Objetivo

Determinar la ecuación de regresión lineal mútiple y predecir valores

Descripción

Se muestra cómo utilizar la función de regresión lineal múltiple y con ello se determinan las ecuaciones de regesión lineal múltple para distintos datos de varios ejercicios.

Sustento teórico

En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión. La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.

Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x1, x2,..., xk\), la media de \(y |x1, x2,..., xk\) es el modelo de regresión lineal múltiple. (Walpole et al., 2012)

Muchos problemas de de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. (Urrutia Mosquera, 2011)

Al generar un modelo de regresión linel múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado. De igual forma, el valor de R2 ajustado o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad (Walpole et al., 2012). R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo.(Walpole et al., 2012)

Las librerías y configuración de números no científicos

library(dplyr)
library(knitr)
library(readr)
library(ggplot2)
library(patchwork) # PAra varias gráficos en el mismo renglón



options(scipen = 999) # Notación NO CENTÍFICA

Casos

Los ejercicios son tomados de libros y artículos de regresión.

Caso 1. Camiones con motores diesel

Se sometió a prueba un grupo de camiones ligeros con motores que utilizan diesel como combustible para saber si la humedad, la temperatura del aire y la presión barométrica influyen en la cantidad de óxido nitroso que emiten (en ppm). Las emisiones se midieron en distintos momentos y en diversas condiciones experimentales. (Walpole et al., 2012)

1.1. Los datos
humedad <- c(72.4, 41.6, 34.3, 35.1, 10.7, 12.9, 8.3, 20.1, 72.2, 24.0, 23.2, 47.4, 31.5, 10.6, 11.2, 73.3, 75.4, 96.6, 107.4, 54.9)
temperatura <- c(76.3, 70.3, 77.1, 68.0, 79.0, 67.4, 66.8, 76.9, 77.7, 67.7, 76.8, 86.6, 76.9, 86.3, 86.0, 76.3, 77.9, 
78.7, 86.8, 70.9)
presion <- c(29.18, 29.35, 29.24, 29.27, 29.78, 29.39, 29.69, 29.48, 29.09, 29.60, 29.38, 29.35, 29.63, 29.56, 29.48, 29.40, 29.28, 29.29, 29.03, 29.37)
oxido.nitroso <- c(0.90, 0.91, 0.96, 0.89, 1.00, 1.10, 1.15, 1.03, 0.77, 1.07, 1.07, 0.94, 1.10, 1.10, 1.10, 0.91, 0.87, 0.78, 0.82, 0.95)

datos <- data.frame(oxido.nitroso,  humedad, temperatura, presion)

kable(datos, caption = "Factores ambientales que influyen en la formación de óxido nitroso en motores disel en camiones")
Factores ambientales que influyen en la formación de óxido nitroso en motores disel en camiones
oxido.nitroso humedad temperatura presion
0.90 72.4 76.3 29.18
0.91 41.6 70.3 29.35
0.96 34.3 77.1 29.24
0.89 35.1 68.0 29.27
1.00 10.7 79.0 29.78
1.10 12.9 67.4 29.39
1.15 8.3 66.8 29.69
1.03 20.1 76.9 29.48
0.77 72.2 77.7 29.09
1.07 24.0 67.7 29.60
1.07 23.2 76.8 29.38
0.94 47.4 86.6 29.35
1.10 31.5 76.9 29.63
1.10 10.6 86.3 29.56
1.10 11.2 86.0 29.48
0.91 73.3 76.3 29.40
0.87 75.4 77.9 29.28
0.78 96.6 78.7 29.29
0.82 107.4 86.8 29.03
0.95 54.9 70.9 29.37
  • Variable depeneidnete \(y\) = Oxido Nitroso
  • Varible independiete \(x1\) = humedad
  • Varible independiete \(x2\) = temperatura
  • Varible independiete \(x3\) = presion

