Caso 9. Regresión lineal múltiple. Casos de camiones con motores diesel y su contaminación y consumo de energía en plata química
Najib Alejandro Loera Rodriguez
29/10/2020
Objetivo
Determinar la ecuación de regresión lineal mútiple y predecir valores
Descripción
Se muestra cómo utilizar la función de regresión lineal múltiple y con ello se determinan las ecuaciones de regesión lineal múltple para distintos datos de varios ejercicios.
Sustento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión. La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da x1,x2,…,xk, la media de y|x1,x2,…,xk es el modelo de regresión lineal múltiple. (Walpole et al., 2012)
Muchos problemas de de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. (Urrutia Mosquera, 2011)
Al generar un modelo de regresión linel múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado. De igual forma, el valor de R2 ajustado o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad (Walpole et al., 2012). R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo.(Walpole et al., 2012)
Librerias
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(knitr)
library(readr)
library(ggplot2)
library(patchwork) # PAra varias gráficos en el mismo renglón## Warning: package 'patchwork' was built under R version 4.0.3options(scipen = 999) # Notación NO CENTÍFICACasos
Los ejercicios son tomados de libros y artículos de regresión.
Caso 1. Camiones con motores diesel
Se sometió a prueba un grupo de camiones ligeros con motores que utilizan diesel como combustible para saber si la humedad, la temperatura del aire y la presión barométrica influyen en la cantidad de óxido nitroso que emiten (en ppm). Las emisiones se midieron en distintos momentos y en diversas condiciones experimentales. (Walpole et al., 2012)
1.1. Los datos
humedad <- c(72.4, 41.6, 34.3, 35.1, 10.7, 12.9, 8.3, 20.1, 72.2, 24.0, 23.2, 47.4, 31.5, 10.6, 11.2, 73.3, 75.4, 96.6, 107.4, 54.9)
temperatura <- c(76.3, 70.3, 77.1, 68.0, 79.0, 67.4, 66.8, 76.9, 77.7, 67.7, 76.8, 86.6, 76.9, 86.3, 86.0, 76.3, 77.9,
78.7, 86.8, 70.9)
presion <- c(29.18, 29.35, 29.24, 29.27, 29.78, 29.39, 29.69, 29.48, 29.09, 29.60, 29.38, 29.35, 29.63, 29.56, 29.48, 29.40, 29.28, 29.29, 29.03, 29.37)
oxido.nitroso <- c(0.90, 0.91, 0.96, 0.89, 1.00, 1.10, 1.15, 1.03, 0.77, 1.07, 1.07, 0.94, 1.10, 1.10, 1.10, 0.91, 0.87, 0.78, 0.82, 0.95)
datos <- data.frame(oxido.nitroso, humedad, temperatura, presion)
kable(datos, caption = "Factores ambientales que influyen en la formación de óxido nitroso en motores disel en camiones")| oxido.nitroso | humedad | temperatura | presion |
|---|---|---|---|
| 0.90 | 72.4 | 76.3 | 29.18 |
| 0.91 | 41.6 | 70.3 | 29.35 |
| 0.96 | 34.3 | 77.1 | 29.24 |
| 0.89 | 35.1 | 68.0 | 29.27 |
| 1.00 | 10.7 | 79.0 | 29.78 |
| 1.10 | 12.9 | 67.4 | 29.39 |
| 1.15 | 8.3 | 66.8 | 29.69 |
| 1.03 | 20.1 | 76.9 | 29.48 |
| 0.77 | 72.2 | 77.7 | 29.09 |
| 1.07 | 24.0 | 67.7 | 29.60 |
| 1.07 | 23.2 | 76.8 | 29.38 |
| 0.94 | 47.4 | 86.6 | 29.35 |
| 1.10 | 31.5 | 76.9 | 29.63 |
| 1.10 | 10.6 | 86.3 | 29.56 |
| 1.10 | 11.2 | 86.0 | 29.48 |
| 0.91 | 73.3 | 76.3 | 29.40 |
| 0.87 | 75.4 | 77.9 | 29.28 |
| 0.78 | 96.6 | 78.7 | 29.29 |
| 0.82 | 107.4 | 86.8 | 29.03 |
| 0.95 | 54.9 | 70.9 | 29.37 |
Variable depeneidnete y = Oxido Nitroso Varible independiete x1 = humedad Varible independiete x2 = temperatura Varible independiete x3 = presion
1.2. Visualizando los datos
Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = humedad, y = oxido.nitroso)) +
geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
labs(title = 'oxido.nitroso ~ humedad', x = 'humedad') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = temperatura, y = oxido.nitroso)) +
geom_point(color = "orange", size = 2) +
