Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilida de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad cpndicional utilizando la fórmula citada más adelante.
La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.(Mendenhall et al., 2010)
Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.(Benítez Morales, n.d.)
Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades. Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.(Cevallos et al., 2018)
La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igua a 1 \[0 < p(E) < 1\]
Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o gual a uno.
Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el dia de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.
La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota \[P(Evento Seguro) = 1\]
Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso \(\$\) Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabildiad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a \(\$1\) un peso .
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] Ejemplo. si lanzamos una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila. \[P(sello) = 1/2\] \[P(aguila) = 1/2\] \[\therefore\] \[P(sello\cup aguila) = P(sello) + P(aguila) = 1/2+1/2 = 1\]
En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1. \[\sum _{i=1}^{n}P(E) = P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})+....P(E_{n}) = 1)\]
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
\[P(A) = X\] \[\therefore\] \[P(A)'= 1 - P(A) = 1 - X\] o también se puede expresar matemáticamente como: \[P(A)\complement = 1 - P(A) = 1 - X\] Ejemplo: Si de un total de personas existen un \(60\%\) del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?. \[P(mujeres) = 0.60\] \[P(mujeres)' = 1 - 0.60 = 0.40\] o el \(40\%\) es el complemento del subconjuto mujeres.
Suponiendo que \(P(A)\) y \(P(B)\) representan las probabilidades para los dos eventos \(A\) y \(B\), entonces \(P(A \cup B)\) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Entonces la \(P(A \cup B) \neq 0\)
Si no hay elementos en común entre un conjunto A y B entonces se dice que la probabilidad de la intesección entre ambos es cero \(P(A\cap B) = 0\)
En dado caso de que si existan elementos en común entre un subconjUNto \(A\) y \(B\) \(\therefore\) \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]
El cálculo de las probabilidades se determina en el entendido de que si se conoce el número de casos de un un subconjunto y el número total de casos del universo, la probabilidad es determinando la frecuencia relativa.
\[P(conjunto) = casos / n\] siendo \(casos\) la frecuencia y \(n\) el total de elementos de un universo.
Ejemplo: En el caso del ejemplo de las 100 personas y existen 40 hombres, ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona y que ésta se del género masculino?: \[n = 100\] \[casos = 40\] \[\therefore\] \[P(hombres) = \frac{casos}{n} = \frac{40}{n} = 0.40\]
La probabilidad de elegir a una persona del género masculino dentro de un conjunto de 100 personas es del \(40\%\)
De acuerdo a (Benítez Morales, n.d.) se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso \(A\), conociendo, que también se da un suceso \(B\)
En el libro de (Mendenhall et al., 2010) se menciona que la probabilidad de un evento \(A\), dado que el evento \(B\) ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de \(A\), dado que \(B\) ha ocurrido, denotada por \[P(A | B)\]
La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
ó bien por el contrario \[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\] Siempre y cuando en ambos casos la \(P(B)\ne0\) y \(P(A) \ne0\)
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?, se entiende que dado que sea fumador.(Anderson et al., 2008) \[A = \{hipertensos\}\] \[B=\{fumadores\}\] Se busca encontrar: \[ P(A | B) = \{hipertenso.dado.que.sea.fumador\}\therefore P(A | B) = ?\]
\[ B = \{fumadores\}\therefore P(B) = 0.50\] \[P(A \cap B) = \{hipertenso.y.fumador\} = 0.10 \] \[\therefore\] \[P(A | B) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.10}{0.50} = 0.20 \therefore\]
La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de \(0.20\) o del \(20\%\)
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A) = 0.60 \] \[P(B) = 0.40\]
\[P(A∩B) = 0.18\]
Calcular:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45\]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A | B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilida de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilida de que se de A dado B es: 45 %"Entonces: \(P(A | B)\)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilida de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilida de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al., 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice un viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\[P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore\]
\[P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51\]
La probabilidad de que que trabaje es: \[P(trabajan) = n.trabajan / n.personas = 600/900 = 0.66\]
y finalmente conforme la fórmula: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
\[P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76\]
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es $ P(D) = 0.83 $, la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(A) = 0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es $P(D ∩ A) = 0.78 $
\[P(A | D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94 \] * Incicializamos variables
prob.D <- 0.83
prob.A <- 0.82
prob.A.inter.D <- 0.78prob.A.dado.D <- prob.A.inter.D / prob.D
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.A.dado.D * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"\[P(D | A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95 \]
prob.D.dado.A <- prob.A.inter.D / prob.A
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.D.dado.A * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas le da a su clase dos exámenes. * El 30% de la clase paso ambos exámenes, * El 45% de la clase paso el primer examen. * ¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\] \[P(Ex1) = 0.45\] \[therefore\] \[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10th ed.). Cengage Learning,
Benítez Morales, A. (n.d.). Probabilidad y estadística, apuntes digitales. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, Centro de Innovación para el Desarrollo y la Capacitación en Materiales Educativos. http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html
Cevallos, L., Zambrano, J., Leyva, M., Yudelnabis, & Smarandache, F. (2018). Enfoque didáctico de la teoría de conjuntos y probabilidades. Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
HotMath. (n.d.). HotMath. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability
matemovil. (n.d.). Probabilidad condicional, ejercicios resueltos. https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/
Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística (13th ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2007). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (Octava Edición). Pearson Education.