1.2. Visualizando los datos

  • Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = humedad, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ humedad', x  =  'humedad') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 

g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = temperatura, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "orange", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ temperatura', x  =  'tempertura') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = presion, y = oxido.nitroso)) +
  geom_point(color = "darkblue", size = 2) +
  labs(title  =  'oxido.nitroso ~ presion', x  =  'presion') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

g1 + g2 + g3

1.3. Desarrollo del modelo

  • Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el óxido nitroso \(y\) en función ~ de las tres variables \(x1,x2,x3\)
modelo <- lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = oxido.nitroso ~ ., data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.11799 -0.02526  0.01345  0.04103  0.06523 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept) -3.5077781  3.0048641  -1.167  0.26017   
## humedad     -0.0026250  0.0006549  -4.008  0.00101 **
## temperatura  0.0007989  0.0020451   0.391  0.70121   
## presion      0.1541550  0.1013675   1.521  0.14784   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.05617 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8005, Adjusted R-squared:  0.763 
## F-statistic:  21.4 on 3 and 16 DF,  p-value: 0.000007609
b0 = modelo$coefficients[1]
b1 = modelo$coefficients[2]
b2 = modelo$coefficients[3]
b3 = modelo$coefficients[4]

  • El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que las variables temperatura y humedad no son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en \(Pr(>|t|)\), sólo la humedad es estadísticamente significativa.

  • \(b0=\) -3.5077781

  • \(b1=\) -0.002625

  • \(b2=\) 0.0007989

  • \(b3=\) 0.154155

1.4. Le ecuación del modelo

\[yˆ =\beta0 + \beta1(x1) + \beta3(x2) + \beta4(x3)\]

1.5. La predicción

Para 50% de humedad, una temperatura de 76˚F y una presión barométrica de 29.30, ¿cuánto es la cantidad estimada de óxido nitroso emitido?

\[yˆ =−3.507778 − 0.002625(50.0) + 0 .000799(76.0) + 0 .1541553(29.30) = 0.9384 ppm.\]

nuevo.dato <- data.frame(humedad = 50, temperatura = 76, presion =29.30)

prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)

paste("La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es:", round(prediccion, 2))
## [1] "La cantidad estimada de óxido nitroso emitido es: 0.94"

1.6. Interpretación del caso

  • Los valores de Multiple R-squared: 0.8005, Adjusted R-squared: 0.763 representan lo siguiente:

  • El valor del R2 (Multiple R-squared) es de 0.8005, traduciéndose en que el modelo permite explicar el 80% de la variabilidad del óxido nitroso. El valor del R2 –ajustado es de 0.763, valor que expresa que hay buen ajuste entre los datos reales y los datos modelados de predicción.

  • La varible que más significado estadístico tiene con relación al óxido nitroso es humedad: humedad **.

Caso 2. Consumo de energía eléctrica

Se cree que la energía eléctrica que una planta química consume cada mes se relaciona con:

2.1. Los datos

y <- c(240, 236, 290, 274, 301, 316, 300, 296, 267, 276, 288, 261) 

x1 <- c(25, 31, 45, 60, 65, 72, 80, 84, 75, 60, 50, 38)
x2 <- c(24, 21, 24, 25, 25, 26, 25, 25, 24, 25, 25, 23)
x3 <- c(91, 90, 88, 87, 91, 94, 87, 86, 88, 91, 90, 89)
x4 <- c(100, 95, 110, 88, 94, 99, 97, 96, 110, 105, 100, 98)

datos <- data.frame(y, x1, x2, x3, x4)

kable(datos, caption = "Aspectos que se relacionan con el consumo de energía eléctrica en una plata química")
Aspectos que se relacionan con el consumo de energía eléctrica en una plata química
y x1 x2 x3 x4
240 25 24 91 100
236 31 21 90 95
290 45 24 88 110
274 60 25 87 88
301 65 25 91 94
316 72 26 94 99
300 80 25 87 97
296 84 25 86 96
267 75 24 88 110
276 60 25 91 105
288 50 25 90 100
261 38 23 89 98