labs(title = 'oxido.nitroso ~ temperatura', x = 'tempertura') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = presion, y = oxido.nitroso)) +
geom_point(color = "darkblue", size = 2) +
labs(title = 'oxido.nitroso ~ presion', x = 'presion') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g1 + g2 + g3## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
1.3. Desarrollo del modelo
Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el óxido nitroso y en función ~ de las tres variables x1,x2,x3
modelo <- lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.11799 -0.02526 0.01345 0.04103 0.06523
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.5077781 3.0048641 -1.167 0.26017
## humedad -0.0026250 0.0006549 -4.008 0.00101 **
## temperatura 0.0007989 0.0020451 0.391 0.70121
## presion 0.1541550 0.1013675 1.521 0.14784
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.05617 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8005, Adjusted R-squared: 0.763
## F-statistic: 21.4 on 3 and 16 DF, p-value: 0.000007609El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que las variables temperatura y humedad no son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en Pr(>|t|), sólo la humedad es estadísticamente significativa.
b0= -3.5077781
b1= -0.002625
b2= 0.0007989
b3= 0.154155
1.4. Le ecuación del modelo
yˆ=β0+β1(x1)+β3(x2)+β4(x3)
1.5. La predicción
Para 50% de humedad, una temperatura de 76˚F y una presión barométrica de 29.30, ¿cuánto es la cantidad estimada de óxido nitroso emitido?
yˆ=−3.507778−0.002625(50.0)+0.000799(76.0)+0.1541553(29.30)=0.9384ppm
nuevo.dato <- data.frame(humedad = 50, temperatura = 76, presion =29.30)
prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)
paste("La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es:", round(prediccion, 2))## [1] "La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es: 0.94"1.6. Interpretación del caso
De acuerdo al caso de camiones con motores de disel podemos sacar las variables que usaremos que son la variable dependiente e independientes. La variable dependiente es Oxido Nitroso(y) y las independientes son humedad (x1), temperatura(x2),presion(x3).
En cuanto a los valores de Multiple R-squared y Adjusted R-squared tenemos 0.8005 y 0.763 respectivamente.
El 0.8005 represnta el 80% de la variabilidad del oxido nitroso.
Y por ultimo la variable que mas significado estadistico tiene con relacion al oxido nitroso que es nuestra variable dependiente es la variable independiente humedad.
Caso 2. Consumo de energía eléctrica
Se cree que la energía eléctrica que una planta química consume cada mes se relaciona con:
la temperatura ambiental promedio, x1; el número de días del mes, x2; la pureza promedio del producto, x3; y las toneladas fabricadas del producto, x4. Se identifica a y como el consumo de energía eléctrica
2.1. Los datos
y <- c(240, 236, 290, 274, 301, 316, 300, 296, 267, 276, 288, 261)
x1 <- c(25, 31, 45, 60, 65, 72, 80, 84, 75, 60, 50, 38)
x2 <- c(24, 21, 24, 25, 25, 26, 25, 25, 24, 25, 25, 23)
x3 <- c(91, 90, 88, 87, 91, 94, 87, 86, 88, 91, 90, 89)
x4 <- c(100, 95, 110, 88, 94, 99, 97, 96, 110, 105, 100, 98)
datos <- data.frame(y, x1, x2, x3, x4)
kable(datos, caption = "Aspectos que se relacionan con el consumo de energía eléctrica en una plata química")| y | x1 | x2 | x3 | x4 |
|---|---|---|---|---|
| 240 | 25 | 24 | 91 | 100 |
| 236 | 31 | 21 | 90 | 95 |
| 290 | 45 | 24 | 88 | 110 |
| 274 | 60 | 25 | 87 | 88 |
| 301 | 65 | 25 | 91 | 94 |
| 316 | 72 | 26 | 94 | 99 |
| 300 | 80 | 25 | 87 | 97 |
| 296 | 84 | 25 | 86 | 96 |
| 267 | 75 | 24 | 88 | 110 |
| 276 | 60 | 25 | 91 | 105 |
| 288 | 50 | 25 | 90 | 100 |
| 261 | 38 | 23 | 89 | 98 |
