Objetivo

Determinar la ecuación de regresión lineal mútiple y predecir valores

Descripción

Se muestra cómo utilizar la función de regresión lineal múltiple y con ello se determinan las ecuaciones de regesión lineal múltple para distintos datos de varios ejercicios.

Librerias y configuración de númerios sin notación científica

library(dplyr)
library(knitr)
library(readr)
library(ggplot2)
library(patchwork) # PAra varias gráficos en el mismo renglón

options(scipen = 999) # Aplicar notación No científica a los datos

Casos

Los ejercicios son tomados de libros y artículos de regresión.

Caso 1. Camiones con motores diesel

Se sometió a prueba un grupo de camiones ligeros con motores que utilizan diesel como combustible para saber si la humedad, la temperatura del aire y la presión barométrica influyen en la cantidad de óxido nitroso que emiten (en ppm). Las emisiones se midieron en distintos momentos y en diversas condiciones experimentales. (Walpole et al., 2012)

1.1. Los datos

humedad <- c(72.4, 41.6, 34.3, 35.1, 10.7, 12.9, 8.3, 20.1, 72.2, 24.0, 23.2, 47.4, 31.5, 10.6, 11.2, 73.3, 75.4, 96.6, 107.4, 54.9)
temperatura <- c(76.3, 70.3, 77.1, 68.0, 79.0, 67.4, 66.8, 76.9, 77.7, 67.7, 76.8, 86.6, 76.9, 86.3, 86.0, 76.3, 77.9, 
78.7, 86.8, 70.9)
presion <- c(29.18, 29.35, 29.24, 29.27, 29.78, 29.39, 29.69, 29.48, 29.09, 29.60, 29.38, 29.35, 29.63, 29.56, 29.48, 29.40, 29.28, 29.29, 29.03, 29.37)
oxido.nitroso <- c(0.90, 0.91, 0.96, 0.89, 1.00, 1.10, 1.15, 1.03, 0.77, 1.07, 1.07, 0.94, 1.10, 1.10, 1.10, 0.91, 0.87, 0.78, 0.82, 0.95)

datos <- data.frame(oxido.nitroso,  humedad, temperatura, presion)

kable(datos, caption = "Factores ambientales que influyen en la formación de óxido nitroso en motores disel en camiones")
Factores ambientales que influyen en la formación de óxido nitroso en motores disel en camiones
oxido.nitroso humedad temperatura presion
0.90 72.4 76.3 29.18
0.91 41.6 70.3 29.35
0.96 34.3 77.1 29.24
0.89 35.1 68.0 29.27
1.00 10.7 79.0 29.78
1.10 12.9 67.4 29.39
1.15 8.3 66.8 29.69
1.03 20.1 76.9 29.48
0.77 72.2 77.7 29.09
1.07 24.0 67.7 29.60
1.07 23.2 76.8 29.38
0.94 47.4 86.6 29.35
1.10 31.5 76.9 29.63
1.10 10.6 86.3 29.56
1.10 11.2 86.0 29.48
0.91 73.3 76.3 29.40
0.87 75.4 77.9 29.28
0.78 96.6 78.7 29.29
0.82 107.4 86.8 29.03
0.95 54.9 70.9 29.37
  • Variable depeneidnete \(y\) = Oxido Nitroso
  • Varible independiete \(x1\) = humedad
  • Varible independiete \(x2\) = temperatura
  • Varible independiete \(x3\) = presion

1.2. Visualizando los datos

  • Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = humedad, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ humedad', x  =  'humedad') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 

g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = temperatura, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "orange", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ temperatura', x  =  'tempertura') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = presion, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "darkblue", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ presion', x  =  'presion') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

g1 + g2 + g3

1.3. Desarrollo del modelo

  • Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el óxido nitroso \(y\) en función ~ de las tres variables \(x1\),\(x2\),\(x3\)
modelo <- lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.11799 -0.02526  0.01345  0.04103  0.06523 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept) -3.5077781  3.0048641  -1.167  0.26017   
## humedad     -0.0026250  0.0006549  -4.008  0.00101 **
## temperatura  0.0007989  0.0020451   0.391  0.70121   
## presion      0.1541550  0.1013675   1.521  0.14784   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.05617 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8005, Adjusted R-squared:  0.763 
## F-statistic:  21.4 on 3 and 16 DF,  p-value: 0.000007609
b0 = modelo$coefficients[1]
b1 = modelo$coefficients[2]
b2 = modelo$coefficients[3]
b3 = modelo$coefficients[4]

  • El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que las variables temperatura y humedad no son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en \(Pr(>|t|)\), sólo la humedad es estadísticamente significativa.

  • \(b0\)= -3.5077781

  • \(b1\)= -0.002625

  • \(b2\)= 0.0007989

  • \(b3\)= 0.154155

1.4. Le ecuación del modelo

\[yˆ=β0+β1(x1)+β2(x2)+β3(x3)\]

\[yˆ=-3.5077781-0.002625(x1)+0.000798(x2)+0.154155(x3)\]

1.5. La predicción

Para 50% de humedad, una temperatura de 76˚F y una presión barométrica de 29.30, ¿cuánto es la cantidad estimada de óxido nitroso emitido? \[yˆ=−3.507778−0.002625(50.0)+0.000799(76.0)+0.1541553(29.30)=0.9384ppm\]

nuevo.dato <- data.frame(humedad = 50, temperatura = 76, presion =29.30)

prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)

paste("La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es:", round(prediccion, 2))
## [1] "La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es: 0.94"

1.6. Interpretación del caso

En este caso que es un conjunto de datos el cual demuestra la cantidad de oxido nitroso que se puede presentar dentro de los tanques de camiones con motores de diesel. Para este análisis nuestras variables dependientes es el óxido nitroso y las variables independientes son humedad, temperatura y presión. Este modelo de regresión lineal múltiple como podemos ver en la dispersión de los datos en algunas variables si se llega a presentar una relación lineal sin embargo algunas de ellas son de forma negativa por lo que en algunos casos las predicciones no serán acertadas o cercanas al verdadero valor. En cuanto al modelo podemos ver que el R-squared es de 0.8005 (80%), Adjusted R-squared es de 0.763 (76%) lo que quiere decir que la relación entre la variable dependiente y las variables independientes es muy buena, sin embargo el modelo aún necesita mucho reforzamiento ya que los coeficientes del modelo no tienen un valor estadístico importante.

