UNIT06A：離散理論機率分布

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【1】\(n\)很大時，二項分佈(Binominal Dist.)會趨近於常態(Normal)分佈

• When \(n\) is large, \(Binom[n, p]\) approaches \(Norm[\mu = n p, \sigma=\sqrt{n p (1-p)}]\)

• \(X \sim Binom[n, p] \, \Rightarrow \, Exp(X) = n \cdot p \, , \, Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)

par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,4,3,1), cex=0.7)
n = 1000; p = 0.2
rbinom(500000, n, p) %>% hist(breaks=80, freq=F, main="")
curve(dnorm(x, mean=n*p, sd=sqrt(n*p*(1-p))), col='red', lwd=2, add=T)

# 在histogram上加常態分佈的紅線

#二項分布當n很小的時候，就不會接近常態分佈
par(mfrow=c(1,2), cex=0.7)
n = 10; p = 0.2
rbinom(100000, n, p) %>% table %>% barplot()
rnorm(100000, n*p, sqrt(n*p*(1-p))) %>% hist(freq=F)

💡 : 當期望值夠大的時候， 二項分佈會以期望值為中心向兩邊對稱的伸展，但是如果期望值不夠大的話，這個分佈的左尾就會受到擠壓，變成一個不對稱的分佈。

【2】\(n \times p\)不大時，二項分佈(Binominal Dist.)會趨近於Poisson分佈

• When \(n\) is large and \(p\) is small, \(Binom[n, p]\) approaches \(Pois[\lambda = n p]\)

par(mfrow=c(1,2), cex=0.7)
rbinom(100000, 1000, 0.002) %>% table %>% barplot(main="Boinomial")
rpois(100000, 2)  %>% table %>% barplot(main="Poisson")

🗿 : 如果Poisson分佈很接近二項分佈，我們為甚麼還需要Poisson分佈呢？

因為Poisson可以幫助我們在n和p未知，而只知道lambda的情況下，做出大概的機率分佈，二項分布具有複雜和較準確的特性，但需要知道確切的事件發生機率以及次數。

💡 : 簡單、一般性 vs 複雜、準確性

【3】Poisson分佈的特性：(1)期望值等於標準差 & (2)期望值對加法有封閉性

• \(X \sim Pois[\lambda] \, \Rightarrow \, E(X) = Var(X) = \lambda\)

sapply(1:10, function(lambda) {
  x = rpois(1000000, lambda)
  c(mean(x), var(x))
  })

       [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]   [,7]   [,8]   [,9]   [,10]
[1,] 1.0013 2.0005 3.0031 3.9997 5.0033 5.9976 6.9998 8.0017 9.0032 10.0003
[2,] 1.0018 1.9971 2.9993 4.0068 5.0018 6.0044 6.9937 7.9988 8.9899  9.9892

• \(X \sim Pois[\lambda_1], \, Y \sim Pois[\lambda_2] \, \Rightarrow \, X+Y \sim Pois[\lambda_1 + \lambda_2]\)

par(mfrow=c(1,2), cex=0.7)
(rpois(100000, 1) + rpois(100000, 2)) %>% table %>% barplot(main="Pois[1] + Pois[2]")
rpois(100000, 3)  %>% table %>% barplot(main="Pois[3]")

💡 : 透過模擬：(1)建立變數向量(隨機變數)；(2)驗證理論；(3)做預測與估計

K = 100000
par(mfrow=c(1,1), cex=0.7)
d1 = sample(faithful$eruptions, K, T); #d1 %>% hist
d2 = rpois(K, 6); #d2 %>% table %>% barplot
d3 = rnorm(K, 0, 1); #d3 %>% hist
(d1*d2+4*d3) %>% hist

【4】Geometric Dist.基本上是等待時間的分佈

我們可以用二項分佈來模擬Geometric Dist.

par(mfrow=c(1,2), mar=c(3,3,3,1), cex=0.7)
replicate(100000, which(rbinom(100, 1, .3) == 1)[1] - 1) %>% 
  table %>% barplot(main="Binomial Simulation")
rgeom(100000, 0.3) %>% table %>% barplot(main="Geometric")

🗿 : 如果有一台機器每一天壞掉的機率是0.05，那麼在20天之內，它還能正常工作的機率分別是多少呢？

0.34056

1- dgeom(0:20, 0.05) %>% cumsum # cumsum->累加

 [1] 0.95000 0.90250 0.85737 0.81451 0.77378 0.73509 0.69834 0.66342 0.63025
[10] 0.59874 0.56880 0.54036 0.51334 0.48767 0.46329 0.44013 0.41812 0.39721
[19] 0.37735 0.35849 0.34056

# 若單純跑dgeom(0:20, 0.05)出來的機率指的是第21天壞掉的機率？感覺就是指20天內機器能正常工作的機率。
# 為什麼要跑累加出來的機率(0.6544)？
# 答案好像是要1- dgeom(0:20, 0.05) %>% cumsum

【5】Geometric Dist.的期望值

• \(X \sim Geom[p] \, \Rightarrow \, E[X] = \frac{1}{p}-1\)
  

🗿 : 如果平均而言每一個捐贈者有我需要的器官的機率是5%，那麼平均我要等多少個捐贈者才能等到我想要用的器官呢？
19個

(1/0.05)-1

[1] 19

🗿 : 不用Geometric的期望值公式，妳可以使用dgeom()算出同樣的答案嗎？

sum(0:1000 * dgeom(0:1000, 0.05)) # 利用dgeom算出Geometric Dist的期望值

[1] 19

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💡 隨機變數的平均值與標準差公式
  ■ \(E(c) = c ; V(c) = 0\)
  ■ \(E(a+b X) = b(X) ; V(a+b X) = b^2 V(X)\)
  ■ \(E(a X + b Y) = aE(X) +bE(Y)\)
  ■ \(V(a X + b Y) = a^2V(X) +b^2V(Y) + 2abV(X)V(Y)\)

💡 數理推論為基礎的機率統計之所以難學，主要是因為：
  ■ 隨機變數的觀念很抽象；
  ■ 光使用數學公式很難理解『分佈』的概念；
  ■ 有很多不同種類的分佈，公式計不完；
  ■ 隨機變數之間要做四則運算常常非常困難；

🗿 : 在R的環境之下，我們如何克服上述的各項困難呢？


1. 在R的環境中，隨機變數以向量來表示，讓我們可以有個具體的概念。 R提供了許多function 2. R提供了像是histogram/barplot的功能，藉由這些功能我們可以畫出機率分佈圖， 對於各項分佈有基本的概念。 3. R提供了各種分佈的function，像是：dbinom/pbinom/qbinom/rbinom，我們只需要將必要的參數代入至這些功能裡，就能輕鬆得到各分佈的結果。 4. 在R的環境下各種類分佈是可以直接做四則運算的，只需要在各類分佈的function間加上加減乘除的符號，就可以直接計算出結果。