2.2. Visualizando los datos
Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x1, y = y)) +
geom_point(color = "orange", size = 2) +
labs(title = 'consumo ~ tempertura', x = 'temperatura') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x2, y = y)) +
geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
labs(title = 'consumo ~ dias de mes', x = 'dias de mes') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x3, y = y)) +
geom_point(color = "purple", size = 2) +
labs(title = 'consumo ~ purezas del producto', x = 'purezas del producto') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g4 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x4, y = y)) +
geom_point(color = "red", size = 2) +
labs(title = 'consumo ~ produccion toneladas', x = 'produccion toneldas') +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
theme_bw() +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
g1 + g2 + g3 + g4## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
#### 2.3. Desarrollo del modelo
Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el óxido nitroso y en función ~ de las tres variables x1,x2,x3
modelo <- lm(formula = y ~ ., data = datos)
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = y ~ ., data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -18.758 -9.952 3.350 6.627 23.311
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -102.71324 207.85885 -0.494 0.636
## x1 0.60537 0.36890 1.641 0.145
## x2 8.92364 5.30052 1.684 0.136
## x3 1.43746 2.39162 0.601 0.567
## x4 0.01361 0.73382 0.019 0.986
##
## Residual standard error: 15.58 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7447, Adjusted R-squared: 0.5989
## F-statistic: 5.106 on 4 and 7 DF, p-value: 0.0303b0 = modelo$coefficients[1]
b1 = modelo$coefficients[2]
b2 = modelo$coefficients[3]
b3 = modelo$coefficients[4]
b4 = modelo$coefficients[5]El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que ninguna de las variables x1,x2…x4 son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en Pr(>|t|).
b0= -102.7132364
b1= 0.6053705
b2= 8.9236442
b3= 1.4374567
b4= 0.0136093
2.4. Le ecuación del modelo
yˆ=β0+β1(x1)+β3(x2)+β4(x3)+β4(x3)
2.5. La predicción
Para un mes en que x1=75˚F, x2=24 días, x3=90 y x4=98 toneladas. ¿Cúal es la predicción de consumo de energía eléctrica?
yˆ=–102.7132+0.6054x1+8.9236x2+1.4374x3+0.0136x4=287.56
nuevo.dato <- data.frame(x1 = 75, x2 = 24, x3 = 90, x4 = 98)
prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)
paste("La predicción de consumo de energía eléctrica es:", round(prediccion, 2))## [1] "La predicción de consumo de energía eléctrica es: 287.56"2.6. Interpretación del caso
De acuerdo al caso de consumo de energia electrica podemos sacar las variables que usaremos que son la variable dependiente e independientes. La variable dependiente es Consumo de energia electrica(y) y las independientes son la temperatura ambiental promedio (x1), el número de días del mes (x2), la pureza promedio del producto (x3),las toneladas fabricadas del producto (x4).
En cuanto a los valores de Multiple R-squared y Adjusted R-squared tenemos 0.7447 y 0.5989 respectivamente. Las variables no son significativas para la variable dependiente.
El valor de Multiple R-squared permite explicar el 74% de la variabilidad del consumo de energía eléctrica.
Referencias bibliográficas
Urrutia Mosquera, J. A. (2011). Evaluación de la robustez de un modelo de regresión múltiple para predecir las ventas diarias de un hipermercado en pereira, risaralda. https://www.researchgate.net/publication/237041228_EVALUACION_DE_LA_ROBUSTEZ_DE_UN_MODELO_DE_REGRESION_MULTIPLE_PARA_PREDECIR_LAS_VENTAS_DIARIAS_DE_UN_HIPERMERCADO_EN_PEREIRA_RISARALDA
Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.