MAXIMA VEROSIMILITUD-MODELO POISSON-CLASE 5

Demostración

Partimos de la siguiente expresión:

\[\ p(x)= \frac{e^{-\lambda }\cdot{\lambda^{x}}}{x!}\]

Valor esperado dado la independencia de las realizaciones

\[\ E(X)=\sum_{x=0}^{\infty} x \cdot P(x)\] Reemplazo en la primera expresión

\[\ E(x) = \sum_{x=0}^{\infty} x \cdot\frac{e^{-\lambda }\cdot{\lambda^{x}}}{x!}\]

Partiendo de \[ \frac{x}{x!}=\frac{x}{x\cdot{(x-1)}} \]

Tenemos que:

\[\ E(X)= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda }\cdot{\lambda^{x}}}{(x-1)!} \]

Factorizo lambda, entonces

\[\ E(X)= \lambda \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda }\cdot{\lambda^{x-1}}}{(x-1)!} \]

Reemplazando z= x-1

\[\ E(X)= \lambda \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda }\cdot{\lambda^{z}}}{z!} \]

Sabiendo que la suma de probabilidades es igual a 1 tenemos que la media de x es igual a lambda, es decir:

\[ \lambda= \frac{\sum_{i=0}^{n} x_i}{n} \]

Comprobando lo anterior con datos…

Tengo en cuenta estos comando para calculo de probabilidad

dpois() #Probabilidad en un punto P(x=x) ppois() #Probabilidad acumulada P(x<=x) qpois() #El valor de x para una probabilidad dada p(x<=x)=p

entonces..

dpois(x=3,lambda=2)
## [1] 0.180447
sum(dpois(x=0:3, lambda = 2))
## [1] 0.8571235
ppois(q=3, lambda = 2)
## [1] 0.8571235
qpois(p=0.8571235, lambda = 2)
## [1] 4

identificando lambda apartir de una muestra

x=c(10,12,8,9,7,6,9,11)
x
## [1] 10 12  8  9  7  6  9 11

suponiendo lambda es 5 ¿Cual es la probabilidad de que me salga esa muestra con ese lambda?

dpois(x, lambda = 5)
## [1] 0.018132789 0.003434240 0.065278039 0.036265577 0.104444863 0.146222808
## [7] 0.036265577 0.008242177
prod(dpois(x, lambda = 5)) #Por independencia se hace la productoria
## [1] 6.7297e-13
prod(dpois(x, lambda = 6)) #Por independencia se hace la productoria
## [1] 1.1342e-10

Funcion

calculo_verosimilitud= function(l){
  verosimilitud=prod(dpois(x, lambda = l))
  return(verosimilitud)
}

calculo_verosimilitud(5)
## [1] 6.7297e-13
lambdas=0:20
probas=sapply(lambdas, calculo_verosimilitud)
plot(lambdas, probas, type="l")

Resultados

resultados=data.frame(lambdas,probas)
resultados
##    lambdas       probas
## 1        0 0.000000e+00
## 2        1 2.509452e-49
## 3        2 3.975417e-31
## 4        3 6.362055e-22
## 5        4 2.112665e-16
## 6        5 6.729700e-13
## 7        6 1.134200e-10
## 8        7 2.514795e-09
## 9        8 1.263476e-08
## 10       9 2.042644e-08
## 11      10 1.350132e-08
## 12      11 4.328063e-09
## 13      12 7.633331e-10
## 14      13 8.151357e-11
## 15      14 5.677685e-12
## 16      15 2.736324e-13
## 17      16 9.569290e-15
## 18      17 2.524687e-16
## 19      18 5.189788e-18
## 20      19 8.539505e-20
## 21      20 1.150740e-21
# Se concluye que el valor optimo de lambda es 9, el cual es igual a la media de x

mean(x)
## [1] 9