1.

Se envían paquetes de 100 bits por un canal de comunicación. Un bit transmitido tiene una probabilidad \(\varepsilon=0.01\) de ser recibido con un error (un 0 se recibe como 1 o al contrario) independiente de la corrección de cualquier otro bit. Los paquetes se han codificado de tal forma que si ocurren tres o menos errores en el paquete, éstos pueden ser corregidos. Si hay más de tres errores de transmisión, el mensaje será decodificado con errores.

a) Sea \(S_{k,100-k}\) el evento en que un paquete recibido tiene \(k\) bits con error y \(100-k\) bits decodificados correctamente. Cuál es \(P[S_{k,100-k}]\) para \(k=0,1,2,3\)? Rta/: Se menciona que minimo hay tres bits con errores que no se podran corregir. sus probabilidades son:

x 0 1 2 3
f(x) 0.01 0.01 0.01 0.01
F(x) 0.01 0.02 0.03 0.04

\(P(k)=0.04=4\%\) y \(P(100-k)=1-P(k)=1-0.04=0.96=96\%\)

b) Sea \(C\) el evento en el que un evento es decodificado correctamente. Cuál es \(P[C]\)? Rta/: \(P(c)=96\%\)

c) Ahora suponga que el canal de comunicación tiene diferentes probabilidades de error cuando transmite un 0 y un 1. Cuando se envía un 1 se recibe un 1 con una probabilidad de 0.01. Y cuando se envía un 0 se recibe un 1 con probabilidad 0.03. Los ceros y los unos son igualmente probables. Los paquetes se han codificado de manera que si se reciben cinco o menos bits con errores el paquete se puede decodificar correctamente. Simule la transmisión de 10000 paquetes de 100 bits. Y cuente el número de paquetes decodificados correctamente. Rta/:

bino.gen <- function (samples = 10000, n = 100, pi = 0.5)
{
  values <- sample(c(0, 1), samples * n, replace = TRUE,
                   prob = c(1 - pi, pi))
  value.mat <- matrix(values, ncol = n)
  Successes <- apply(value.mat, 1, sum)
  a1 <- round((table(Successes)/samples), 3)
  b1 <- round(dbinom(0:n, n, pi), 3)
  names(b1) <- 0:n
  hist(Successes, breaks = c((-0.5 + 0):(n + 0.5)), freq = FALSE,
       ylab = "", col = 13, ylim = c(0, max(a1, b1)),
       main = " Theoretical Values Superimposed
        Over Histogram of Simulated Values")
  x <- 0:n
  fx <- dbinom(x, n, pi)
  lines(x, fx, type = "h")
  lines(x, fx, type = "p", pch = 16)
  list(simulated.distribution = a1, theoretical.distribution = b1)
}
###
set.seed(31)
bino.gen(samples = 1000, n = 5, pi = 0.5)                 

## $simulated.distribution
## Successes
##     0     1     2     3     4     5 
## 0.023 0.174 0.311 0.308 0.153 0.031 
## 
## $theoretical.distribution
##     0     1     2     3     4     5 
## 0.031 0.156 0.312 0.312 0.156 0.031

2.

El gerente de una empresa de ventas de boletas para conciertos quiere mejorar la atención a los clientes. Generalmente la gente hace hasta tres intentos de llamar para comprar las boletas y si no logran comunicarse se dan por vencidos. El gerente quiere asegurarse de que se atienda al menos el 95% de los clientes. Sea \(p\) la probabilidad de que una llamada sea atendida. ¿Cuál es el valor mínimo de \(p\) necesario para lograr la meta de servicio?

3.

El número de buses que llegan a una estación de Transmilenio en un período de \(T\) minutos es una variable \(B\) con distribución Poisson cuyo valor esperado es \(T/5\) minutos.

a) Determine la FMP de \(B\). Rta/: Sea: \(B\)= Número de buses por intervalo de tiempo. Variable aleatoria \(\lambda\)= \(\frac{T}{5}\) La FMP (función de masa de probabilidad): \(f(b)=P(B=b)=\frac{e^{-\lambda}.\lambda^b}{b!}\)

b) Cuál es la probabilidad de que en un intervalo de dos minutos lleguen tres buses? Rta/: Sea: \(T=2 min.\) \(\lambda=\frac{2}{5}=0.4\)

dpois(x = 3, lambda = 0.4)                 
## [1] 0.00715008

c) Cuál es la probabilidad de que en un intervalo de diez minutos no llegue ningún bus? Rta/: Sea: \(T=10 min.\) \(\lambda=\frac{10}{5}=2\)

dpois(x = 0, lambda = 2)                 
## [1] 0.1353353

d) Cuánto tiempo es necesario esperar para que llegue al menos un bus, con una probabilidad de 0.99? Rta/: Sea: \(T=x\) \(\lambda=\frac{x}{5}\) \(P(B=1)=0.99=\frac{e^{-\lambda}.\lambda^1}{1!}=\lambda e^{-\lambda}\) \(\frac{x}{5}e^{\frac{x}{5}}=0.99\) \(xe^{\frac{x}{5}}=4.95\) \(x\approx2.81757 min\) imagen:

4.

