Loi des Grands Nombres (LGN)
On va illuster la loi des grands nombres lorsque la loi “mère” \(X\) suit une uniforme discrète sur \(\{1,2, \dots\, 10\}\)
Simulation d’une loi uniforme discrète sur \(\{1,2, \dots, 10\}\).
On lance un dé équilibré à 10 faces. Soit \(X\) la variable aléatoire qui représente la valeur du dé.
On \(\mathbb{P}(X=k) = 1/10\) pour \(k = 1, 2, \dots, 6\)
D’après le cours \(E(X) = \frac{1+10}{2} = 5.5\)
La loi des Grands Nombres (LGN) affirme que
\[\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \xrightarrow{\text{pr}} E(X) = 5.5\]
c’est à dire que pour tout \(\varepsilon>0\),
\[\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{P}(|\overline{X}_n-5.5|\le\varepsilon) =1\]
On va essayer d’illustrer ce résultat avec notre dé
Cas (trivial) où \(n = 1\)
Dans ce cas on clairement \(\overline{X}_n = X_1\) avec \(X_1\) ayant la même loi que \(X\)
On va donc simulé le lancer de 1 seul dé, disons 10000 fois, et vérifier que la probabilité d’obtenir chaque face est bien de \(1/10 = 0.10\). Cela prouvera que le dé un bien équilibré.
Les 200 premières simulations
Distribution des valeurs obtenues pour les 10000 lancers
Notre dé semble bien équilibré. On pourrait le lancer plus de de 10000 fois pour s’approcher encore plus de \(1/10\) mais on ne le fera pas.
Prenons \(\varepsilon=0.3\) et estimons à l’aide de notre simulation
\[p_n=\mathbb{P}(|\overline{X}_n-5.5|\le\varepsilon) = \mathbb{P}(|\overline{X}_n-5.5|\le 0.3)\]
Un calcul rapide montre que cela implique que
\[p_n=\mathbb{P}(5.2\le \overline{X}_n\le 5.8)\]
Pour \(n=1\), on rappelle que \(\overline{X}_n\) a la même loi que \(X\) et donc
\[p_n=\mathbb{P}(5.2\le \overline{X}_n\le 5.8) = \mathbb{P}(5.2\le X\le 5.8) = 0\] Quand on lance un dé, on ne peut pas obtenir une valeur comprise entre 5.2 et 5.8
Ainsi pour \(n=1\)
\[\mathbb{P}(|\overline{X}_n-5.5|\le 0.3) = 0\]
Cas où \(n = 3\)
Soient \(X_1, X_2, \dots, X_{3}\) un 3-echantillons de loi \(X\). Cela revient à dire (par exemple) que l’on lance 3 dés et que \(X_i\) est le résultat du dé numéro \(i\) pour \(i = 1, 2, \dots, 3\)
\(\overline{X}_n = \overline{X}_{3}\) représente la moyenne des 3 dés.
On va maintenant faire l’expérience de lancer 3 dés, 10000 fois et calculer la moyenne des 3 dés à chaque fois. On aura ainsi 10000 moyennes !
Les 200 premières moyennes
Distribution des 10000 moyennes obtenues
On calcule
\[p_n=\mathbb{P}(5.2\le \overline{X}_n\le 5.8)\]
La proportion de moyennes comprisent entre 5.2 et 5.8 dans notre simulation est de \(p_n=p_3 =\) 0.1487.
\(p_n=\mathbb{P}(5.2\le \overline{X}_n\le 5.8)\) est passé de 0 \((n=1)\) à 0.1487 \((n=3)\).
On va maintenant faire varier la taille de l’échantillon \(n\)
\(p_n=\mathbb{P}(5.2\le \overline{X}_n\le 5.8)\) en fonction de la taille d’échantillon \(n\)
