri nama semua variabel yang diperlukan sebagai run1, sims1, average1, std1, dan prob1.

# ulangi kalkulasi tersebut
runs1=1000
average1=0.02195311
std1=0.9513167
prob1=0.505

#TUGAS 8: Ulangi kalkulasi di atas untuk kasus dimana jumlah simulasi / sampel sama dengan 10000. catat mean, deviasi standar, dan probabilitas. Beri nama semua variabel yang diperlukan sebagai run2, sims2, average2, std2, dan prob2.

# ulangi kalkulasi tersebut
runs2=10000
average2=0.02928042
std2=0.9636561
prob2=0.4891

15 TUGAS 9:

Buat daftar dalam bentuk tabel nilai mean, deviasi standar, dan probabilitas untuk ketiga kasus: simulasi 100, 1000, dan 10000.mean -.0205 .02989 .02195 sd .995 .9843 .9624 prob .457 .491 .4855

16 TUGAS 10:

Jelaskan bagaimana nilai berubah / berperilaku saat jumlah simulasi bertambah. Apa taruhan terbaik Anda untuk kemungkinan terjadinya lebih besar dari 5% dan mengapa? Bagaimana ini mirip dengan kasus penggunaan gambar untuk menghitung pi yang disajikan di paragraf pengantar?

17 JAWABAN TUGAS 10:

Secara umum, dengan semakin banyak simulasi, semakin akurat prediksinya sehingga standar deviasi menjadi lebih ketat dan probabilitasnya meningkat seiring waktu. sekitar separuh waktu pengembalian lebih besar dari 5%. Ini serupa dalam arti bahwa semakin banyak variabel ditambahkan, semakin akurat predisinya dan semakin representatif angkanya di dunia nyata.