MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Extremos

Funções contínuas de duas variáveis assumem valores extremos em domínios fechados e limitados. Podemos restringir a procura desses valores extremos examinando as derivadas parciais de primeira ordem das funções. Uma função de duas variáveis pode assumir valores extremos apenas nos pontos de fronteira do domínio ou nos pontos interiores do domínio onde ambas as derivadas parciais são zero ou onde uma ou ambas as derivadas parciais não existem. No entanto, a anulação das derivadas em um ponto interior nem sempre denuncia a presença de um valor extremo.

DEFINIÇÃO Diz-se que uma função de duas variáveis tem um máximo relativo em um ponto \((x_{0}, y_{0})\) se houver um círculo centrado em \((x_{0}, y_{0})\) tal que \(f(x_{0}, y_{0}) ≥ f (x, y)\) em quaisquer pontos \((x, y)\) do domínio de \(f\) que estiverem dentro do círculo, e diz-se que \(f\) tem um máximo absoluto em \((x_{0}, y_{0})\) se \(f(x_{0}, y_{0}) ≥ f (x, y)\) em quaisquer pontos \((x, y)\) do domínio de \(f\).

DEFINIÇÃO Diz-se que uma função \(f\) de duas variáveis tem um mínimo relativo em um ponto \((x_{0}, y_{0})\) se houver um círculo centrado em \((x_{0}, y_{0})\) tal que \(f (x_{0}, y_{0}) ≤ f(x, y)\) em quaisquer pontos \((x, y)\) do domínio de \(f\) que estiverem dentro do círculo, e diz-se que \(f\) tem um mínimo absoluto em \((x_{0}, y_{0})\) se \(f(x_{0}, y_{0}) ≤ f(x, y)\) em quaisquer pontos \((x, y)\) do domínio de \(f\).

Teorema do Valor Extremo: Se \(f(x, y)\) for contínua em um conjunto fechado e limitado \(R\), então \(f\) terá máximo e mínimo absolutos em \(R\).

ENCONTRANDO EXTREMOS RELATIVOS

TEOREMA Se \(f\) tiver um extremo relativo em um ponto \((x_{0}, y_{0})\) e se as derivadas parciais de primeira ordem de \(f\) existirem nesse ponto, então \(f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0\) e \(f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0\).

DEFINIÇÃO Um ponto \((x_{0}, y_{0})\) no domínio de uma função \(f(x, y)\) é denominado ponto crítico da função se \(f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0\) e \(f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0\) ou se uma ou ambas as derivadas parciais não existirem em \((x_{0}, y_{0})\).

Os extremos relativos ocorrem nos pontos críticos, exatamente como para uma função de uma variável uma função de duas variáveis não precisa ter um extremo relativo em cada ponto crítico.

Exemplo 1 Considere a função \(f (x, y) = y^{2} − x^{2}\)

Essa função, cujo gráfico é o paraboloide hiperbólico, tem um ponto crítico em \((0, 0)\), pois \(f_{x}(x, y) = −2x\) e \(f_{y}(x, y) = 2y\) do qual tem-se que \(f_{x}(0, 0) = 0\) e \(f_{y}(0, 0) = 0\), entretanto, a função \(f\) não tem máximo nem mínimo relativo em \((0, 0)\).

Exemplo 2 As três funções abaixo tem pontos críticos em \((0, 0)\).

TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

TEOREMA (Teste da Derivada Segunda) Seja \(f\) uma função de duas variáveis com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto crítico \((x_{0}, y_{0})\) e seja

\(D=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})\)

Exemplo 3 Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de \(f (x, y) = 3x^{2} − 2xy + y^{2} − 8y\).

Exemplo 4 Localize todos os extremos relativos e os pontos de sela de \(f (x, y) = 4xy − x^{4} − y^{4},\)

TEOREMA Se uma função \(f\) de duas variáveis tiver um extremo absoluto (um máximo absoluto ou um mínimo absoluto) em um ponto interior de seu domínio, então esse extremo ocorrerá em um ponto crítico.

ENCONTRANDO EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS

Exemplo 5 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de \(f (x, y) = 3xy − 6x − 3y + 7\) na região triangular fechada R de vértices \((0, 0)\), \((3, 0)\) e \((0, 5)\).

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Quando precisamos encontrar os valores extremos de uma função cujo domínio esteja restrito a algum subconjunto específico no plano – um disco, por exemplo, uma região triangular fechada ou ao longo de uma curva, para isso utilizaremos um método poderoso para encontrar valores extremos de funções restritas, multiplicadores de Lagrange.

TEOREMA Sejam \(f\) e \(g\) funções de duas variáveis com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo a curva de restrição \(g(x, y) = 0\) e suponha que \(∇g \neq 0\) em qualquer ponto da curva. Se \(f\) tiver um extremo relativo restrito, então esse extremo ocorrerá em um ponto \((x_{0}, y_{0})\) da curva de restrição no qual os vetores gradientes \(∇f(x_{0}, y_{0})\) e \(∇g(x_{0}, y_{0})\) forem paralelos; isto é, existirá algum número \(λ\) tal que

\(∇f (x_{0}, y_{0}) = λ∇g(x_{0}, y_{0})\)

Exemplo 5 Em que ponto ou pontos do círculo \(x^{2} + y^{2} = 1\) tem \(f(x, y) = xy\) um máximo absoluto, e qual é esse máximo?

Exemplo 6 Encontre as dimensões do retângulo com perímetro p e área máxima.

Exemplo 7 Determine as dimensões de uma caixa aberta no topo com volume de \(32 m^{3}\) cuja construção requeira uma quantidade mínima de material.