En internet, los datos se transmiten en paquetes. En un modelo simple del tráfico de la World Wide Web el número de paquetes \(N\) necesario para transmitir una página web depende de si tiene imágenes. Si la página contiene imágenes (evento \(I\)), entonces \(N\) es unifromemente distribuido entre 1 y 50 paquetes. Si la página es puro texto (evento \(T\)), entonces \(N\) está uniformemente distribuida entre 1 y 5 paquetes. Suponga que la probabilidad de que una página contenga gráficos es de 1/4. Encuentre:

\(P(I)=\frac{1}{4}\)

\(P(T)=\frac{3}{4}\)

a) La FMP condicional \(P_{N|I}(n)\).

\(P_{N|I}(n) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{200} = 0.005\)

b) La FMP condicional \(P_{N|T}(n)\).

\(P_{N|T}(n) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{20} = 0.15\)

c) La FMP \(P_N(n)\).

\(P_N(n) = \frac{3}{20} + \frac{1}{200} = \frac{600+20}{4000} = \frac{62}{400} = \frac{31}{200} = 0.155\)

d) La FMP condicional \(P_{N|N\le10}(n)\).

\(P_N(n) = \frac{3}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{20} = 0.2\)

e) La esperanza condicional \(E[N|N\le10]\).

\(E[N|N\le10] = \frac{1}{15} \cdot (2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 4.6667\)

f) La varianza condicional \(\text{Var}[N|N\le10]\).

5.

Un fabricante de teléfonos celulares ofrece una garantía de un año. Si el teléfono falla, por cualquier razón atribuible al fabricante, se remplaza el teléfono por uno nuevo. Un buen número de ensayos muestran que el tiempo hasta la falla (\(T\)) está bien representado por la siguiente función de densidad de probabilidad:

$$f_T(t)=\begin{cases}0.0125\, e^{-0.0125\,t}, & 
\text{para $t>0$}\\0 & \text{C.C.}  \end{cases}$$

a) Qué porcentaje de los teléfonos tendrán que ser remplazados durante el período de garantía? Rta/: Sea: \(t=1 \text{ año}\) \(f_T(t=1)=0.0125\, e^{-0.0125}=0.012344=1.234\%\) b) El costo de fabricación de cada teléfono es de US$150 y la ganancia que obtiene el fabricante por cada uno es US$50. Qué tan buen negocio es éste? Considere una variable aleatoria \(U\) que represente la utilidad recibida por cada teléfono. Rta/: Sea: \(U\sim exp[\lambda]\) \[ f(u \lambda)=\begin{cases}\lambda\, e^{-\lambda\,u}, & \text{u>0}\\0 & \text{c.c} \end{cases}\] El valor esperado es: \(E[u]=\frac{1}{\lambda}\) donde \(\lambda=0.0125\) el valor esperado sería \(E[u]=80\)

6.

Suponga que un nuevo bombillo LED se quemará después de \(T\) horas, donde \(T\in[0,\infty)\), tiene una distribución exponencial con \[f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t},\] (en este contexto \(\lambda\) se suele llamar la tasa de falla del bombillo).

a) Se ha estimado que \(\lambda=0.000125\). Encuentre la probabilidad de que el bombillo no se quemará antes de \(T\) horas. Esta probabilidad a veces se llama la confiabilidad de un componente.

Mediante la probbilidad acumulada, es posible calcular la probabilidad que el bombillo no se queme antes de \(T\) horas.

\[F(x) = 1 - e^{- \lambda \cdot T}\]

b) Para qué valor de \(T\) la confiabilidad del bombillo es \(1/2\)?

lambda <- 0.000125
Fx = 1/2
t = log(1-Fx)/(-lambda)
t
## [1] 5545.177

Después de 5545 horas, 10 minutos y aproximadamente 37.2 segundos, el bombillo tendrá una confiabilidad del 50 % de quemarse.

c) Dado que la lámpara ha durado 2000 horas, halle la probabilidad de que dure otras 200 horas.

lambda <- 0.000125
    
1-pexp(200,lambda)
## [1] 0.9753099

Dado que la lámpara ya ha durado 2000 horas, esta tendrá una probabilidad de \(97.531 \%\) de funcionar otras 200 horas.

d) Encuentre la probabilidad de que el bombillo se queme en la hora 5001, es decir, \(5000< T\le 5001\), dado que ya duró 5000.

lambda <- 0.000125
    
pexp(5001, lambda, lower.tail = TRUE) / pexp(5000, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.8683709

Hay una probabilidad del \(86.8371 \%\) de fallar

7.

