Hw1

假设某险种的损失记录如下。

年底	损失次数	平均损失金额（元）
2017	200	1200
2018	400	1500

如果年利率为 10%，并用参数为 (3, \(\lambda\)) 的帕累托分布拟合 2016 年的平均损失金额，求 \(\lambda\) 的矩估计值。

假设某保单的损失服从指数分布，密度函数为 \[f(x;\lambda)=\lambda\exp(-\lambda x), x>0,\] 其中 \(\lambda\) 为未知参数。如果该保单过去各年的损失观测值为 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，求参数 \(\lambda\) 的极大似然估计值。

计算混合指数分布 \[f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i \lambda_i \exp(-\lambda_i x), x>0, \lambda_i >0, a_i >0, \sum_{i=1}^{n}a_i=1\] 的矩母函数。

假设保单规定的免赔额为 20，而保单的损失服从参数为 0.2 的指数分布，求保险人对该保单的期望赔款。

假设一组损失数据的均值为 100，标准差为 223.607。

运用矩估计求得正态分布，帕累托分布，威布尔分布的参数估计值。
用正态分布，帕累托分布和威布尔分布分布计算在 90%，99% 和 99.9% 水平的 VaR 和 TVaR

假设被保险人的损失 \(X\) 服从伽马分布，其中形状参数为 2，尺度参数为 1000。两份保单如下：

保单 A 的免赔额为100。
保单 B 的免赔额为100，赔偿限额为 3000。（\(d=100, u=3100\))
- 分别计算保险公司对保单 A 和保单 B 的期望赔款（含零赔款在内）。
- 如果发生10% 的通货膨胀，上述结果将如何变化？
- 如果通胀函数为 \(1.1x^{0.5}\)，上述结果将如何变化？

对于伽马分布，其中形状参数为 2，尺度参数为 1000，绘制以下图形：

止损保费和平均超额损失随着免赔额增加而变化的曲线图
有限期望值随着限额变化而变化的曲线图
把上述分布改为帕累托\((\alpha = 2, \theta = 200)\) 和指数分布 (\(\theta = 1/200\))
注意：可以使用 actuar 包的 ppareto2 函数。

假设个体风险服从参数为 \(\left( \lambda \Theta \right)\) 泊松分布，结构函数 \(\Theta\) 为均值为1，方差为 \(1/\alpha\) 伽马分布，相关参数表示为 \(\left( \alpha ,\alpha \right)\)，且密度函数为

\[{{f}_{\Theta }}(\theta )=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{\alpha }^{\alpha }}{{\theta }^{\alpha -1}}\exp (-\alpha \theta ),\theta >0\]

推导出混合泊松-伽马分布等价的负二项分布，写出概率函数 \(P\left( N=k \right)\)。
当 \(\alpha =1,\ \ \lambda =1.2\) 时，运用 R 软件 dnbinom 函数求出 \(k=1,2,...,10\) 对应的概率。

alpha = 1
lambda = 1.2

for (k in 1:10)
{
  print(dnbinom(k,size=alpha,mu=lambda/alpha))
}

## [1] 0.2479339
## [1] 0.1352367
## [1] 0.07376545
## [1] 0.0402357
## [1] 0.02194675
## [1] 0.01197095
## [1] 0.00652961
## [1] 0.003561606
## [1] 0.001942694
## [1] 0.001059651

假设某保险业务的累积损失 \(S\) 服从复合泊松分布，泊松分布的参数为 20。每次损失金额服从均值为 100 的指数分布。用平移伽马近似求累积损失的 99% 的分位数。

某保险公司承保了 160 个建筑物火灾保险，有关数据如下表。假设对一个建筑物，其发生火灾的概率是 0.04，每个建筑物的火灾为相互独立事件，在发生赔款的条件下，保险公司的赔款额是从 0 到最高赔款额的均匀分布。

