Caso 13 Teorema de Bayes

Objetivo.

Realizar cálculo de probabilidades implementanto Teorema de Batyes

Descripción.

Caso: personas que trabajan en sectores y sean mujeres y hombres Las personas de cualquier género trabajan en algún sector, en función del género determinado de manera inicial se trata de encontrar la probabilidad del sector en donde laboran. Al elegir aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.

Paso 1. Cargar librerias

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Las probabilidades Se trata de encontrar las probabilidades condicionales usando el Teorema de Bayes para personas que trabajan en algún sector (‘Servicios’, ‘Salud’ u ‘Otros’) y sean o que estén en función de algún género (‘Hombre’ o ‘Mujer’).
Evento sectores Existen tres sectores en donde trabajan las personas Hay una probabilidad de que en el sector servicios trabaje 40%(0.40) de las personas Hay una probabilidad de que en el sector salud trabaje 35%(0.35) de las personas Hay una probabilidad de que en el sector otros trabaje 25%(0.25) de las personas La suma debe dar 100% o 1 Las variables en R
Prob.Servi =0.40
Prob.Salud =0.35
Prob.Otros =0.25

Prob.Servi <- 0.40
Prob.Salud <- 0.35
Prob.Otros <- 0.25

cat("Las probabilidades por cada servicio")

## Las probabilidades por cada servicio

Prob.Servi; Prob.Salud; Prob.Otros

## [1] 0.4

## [1] 0.35

## [1] 0.25

Eventos Mujeres y Hombres.

Se dan las probabilidades de que sea de algún género en función del servicio.

Sector servicios.

En el sector Servicios la probabilidad de que sea Mujer es del 0.30 En el sector Servicios la probabilidad de que sea Hombre es del 0.70 * PServ.Mujer * PServ.Hombre

PServ.Mujer <- 0.70
PServ.Hombre <- 0.30

Sector salud.

En el sector Salud la probabilidad de que sea Mujer es del 0.60 En el sector Salud la probabilidad de que sea Hombre es del 0.40 * PSalud.Mujer =0.60 * PSalud.Hombre =0.40

PSalud.Mujer <- 0.60
PSalud.Hombre <- 0.40

PSalud.Mujer; PSalud.Hombre

## [1] 0.6

## [1] 0.4

Sector Otros.

En el sector Otros la probabilidad de que sea Mujer es del 0.45 En el sector Otros la probabilidad de que sea Hombre es del 0.55 * POtros.Mujer = 0.45 * POtros.Hombre = 0.55

POtros.Mujer <- 0.45
POtros.Hombre <- 0.55

POtros.Mujer; POtros.Hombre

## [1] 0.45

## [1] 0.55

Cálculo de probabilidades.

Ley de la Multiplicacion

\[P(A Y B)= P(A)*P(B)\] * Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en funcion de Servicios ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre

 ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer
 ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre
 
 ProbServ.I.Mujer; ProbServ.I.Hombre

## [1] 0.28

## [1] 0.12

Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en función de Salud.

ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre

ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer
ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre

ProbSalud.I.Mujer; ProbSalud.I.Hombre

## [1] 0.21

## [1] 0.14

Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en función de Otros.

ProbOtros.I.Mujer <- Prob.Otros * POtros.Mujer ProbOtros.I.Hombre <- Prob.Otros * POtros.Hombre

ProbOtros.I.Mujer <- Prob.Otros * POtros.Mujer
ProbOtros.I.Hombre <- Prob.Otros * POtros.Hombre

ProbOtros.I.Mujer; ProbOtros.I.Hombre

## [1] 0.1125

## [1] 0.1375

Preguntas de probabilidad

Ya se encontró en el apartado anterior las probabilidades condicionales de que una persona siendo de algun sector sea posteriormente hombre o mujer y eso se determinó conforme a la Ley Multiplicativa para eventos Independientes. Ahora se elige aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.

Se pide encontrar las probabilidades siguientes: * Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre * Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer * Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer * Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer Se muestra la Fórmula de Bayes y se sustituyen valores para dar respuesta a la preguna uno:

1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre

Ya se tiene el numerador con la probabilidad condicional de que sea Hombre dado que sea del sector Salud: ProbSalud.I.Hombre. Camino verde en el árbol. Ahora se suman las probabilidades en donde aparezca Hombre dado cualquier sector y se tiene el denominador. Todas los contornos rojos en el árbol.

La probabilidad de que una persona sea del sector Salud dado que se Hombre es:

TBResult <- ProbSalud.I.Hombre / (ProbServ.I.Hombre + ProbSalud.I.Hombre + ProbOtros.I.Hombre)
TBResult

## [1] 0.3522013

cat ("1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es: ", TBResult)

## 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es:  0.3522013

2.- Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer

Sect.Salud.Mujer<- ProbSalud.I.Mujer/(ProbServ.I.Mujer+ ProbSalud.I.Mujer+ ProbOtros.I.Mujer)
Sect.Salud.Mujer

## [1] 0.3485477

cat ("2.- Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer es: ", round(Sect.Salud.Mujer*100,2),"%")

## 2.- Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer es:  34.85 %

3.- Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea hombre.

Sect.Servicios.Hombre<- ProbServ.I.Hombre/(ProbSalud.I.Hombre+ProbServ.I.Hombre+ProbOtros.I.Hombre)
Sect.Servicios.Hombre

## [1] 0.3018868

cat ("3.- Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea hombre es: ", round(Sect.Servicios.Hombre*100,2),"%")

## 3.- Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea hombre es:  30.19 %

4.- Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer.

Sector.Servicios.Mujer<- ProbServ.I.Mujer/(ProbSalud.I.Mujer+ProbServ.I.Mujer+ProbOtros.I.Mujer)

Sector.Servicios.Mujer

## [1] 0.4647303

cat ("4.- Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer es: ", round(Sector.Servicios.Mujer*100,2),"%")

## 4.- Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer es:  46.47 %

Interpretacion

En este caso ponemos en practica en Teorema de Bayes como lo podemos ver en el ejercicio que acabamos de realizar En la primera pregunta nos piden Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre la cual es del 0.3522013. En la segunda pregunta nos piden Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer la cual es del 34.85% En la tercera pregunta nos piden Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea hombre la cual es del 30.19% Y finalmente en la cuarta pregunta nos piden Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer la cual nos dios el resultado de 46.47%