Caso 2. Consumo de energía eléctrica

Se cree que la energía eléctrica que una planta química consume cada mes se relaciona con:

2.1. Los datos

y <- c(240, 236, 290, 274, 301, 316, 300, 296, 267, 276, 288, 261) 

x1 <- c(25, 31, 45, 60, 65, 72, 80, 84, 75, 60, 50, 38)
x2 <- c(24, 21, 24, 25, 25, 26, 25, 25, 24, 25, 25, 23)
x3 <- c(91, 90, 88, 87, 91, 94, 87, 86, 88, 91, 90, 89)
x4 <- c(100, 95, 110, 88, 94, 99, 97, 96, 110, 105, 100, 98)

datos <- data.frame(y, x1, x2, x3, x4)

kable(datos, caption = "Aspectos que se relacionan con el consumo de energía eléctrica en una plata química")
Aspectos que se relacionan con el consumo de energía eléctrica en una plata química
y x1 x2 x3 x4
240 25 24 91 100
236 31 21 90 95
290 45 24 88 110
274 60 25 87 88
301 65 25 91 94
316 72 26 94 99
300 80 25 87 97
296 84 25 86 96
267 75 24 88 110
276 60 25 91 105
288 50 25 90 100
261 38 23 89 98

2.2. Visualizando los datos

  • Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x1, y = y)) +
  geom_point(color = "orange", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ tempertura', x  =  'temperatura') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x2, y = y)) +
  geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ dias de mes', x  =  'dias de mes') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x3, y = y)) +
  geom_point(color = "purple", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ purezas del producto', x  =  'purezas del producto') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 

g4 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x4, y = y)) +
  geom_point(color = "red", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ produccion toneladas', x  =  'produccion toneldas') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g1 + g2 + g3 + g4

2.3. Desarrollo del modelo

Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el consumo de energía eléctrica \(y\) en función ~ de las cuatro variables \(x1\),\(x2\),\(x3\),\(x4\)

modelo <- lm(formula = y ~ ., data = datos)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ ., data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.758  -9.952   3.350   6.627  23.311 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -102.71324  207.85885  -0.494    0.636
## x1             0.60537    0.36890   1.641    0.145
## x2             8.92364    5.30052   1.684    0.136
## x3             1.43746    2.39162   0.601    0.567
## x4             0.01361    0.73382   0.019    0.986
## 
## Residual standard error: 15.58 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7447, Adjusted R-squared:  0.5989 
## F-statistic: 5.106 on 4 and 7 DF,  p-value: 0.0303
b0 = modelo$coefficients[1]
b1 = modelo$coefficients[2]
b2 = modelo$coefficients[3]
b3 = modelo$coefficients[4]
b4 = modelo$coefficients[5]
  • El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que ninguna de las variables \(x1,x2...x4\) son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en \(Pr(>|t|)\).
  • \(b0\)= -102.7132364
  • \(b1\)= 0.6053705
  • \(b2\)= 8.9236442
  • \(b3\)= 1.4374567
  • \(b4\)= 0.0136093

2.4. Le ecuación del modelo

\[yˆ=β0+β1(x1)+β2(x2)+β3(x3)+β4(x4)\] \[yˆ=-102.7132364+0.6053705(x1)+8.9236442(x2)+1.4374567(x3)+0.0136093(x3)\]

2.5. La predicción

Para un mes en que \(x1=75˚F, x2=24\) días, \(x3=90\) y \(x4=98\) toneladas. ¿Cúal es la predicción de consumo de energía eléctrica? \[yˆ=–102.7132+0.6054(75)+8.9236(24)+1.4374(90)+0.0136(98)=287.56\]

nuevo.dato <- data.frame(x1 = 75, x2 = 24, x3 = 90, x4 = 98)

prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)

paste("La predicción de consumo de energía eléctrica es:", round(prediccion, 2))
## [1] "La predicción de consumo de energía eléctrica es: 287.56"

2.6. Interpretación del caso

En este caso el conjunto de datos es de consumo de energía eléctrica en donde la variable dependiente es el consumo de energía eléctrica y las variables independientes son la temperatura ambiental promedio, el número de los días del mes, la pureza promedio del producto y las toneladas fabricadas del producto. Como podemos ver en los diagramas de dispersión en casi todas las variables se puede llegar a apreciar una regresión lineal positiva que casi cruza por algunos de los puntos sin embargo los valores del modelo R-squared vale 0.7447 (74%), Adjusted R-squared vale 0.5989 (59%) este siendo el ultimo que se toma en cuenta para casos de la “vida real” es muy bajo lo que quiere indicar que no hay una buena relación entre la variable dependiente y las variables independientes e igualmente en los coeficientes se puede observar que no hay relación estadística por lo cual este modelo no es muy apto para este caso.