제 6장 상관

6.1 이번장에서 배우는 내용

두 변수의 편차 패턴들 사이의 유사성을 구체적인 수치로 나타내려면 어떻게 해야 할까?
편차를 합치면 양의 편차와 음의 편차가 상쇄되어버린다. 그래서 일반 변수는 이를 제곱을 해서 해소시킨다.
변수가 두개인 경우에는 각 편차를 제곱하는 대신 두 변수의 편차를 곱하는 방법이 있다.
만일 두 편차의 값이 둘 다 양수이거나 둘 다 음수이면 그 곱은 양수가 되고(두 편차가 방향이 같다는 뜻), 하나만 음수이면 곱은 음수가 된다(두 편차가 방향이 다르다는 뜻), 이렇게 한 변수의 편차를 다른 변수의 해당 편차와 곱한 것을 교차곱 편차(cross-product deviation)이라고 부른다.
각 교차곱편차들을 모두 더해 n-1로 나눠주면 이게 공분산이다.

-> 공분산이 양수 : 한 변수가 평균에서 이탈하면 다른 변수도 같은 방향으로 이탈함을 뜻함

-> 공분산이 음수 : 한 변수가 평균에서 이탈하면 다른 변수는 그와 반대 방향으로 이탈함을 뜻함.

측정 척도 의존성 문제를 극복하려면 공분산을 어떤 표준 단위로 변환할 필요가 있다. 그러한 변환 과정을 표준화라고 부른다.
예를 들어, 사람들의 태도(attitude)를 측정해야 한다면 어떨까? 이럴 때 측정단위로 쓰이는 것이 표준편차이다.
6.1 자료에서 사탕 봉지 수의 표준편차는 2.92인데 편의상 3이라고 하고 그림 6.2에서 참가자 1번의 관측값이 평균보다 3작다. (즉, 편차는 -3봉지이다). 이 편차(-3)를 표준편차 (3)으로 나누면 -1이 나온다. 즉, 참가자 1의 점수와 평균의 차이는 -1 표준편차이다.
평균과 관측값의 차이를 표준편차로 나눔으로써 편차를 표준적인 단위로 표현할 수 있다.
이러한 논리를 연장해서 공분산의 표준화에 적용할 수 있다.
즉, 공분산을 어떤 표준적인 단위로 표현하려면, 그냥 공분산을 표준편차로 나누면 될 것이다. 그런데 문제는, 이 경우 변수가 둘이므로 표준편차도 둘이하는 점
공분산을 계산할 때는 두 가지 편차(변수당 하나)를 계산해서 둘을 곱한다. 표준편차도 마찬가지 방식으로 처리하면 된다.
즉, 두 변수의 표준편차를 곱한 값을 분모로 사용하면 되는 것이다.
이런 식으로 계산한 표준화된 공분산을 상관계수(correlation coeffient)라고 부른다.

이 상관계수의 좀 더 긴 이름은 피어슨의 곱적률 상관계수 또는 피어슨 상관계수이다. (이 상관계수는 ’칼 피어슨’이 고안했다)
표 6.1을 다시 보면, 시청한 광고 수의 표준편차는 1.67이고 구입한 사탕 봉지 수의 표준편차는 2.92이다. 이 둘을 곱하면 1.67 x 2.92 = 4.88 이다. 그리고 두 변수의 공분산은 이전에 구했듯이 4.25이다. 이를 표준편차 곱으로 나누면 r = 4.25/4.88 = .87이라는 상관계수가 나온다.
공분산을 이런 식으로 표준화하면 -1에서 +1까지의 값이 된다.
상관계수가 +1이라는 것은 두 변수의 관계가 완전한 양의 상관이라는 뜻으로 즉, 한 변수가 증가하면 다른 변수도 그에 비례하는 양만큼 증가한다.
반대로 상관계수가 -1이라는 것은 두 변수의 관계가 완전한 음의 상관이라는 뜻이다.
즉, 한 변수가 증가하면 다른 변수는 그에 비례하는 양만큼 감소한다. 그리고 상관계수가 0이면 두 변수에 아무런 선형 관계도 없다는 뜻이다. 즉, 한 변수가 변해도 다른 변수는 변하지 않는다
상관계수는 관측된 효과의 표준화된 측도이므로 효과의 크기를 측정하는 용도로도 흔히 쓰인다. 상관계수가 ±.1 이면 작은 효과. ±.3이면 중간 효과, ±.5이면 큰 효과에 해당한다.

신뢰구간은 모집단에 있음 직한 어떤 값에 관한 무언가를 말해준다. 상관계수 r에 대한 신뢰구간의 계산은 앞 절에서 말한 zr과 해당 표준오차에 기초한다.
보통의 경우에서 95% 신뢰구간을 구하는 공식은 다음과 같다.

상관은 두 종류가 있다.