2.2. Visualizando los datos

  • Diagrama de dispersión y tendencia lineal
g1 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x1, y = y)) +
  geom_point(color = "orange", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ tempertura', x  =  'temperatura') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g2 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x2, y = y)) +
  geom_point(color = "forestgreen", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ dias de mes', x  =  'dias de mes') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g3 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x3, y = y)) +
  geom_point(color = "purple", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ purezas del producto', x  =  'purezas del producto') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 

g4 <- ggplot(data = datos, mapping = aes(x = x4, y = y)) +
  geom_point(color = "red", size = 2) +
  labs(title  =  'consumo ~ produccion toneladas', x  =  'produccion toneldas') +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "black") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
g1 + g2 + g3 + g4

2.3. Desarrollo del modelo

  • Generando el modelo de regresión lineal múltiple, el óxido nitroso \(y\) en función ~ de las tres variables \(x1,x2,x3\)
modelo <- lm(formula = y ~ ., data = datos)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ ., data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.758  -9.952   3.350   6.627  23.311 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -102.71324  207.85885  -0.494    0.636
## x1             0.60537    0.36890   1.641    0.145
## x2             8.92364    5.30052   1.684    0.136
## x3             1.43746    2.39162   0.601    0.567
## x4             0.01361    0.73382   0.019    0.986
## 
## Residual standard error: 15.58 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7447, Adjusted R-squared:  0.5989 
## F-statistic: 5.106 on 4 and 7 DF,  p-value: 0.0303
b0 = modelo$coefficients[1]
b1 = modelo$coefficients[2]
b2 = modelo$coefficients[3]
b3 = modelo$coefficients[4]
b4 = modelo$coefficients[5]

  • El resumen del modelo con la función summary(modelo) identifica que ninguna de las variables \(x1,x2...x4\) son estadísticamente significativas dado que presentan valores por encima de 0.5 en \(Pr(>|t|)\).

  • \(b0=\) -102.7132364

  • \(b1=\) 0.6053705

  • \(b2=\) 8.9236442

  • \(b3=\) 1.4374567

  • \(b4=\) 0.0136093

2.4. Le ecuación del modelo

\[yˆ =\beta0 + \beta1(x1) + \beta3(x2) + \beta4(x3) + \beta4(x3)\]

2.5. La predicción

Para un mes en que \(x1 = 75˚F\), \(x2 = 24\) días, \(x3 = 90%\) y \(x4 = 98\) toneladas. ¿Cúal es la predicción de consumo de energía eléctrica?

\[yˆ = –102.7132 + 0.6054x_1 + 8.9236x_2 + 1.4374x_3 + 0.0136x_4= 287.56\]

nuevo.dato <- data.frame(x1 = 75, x2 = 24, x3 = 90, x4 = 98)

prediccion <- predict(modelo, newdata = nuevo.dato)

paste("La predicción de consumo de energía eléctrica es:", round(prediccion, 2))
## [1] "La predicción de consumo de energía eléctrica es: 287.56"

2.6. Interpretación del caso

  • Las variables independientes no son estadísticamente significativas para la variable dependiente.
  • Multiple R-squared: 0.7447, Adjusted R-squared: 0.5989
  • El valor del R2 (Multiple R-squared) es de 0.7447, traduciéndose en que el modelo permite explicar el 74% de la variabilidad del consumo de energía eléctrica. El valor del R2 –ajustado es de 0.5989, valor que expresa que hay un regular ajuste entre los datos reales y los datos modelados de predicción.

Referencias bibliográficas

Urrutia Mosquera, J. A. (2011). Evaluación de la robustez de un modelo de regresión múltiple para predecir las ventas diarias de un hipermercado en pereira, risaralda. https://www.researchgate.net/publication/237041228_EVALUACION_DE_LA_ROBUSTEZ_DE_UN_MODELO_DE_REGRESION_MULTIPLE_PARA_PREDECIR_LAS_VENTAS_DIARIAS_DE_UN_HIPERMERCADO_EN_PEREIRA_RISARALDA

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Novena Edición). Pearson.