Esta distribución de probabilidad sobre una variable aleatoria discreta, proporciona información sobre la posibilidad de que ocurra un evento un número de veces K, para un determinado periodo de tiempo. La fórmula se muestra a continuación:

\[P({X_i})=\frac{\exp^{-\lambda}\lambda^X}{X!}\]

Un ejemplo: una tienda de artículos eléctricos descubre que el número x de tostadoresvendidos por semana obedece a una ley de Poisson de media 10.
  1. ¿cuál es la probabilidad de que en una semana se vendan 8 tostadoras?
  2. ¿y de que se vendan por lo menos 15 tostadoras en una semana?
  3. ¿con una probabilidad de 0.9999998, cuál sería la cantidad de ventas en una semana?

Para resolver este ejercicio se aplica la función de la distribución de Poisson, donde se sabe el lambda es 10.

SOLUCIÓN

#  1) Con dpois() se calcula la probabilidad en un punto, para este caso particular, la probabilidad de que se vendan 8 tostadoras en una semana es del 11%.

dpois(x = 8,lambda = 10)
## [1] 0.112599
# 2) Con ppois() se calcula la probabilidad acumulada hasta un punto, para este caso particular, la probabilidad de que se vendan por lo menos 15 tostadoras en una semana es del 95%.


ppois(q = 15,lambda = 10)
## [1] 0.9512596
 # 3) Con qpois() se calcula un valor de X para una probabilidad dada, en este caso particular, con probabilidad de 0.9999998, la cnatidad de  tostadoras que se espera vender en una semana es de 30.


qpois(p = 0.9999998,lambda = 10)
## [1] 30
  Demostrando lambda para la distribucción de Poisson...


  De la distribución de Poisson

\[P(X=x_i)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^x}{x!} \]

  Se arma la función de máxima verosimilitud

\[L=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}P(x_i=x_i)\]

  Aplicamos la productoria

\[L=P(x_1=x_1) P(x_2=x_2)...P(x_n=x_n)\]

  Reemplazando la distribucion de Poisson

\[L=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^{x_1}}{x_1!}\cdot\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^{x_2}}{x_2!}...\cdot\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^{x_n}}{x_n!} \]

  Organizando los términos

\[L=\frac{1}{x_1!\cdot x_2!...\cdot x_n!}\cdot e^{-\lambda n}\cdot \lambda^{\sum x_i}\]

  Ahora tomamos logaritmos

\[ln(L) = ln(\frac{1}{x_1!\cdot x_2!...\cdot x_n!})-\lambda n\cdot ln(e)+\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot ln(\lambda)\]

  Derivando con respecto a lambda

\[\frac {\partial ln(L)}{\partial \lambda}=-n+\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot \frac {1}{\lambda}\]

  Igualamos a cero y despejamos lambda

\[\lambda = \frac {\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=E(x)\]

  De aquí obtenemos que el estimador para lambda es la media aritmética



              Ahora...
# Si se realiza una muestra con n=30

x=c(8,9,12,15,7,20,4,11,10,13,15,12,8,2,20,12,6,8,9,13,12,10,14,6,15,3,4,6,10,6)
x
##  [1]  8  9 12 15  7 20  4 11 10 13 15 12  8  2 20 12  6  8  9 13 12 10 14  6 15
## [26]  3  4  6 10  6
# Si se supone un lambda de 8, a nivel individual se tendría:

dpois(x,lambda = 8)
##  [1] 0.1395865320 0.1240769173 0.0481268043 0.0090259794 0.1395865320
##  [6] 0.0001589715 0.0572522885 0.0721902064 0.0992615338 0.0296164949
## [11] 0.0090259794 0.0481268043 0.1395865320 0.0107348041 0.0001589715
## [16] 0.0481268043 0.1221382155 0.1395865320 0.1240769173 0.0296164949
## [21] 0.0481268043 0.0992615338 0.0169237114 0.1221382155 0.0090259794
## [26] 0.0286261442 0.0572522885 0.1221382155 0.0992615338 0.1221382155
# Asumiendo independencia, de manera acumulada se tendría:

prod(dpois(x,lambda = 8)) 
## [1] 1.368859e-43
# Con la siguiente función se podría obtener las probabilidades de que se obtenga la muestra con diferentes lambdas, estandarizando el proceso.

calc_verosimil=function(l){
verosimiltud=prod(dpois(x,lambda = l))
return(verosimiltud)
}

# Para un lamda de 9, se tendría:
calc_verosimil(9)
## [1] 2.839757e-41
# Creando una secuencia de lambdas, calculando las porbabilidades para cada, y graficando se tiene:

lambdas=seq(0,20,0.1)
probas=sapply(lambdas, calc_verosimil)
plot(lambdas,probas,type="l")

resultados=data.frame(lambdas,probas)
En la gráfica se puede observar que el lamba con mayor probabilidad de que arroje dicha muestra es de 10 y la media de los datos es 10, por lo que con este ejrcicio, se contrasta la teoría.