Objetivo

Determinar probabilidades para eventos independientes.

Descripción

Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.

Sustento teórico

Se conoce la fórmula de la probabilidad condicional: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

ó bien por el contrario

\[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\]

Se entiende que para ambos casos los eventos están relacionados o lo que es lo mismo son eventos dependientes, uno depende del otro.

Ahora bien, se describe la regla para eventos independientes. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si \[P(B|A) = P(B)\] o \[P(A|B) = P(A)\] si se asume la existencia de probabilidad condicional son eventos independientes. Si no se da esa igualdad entonces, A y B son dependientes. (Walpole et al., 2012)

Asegugurándose de que son eventos independientes y para determinar la probabilidad de eventos independientes es necesario aplicar la fórmula siguiente:

\[P(A \cap B) = P(A)P(B)\]

Librerías

library(knitr)
library(gtools)

Ejemplo: El siguiente ejemplo demuestra la existencia de eventos independientes.

Considere el caso de la baraja:

include_graphics("../imagenes/baraja-poker.jpg")

Suceden dos eventos sacar dos cartas y reemplazarlas (voler a colocar en la baraja):

Si se toma como probabilidad condicional entonces: La probabilidad de que sea trebol dado que fue As: \[P(T | A) = \frac{P(T \cap A)}{P(A)}\]

\[\therefore\]

baraja <- c("AC","2C","3C","4C","5C","6C","7C","8C","9C","10C","JC","QC","KC","AP","2P","3P","4P","5P","6P","7P","8P","9P","10P","JP","QP","KP","AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT","AD","2D","3D","4D","5D","6D","7D","8D","9D","10D","JD","QD","KD")
n <- length(baraja) # Total de barajas

ases <- c('AC', 'AP', 'AT', 'AD') 
n.ases <- length(ases) # Número de ases
prob.as <- n.ases/n    # Probabilidad de que sea As
paste("La probabilida de que sea As es: ", prob.as, ". Es el denominador en la fórmula")
## [1] "La probabilida de que sea As es:  0.0769230769230769 . Es el denominador en la fórmula"
treboles <- c("AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT")
n.treboles <- length(treboles)
prob.trebol <- n.treboles / n
paste("La probabilida de que sea trebol es: ", prob.trebol )
## [1] "La probabilida de que sea trebol es:  0.25"
ases.inter.treboles <- intersect(ases, treboles)
n.ases.treboles <- length(ases.inter.treboles)
prob.ases.inter.treboles <- n.ases.treboles / n # P (T∩A)
paste("La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: ", prob.ases.inter.treboles, ". Es el numerador en la fórmula")
## [1] "La probabilidad de evento As interseccion con trebol es:  0.0192307692307692 . Es el numerador en la fórmula"
P.trebol.dado.as <- prob.ases.inter.treboles / prob.as
paste("La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As'", P.trebol.dado.as)
## [1] "La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As' 0.25"

La probabilidad de sacar un trebol dado que se conoce la probabilidad de un A es: \[P(T|A) = \frac{1}{4} = 0.25\]

y la probabilidad de sacar un trebol es:

\[P(T) = \frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25\] entonces se cumpla la igualdad para determianr que son eventos independientes: \[P(B|A) = P(B)\]

\[P(T|A) = P(A)\]

Casos de probabilidad para eventos independientes

1. Caso 1. Ambulancia y Carro de bomberos

Utilizar la fórmula: \[P(A \cap B) = P(A)P(B)\]

Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se le requiera es 0.92. En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. (Walpole et al., 2012)

Aplicando la fórmula para eventos que se giene la certeza de que son independientes \[P(carro \cap ambulancia) = P(carro) \cdot P(ambulancia)\]

p.carro.bomberos <- 0.98
p.ambulancia <- 0.92

paste("La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: ", round(p.carro.bomberos * p.ambulancia * 100,2), "%" )
## [1] "La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de:  90.16 %"

2. Caso 2. Canicas

include_graphics("../imagenes/canicas.jpg")

Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces? (content.nroc.org, n.d.)

El espacio muestral para la primera sacada tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}.

Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda sacada es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles:

canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral
##       [,1] [,2]
##  [1,] "B1" "B1"
##  [2,] "B1" "B2"
##  [3,] "B1" "R1"
##  [4,] "B1" "R2"
##  [5,] "B1" "V1"
##  [6,] "B2" "B1"
##  [7,] "B2" "B2"
##  [8,] "B2" "R1"
##  [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"
n <- nrow(espacio.muestral)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales
##      [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"
casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo
## [1] 0.16

El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden escoger en la segunda sacada. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos: \[{(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)}\]

cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales
##      [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"
casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo
## [1] 0.16

Otra forma de determinar y resolver el caso

canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)

prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n

prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R
## [1] 0.16

3. Caso 3. canicas (otro)

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.

Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? (HotMath, n.d.)

canicas <- c('R', 'R', 'R', 'R', 'V', 'V', 'V', 'A', 'A')
n <- length(canicas)

# Revolver las canicas
canicas <- sample(canicas, size = n )
canicas
## [1] "R" "R" "A" "V" "A" "R" "V" "R" "V"
prob.R <- length(which(canicas == 'R')) / n
prob.V <- length(which(canicas == 'V')) / n
prob.A <- length(which(canicas == 'A')) / n

paste("La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es: 7.41 %"

Referencias bibliográficas

content.nroc.org. (n.d.). Probabilidad de eventos independientes. https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.