El nivel de nicotina en el plasma en los fumadores se puede representar como \(T\sim N(315,131)\). Las unidades son nanogramos/mililitro.

a) Cuál es el porcentaje de fumadores con niveles de nicotina inferiores a 300 ng/ml? Rta/: Sea: \(\mu=315\),\(\sigma=131\), \(t_i=300\) entonces \(Z=\frac{300-315}{131}=-0.1145\)

pnorm(300,315,131)                 
## [1] 0.4544192

imagen:

b) Qué fracción de los fumadores tiene niveles de nicotina entre 300 y 500? Rta/:

pnorm(500,315,131)-pnorm(300,315,131)                
## [1] 0.4666373

imagen:

c) Si se van a hacer pruebas a 20 fumadores, cuál es la probabilidad de que no haya más de uno con niveles de nicotina mayores que 500? Rta/: El evento \(A\) de niveles mayores de 500ng/ml:

1- pnorm(500,315,131)               
## [1] 0.07894352

imagen:

Ahora el evento \(B\) para la muestra de 1 de 20 es: \(P=\frac{1}{20}=0.05\)

La probabilidad conjunta de los eventos es igual a: \(P(A \cap B)= P(A).P(B)= 0.003947=0.3947\%\)

d) Cuál es el nivel \(T_{a}\) tal que \(P[T>T_{a}]=0.9\) Rta/:

1-pnorm(147,315,131)               
## [1] 0.9001563

A ensayo y error el valor aproximado es \(T_a \approx 147\) imagen:

8.

Considere los datos de la copa mundo de fútbol en el archivo SOCCER. Los datos observados y esperados de goles en un juego de 90 minutos en el ejemplo “Poisson: World Cup Soccer Example” en el texto (ejemplo 4.4, pag. 258 y 4.18, pag. 280). Para verificar que la tasa de llegadas \(\lambda\) es constante, calcule el número esperado y observado de goles en períodos de 45, 15, 10, 5 y 1 minutos. Calcule la media y la desviación estándar para los valores observados y esperados para cada intervalo de tiempo. Con base en esos resultados, ¿cree que se cumple la proporcionalidad de la probabilidad de ocurrencia en un intervalo suficientemente corto con respecto a la longitud del intervalo?

9.

Haga mil simulaciones del juego de la rueda de la fortuna: Cada vez que se hace girar la rueda, tiene una probabilidad uniformemente distribuida de dar un número en \([0,1]\). En cada turno se hacen \(k\) lanzamientos con resultados \(x_1, x_2, \ldots, x_k\) y se define la variable aleatoria \(Y\) como el máximo de los \(k\) resultados (\(Y=\max\{x_1, x_2, \ldots, x_k\}\)). Calcule el valor esperado de la variable \(Y\), \(E[Y]\), en función de \(k\), para \(k=2,\ldots,5\). Rta/:

bino.gen <- function (samples = 1000, n = 2, pi = 0.5)
{
  values <- sample(c(0, 1), samples * n, replace = TRUE,
                   prob = c(1 - pi, pi))
  value.mat <- matrix(values, ncol = n)
  Successes <- apply(value.mat, 1, sum)
  a1 <- round((table(Successes)/samples), 3)
  b1 <- round(dbinom(0:n, n, pi), 3)
  names(b1) <- 0:n
  hist(Successes, breaks = c((-0.5 + 0):(n + 0.5)), freq = FALSE,
       ylab = "", col = 13, ylim = c(0, max(a1, b1)),
       main = " Theoretical Values Superimposed
        Over Histogram of Simulated Values")
  x <- 0:n
  fx <- dbinom(x, n, pi)
  lines(x, fx, type = "h")
  lines(x, fx, type = "p", pch = 16)
  list(simulated.distribution = a1, theoretical.distribution = b1)
}
###
set.seed(31)
bino.gen(samples = 1000, n = 5, pi = 0.5)                 

## $simulated.distribution
## Successes
##     0     1     2     3     4     5 
## 0.023 0.174 0.311 0.308 0.153 0.031 
## 
## $theoretical.distribution
##     0     1     2     3     4     5 
## 0.031 0.156 0.312 0.312 0.156 0.031

10.

Un sistema de comunicaciones consiste en \(n\) componentes cuya propbabilidad de falla, para cada una, es \(\pi\). El sistema puede seguir funcionando si al menos la mitad de sus componentes funciona. ¿Para qué valores de \(\pi\), un sistema que consiste de cinco componentes tendrá ua mayor confiabilidad que un sistema de tres componentes? Grafique la probabilidad de que cada sistema (el de \(n=5\) y el de \(n=3\)) trabaje, para valores de \(\pi\in [0,1]\), con incrementos de 0.01.