DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

densidad.binomial <- function(x, size, prob) choose(size,x)*prob**x*(1-prob)**(size-x)
esperanza.binomial <- function(size, prob) sum((0:size)*choose(size,(0:size))*prob**(0:size)*(1-prob)**(size-(0:size)))
varianza.binomial <- function(size, prob) sum((0:size-esperanza.binomial(size, prob))**2*choose(size,(0:size))*prob**(0:size)*(1-prob)**(size-(0:size)))

A. Una medida de aislamiento preventivo obligatorio para contener la expansión de un virus mortal, el COVID-19, ha exito hasta el punto de que 40% de los habitantes de un país se han quedado en sus casas. Para verificar el acatamiento de la medida un grupo de 400 familias ha sido seleccionada para hacer un seguimiento a dicha medida. Con base en lo anterior encuentre las siguientes probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 200 familias?

choose(400,200)*0.4**200*(1-0.8)**(400-200)
## [1] 4.27203e-101
densidad.binomial(x = 200, size = 400, prob = 0.4)
## [1] 1.134711e-05
dbinom(x = 200, size = 400, prob = 0.4)
## [1] 1.134711e-05

En este ejercicio cuando se hcambia el porcentaje de 80% de la población que acata la norma a 40% se puede ver que la probabilidad es mucho menor.

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 320 familias?

choose(400,320)*0.8**320*(1-0.4)**(400-320)
## [1] 7.362841e+36
densidad.binomial(x = 320, size = 400, prob = 0.4)
## [1] 3.447044e-60

en el anterior caso podemos ver también que le número va en reducción ya que son menos las familias y el porcentaje que se cree que acatan la norma. ¿Y cómo máximo 200 cumplan con la norma de aislamiento preventivo obligatorio?

sum(densidad.binomial(0:200, 400, 0.4))
## [1] 0.9999788
sum(dbinom(x = 0:200, size = 400, prob = 0.40))
## [1] 0.9999788
pbinom(q = 200, size = 400, prob = 0.40, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.9999788

En el último caso, debido a que esas 200 personas se acercan al 40% de la población que acata la norma, la probabilidad de que estos permanezcan en casa es mucho mayor en la medica en que nos arroja valores muy cercanos a 1.

ensayos <- 400
pobabilidad.de.exito <- 0.40
valores.posibles <- 0:ensayos
fx.binomial <- dbinom(x = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito)
fbb = pbinom(q = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito, lower.tail = TRUE)
fx.binomial = data.frame(x = valores.posibles, "f(X)" = fx.binomial, "F(X)" = fbb)
#tail(fx.binomial)
library(ggplot2)
p1 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = f.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Densidad f(x)")
library(ggplot2)
p2 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = F.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Distribución F(x)")
library(gridExtra)
grid.arrange(p1, p2, nrow = 2, top = "Distribución binomial")

Una medida de aislamiento preventivo obligatorio para contener la expansión de un virus mortal, el COVID-19, ha exito hasta el punto de que 90% de los habitantes de un país se han quedado en sus casas. Para verificar el acatamiento de la medida un grupo de 400 familias ha sido seleccionada para hacer un seguimiento a dicha medida. Con base en lo anterior encuentre las siguientes probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 200 familias?

choose(400,200)*0.8**200*(1-0.9)**(400-200)
## [1] 4.27203e-101
densidad.binomial(x = 200, size = 400, prob = 0.9)
## [1] 7.26338e-91
dbinom(x = 200, size = 400, prob = 0.9)
## [1] 7.26338e-91

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 320 familias?

choose(400,320)*0.8**320*(1-0.9)**(400-320)
## [1] 4.120457e-26
densidad.binomial(x = 320, size = 400, prob = 0.9)
## [1] 9.632801e-10
dbinom(x = 320, size = 400, prob=0.90)
## [1] 9.632801e-10
sum(densidad.binomial(0:200, 400, 0.9))
## [1] 8.164977e-91
sum(dbinom(x = 0:200, size = 400, prob = 0.90))
## [1] 8.164977e-91
pbinom(q = 200, size = 400, prob = 0.90, lower.tail = TRUE)
## [1] 8.164977e-91
ensayos <- 400
pobabilidad.de.exito <- 0.90
valores.posibles <- 0:ensayos
fx.binomial <- dbinom(x = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito)
fbb = pbinom(q = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito, lower.tail = TRUE)
fx.binomial = data.frame(x = valores.posibles, "f(X)" = fx.binomial, "F(X)" = fbb)
#tail(fx.binomial)
library(ggplot2)
p1 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = f.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Densidad f(x)")
library(ggplot2)
p2 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = F.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Distribución F(x)")
library(gridExtra)
grid.arrange(p1, p2, nrow = 2, top = "Distribución binomial")

Una medida de aislamiento preventivo obligatorio para contener la expansión de un virus mortal, el COVID-19, ha exito hasta el punto de que 20% de los habitantes de un país se han quedado en sus casas. Para verificar el acatamiento de la medida un grupo de 400 familias ha sido seleccionada para hacer un seguimiento a dicha medida. Con base en lo anterior encuentre las siguientes probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 200 familias?

choose(400,200)*0.8**200*(1-0.2)**(400-200)
## [1] 1.772686e+80
densidad.binomial(x = 200, size = 400, prob = 0.2)
## [1] 6.864888e-41
dbinom(x = 200, size = 400, prob = 0.2)
## [1] 6.864888e-41

¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan cumplido estrictamente con la norma 320 familias?

choose(400,320)*0.8**320*(1-0.2)**(400-320)
## [1] 7.280218e+46
densidad.binomial(x = 320, size = 400, prob = 0.2)
## [1] 1.595685e-146
dbinom(x = 320, size = 400, prob=0.20)
## [1] 1.595685e-146

¿Y cómo máximo 200 cumplan con la norma de aislamiento preventivo obligatorio?

sum(densidad.binomial(0:200, 400, 0.2))
## [1] 1
sum(dbinom(x = 0:200, size = 400, prob = 0.20))
## [1] 1
pbinom(q = 200, size = 400, prob = 0.20, lower.tail = TRUE)
## [1] 1
ensayos <- 400
pobabilidad.de.exito <- 0.20
valores.posibles <- 0:ensayos
fx.binomial <- dbinom(x = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito)
fbb = pbinom(q = valores.posibles, size = ensayos, prob = pobabilidad.de.exito, lower.tail = TRUE)
fx.binomial = data.frame(x = valores.posibles, "f(X)" = fx.binomial, "F(X)" = fbb)
#tail(fx.binomial)
library(ggplot2)
p1 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = f.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Densidad f(x)")
library(ggplot2)
p2 <- ggplot(fx.binomial, aes(x = x, y = F.X.)) +
  geom_bar(aes(color = x), stat = "identity", fill = "white") + theme(legend.position = "none") + xlab("") + ylab("Distribución F(x)")
library(gridExtra)
grid.arrange(p1, p2, nrow = 2, top = "Distribución binomial")

Se puede ver que la probabilidad cambia dependiendo de que porcentaje de la población es la que se considera que sigue la norma. Entre menor seal el porcentaje de la población, mayor es la probabilidad de que estas personas sigan la norma de quedarse en casa. En ese sentido, se puede ver que cuando se hace uso de un porcentaje del 90% las probabilidades arrojan números muy pequeños, lo que quiere decir que no es muy probable que sigan la norma, a diferencia del 20% en donde la probabilidad de que sigan la norma es muy alta en la medida en que nos arroja números que oscilan entre 0.99 y 1.