令 \(S\) 为保险公司的累积赔款，求累积赔款的均值和方差，以及当 \(\theta\) 为多少时， \[\Pr(S<(1+\theta)E(S))=99\%\]

建筑物种类	最高赔款额（元）	保单数
1	10000	80
2	20000	35
3	30000	25
4	50000	15
5	100000	5

损失次数 \(N\): 泊松分布 (\(\lambda = 3\))

损失金额 \(X_i\): 帕累托(\(\alpha = 4, \theta =10\))
对每次损失的一般免赔额: \(d = 6\)
对每次损失的赔偿限额：18, 故 \(u = 24\)
共保比例: 75%
求保险公司累积赔款 \(S\) 的分布

假设损失次数服从负二项分布, 参数为 (\(r = 2, \beta = 3\)),

每次损失的金额服从对数正态分布, 参数为 (\(\mu=5, \sigma=2\)),
计算累积损失在 90%、95% 和 99% 水平下的 VaR 和 TVaR。
注：累积损失的分布用随机模拟。

beta = 3
r = 2

#create zero vecotr saving total loss vector for 10000 samples
total_loss <- rep(0,10000)

#create loss numbers vector 
total_number <- rnbinom(10000,size=r,prob=1/(1+beta))

#simulate total loss for all samples
for(i in 0:10000)
{
  total_loss[i] <- sum(rlnorm(total_number,5,2))
}

#90% VaR and TVaR
VaR_90percent = quantile(total_loss,0.9)
TVaR_90percent = mean(total_loss[total_loss>VaR_90percent])
VaR_90percent; TVaR_90percent

##      90% 
## 11918029

## [1] 12536227

#95% VaR and TVaR
VaR_95percent = quantile(total_loss,0.95)
TVaR_95percent = mean(total_loss[total_loss>VaR_95percent])
VaR_95percent;TVaR_95percent

##      95% 
## 12300873

## [1] 12991815

#99% VaR and TVaR
VaR_99percent = quantile(total_loss,0.99)
TVaR_99percent = mean(total_loss[total_loss>VaR_99percent])
VaR_99percent;TVaR_99percent

##      99% 
## 13368570

## [1] 14242459

某团体意外伤害保险的有关数据如下：

类别	人数	概率	保险金（万元）
1	100	0.01	50
2	120	0.02	40
3	200	0.025	45
4	400	0.018	55
5	260	0.015	60
6	150	0.01	65

计算：保险公司收取多少保险费可以保证保费不足支付保险金的概率不超过1%。

损失次数服从泊松 (\(\lambda = 3\))，

损失金额服从帕累托(\(\alpha = 4, \theta =10\))，
对每次损失的一般免赔额为 6，对每次损失的赔偿限额为

library(actuar)

## 
## Attaching package: 'actuar'

## The following object is masked from 'package:grDevices':
## 
##     cm

#create zero vecotr saving total loss vector for 10000 samples
total_loss <- rep(0,10000)

#create loss numbers vector 
total_number <- rpois(10000,3)

#parameter
coinsurance = 0.75
limit = 18
deductible = 6

#simulate total loss for all samples
for(i in 0:10000)
{
  total_loss[i] <- sum(coinsurance*min(max(actuar::rpareto(total_number[i],3,4)-deductible,0),limit))
 }

#plot emperical cumulative density function
plot.ecdf(total_loss,do.points=FALSE, verticals=TRUE)

#plot emperical cumulative density function for loss larger than 0
total_payment <- total_loss[total_loss>0]
plot.ecdf(total_payment,do.points=FALSE, verticals=TRUE)

#probability that total loss is larger than 0
length(total_payment)/length(total_loss)

## [1] 0.1774

#summary for loss payment
summary(total_payment)

##      Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
##  0.000981  0.798264  1.981997  3.386827  4.536530 13.500000

18， - 共保比例为 75%。 - 应用随机模拟求保险公司累积赔款 S 的分布。

Hw1

韩昕妤201830094